第1章 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第一册讲义.doc
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1、 1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.1空间中的点、直线与空间向量学 习 目 标核 心 素 养1了解空间中的点与空间向量的关系2理解直线的方向向量(重点)3掌握利用空间向量求空间两直线所成的角的方法(重点、难点)4掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法(重点)5理解公垂线段的概念并会求其长度1通过学习直线的方向向量,公垂线段等概念,培养数学抽象素养2利用向量法证明两直线垂直,求两直线所成的角,提升逻辑推理和数学运算的素养在如图所示的正方体中,怎样借助空间向量来描述A、B、C、D在空间中是不同的点?如何借助空间向量来描述直线AD与A1D1,AD与BB1以及AD与AA1的位置关系?怎样借
2、助空间向量来求BC1与BD1所成的角?1空间中的点与空间向量一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量唯一确定,此时,通常称为点P的位置向量提醒:空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定2空间中的直线与空间向量一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量此时,也称向量v与直线l平行,记作vl(1)如果A、B是直线l上两个不同的点,则v,即为直线l的一个方向向量思考1:直线l的方向向量唯一吗?直线l的方向向量之间有怎样的关系?提示直线l的方向向量不唯一,若v为直线的方向
3、向量,则v(0)也为直线l的方向向量,直线l的任意两个方向向量都平行思考2:空间中的直线l的位置由v能确定吗?提示空间中直线l的位置可由v和直线上的一个点唯一确定(2)如果v1是直线l1的一个方向向量,v2是直线l2的一个方向向量,则v1v2l1l2或l1与l2重合3空间中两条直线所成的角(1)设v1、v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为,则v1,v2或v1,v2,所以sin sinv1,v2,cos |cosv1,v2|(2)v1,v2l1l2v1v204异面直线与空间向量设v1,v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量(1)若l1与l2异面,则v1与v2的关
4、系为v1与v2不平行(2)若v1与v2不平行,则l1与l2的位置关系为相交或异面提醒:“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件(3)若Al1,Bl2,则l1与l2异面时,v1,v2,不共面若v1,v2,不共面,则l1与l2异面提醒:“v1,v2,不共面”是“l1与l2异面”的充要条件(4)公垂线段:一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,Ml1,Nl2,MNl1,MNl2则称MN为l1与l2的公垂线段,两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离提醒:空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一1思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)直线l的方向向量是唯
5、一的()(2)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反()(3)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量()答案(1)(2)(3)提示(1)与直线l平行或共线的任何向量都可作为l的方向向量(2)(3)k02(教材P36练习A改编)设A(2,2,3),B(4,0,1)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A(1,2,5)B(3,2,2)C(1,1,1) D(1,1,1)C(4,0,1)(2,2,3)(2,2,2)2(1,1,1),故选C3若异面直线l1,l2的方向向量分别是a(0,2,1),b(2,0,4),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于()A BC
6、DB|a|,|b|2,ab(0,2,1)(2,0,4)4,cosa,b异面直线夹角的范围是,选B4直线l1,l2的方向向量分别为v1(3,0,2),v2(1,0,m),若l1l2,则m等于_因为l1l2,所以存在实数,使v1v2即(3,0,2)(1,0,m),m空间中点的位置确定【例1】已知O是坐标原点,A,B,C三点的坐标分别为A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5)(1)若(),求P点的坐标;(2)若P是线段AB上的一点,且APPB12,求P点的坐标思路探究(1)由条件先求出,的坐标,再利用向量的运算求P点的坐标(2)先把条件APPB12转化为向量关系,再运算解(1)(1,1,
7、5),(3,1,5),()(2,2,0)(1,1,0),P点的坐标为(1,1,0)(2)由P是线段AB上的一点,且APPB12,知设点P的坐标为(x,y,z),则(x3,y4,z),(2x,5y,5z),故(x3,y4,z)(2x,5y,5z),即得因此P点的坐标为此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决,设出要求的点的坐标,利用已知条件得关于要求的点的坐标的方程或方程组求解即可.1已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如图,以的方向为正方向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件:(1)APPB12;(2)AQQB21求点P和点Q的坐标解由已知,得2,即2(),设
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