大题专练训练26：圆锥曲线（抛物线：定值定点问题）-2021届高三数学二轮复习.doc

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1、二轮大题专练26圆锥曲线（抛物线：定值定点问题）1已知点，抛物线，过点的动直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点（1）求；（2）证明：直线恒过定点解：（1）设点，由题意，设直线，由得，又，（2）证明：设，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，三点共线，即，即，即，直线的方程是，即，由式可知，代入上式，得，令，解得，直线恒过定点2已知直线与抛物线相交于，两点，满足定点，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，（1）求抛物线的方程；（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标解：（1）设，联立，整理可得：，所以可

2、得，进而可得，由，可得：，即，可得，所以抛物线的方程为：；（2）证明：设，由，三点共线可得，即，整理可得：，所以，同理可得，三点共线，所以直线的方程：，整理可得：，将，的值代入直线方程可得：，所以解得：，所以直线过定点3已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离小1（）求曲线的方程；（）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点解：（）因为曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离小1，所以曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，所以曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线，即，所以曲线的方程为（）证明：根据题意设直线方程为，联立，可得，所以，因为以线段为直

3、径的圆过点，所以，所以，即（舍去）或，所以直线的方程为，即，所以直线经过定点4已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等（）求曲线的方程；（）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，且求证：直线过定点（）解：因为曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，曲线的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故曲线的方程为；（）证明：设直线，联立方程组，可得，所以，所以，因为线段为直线的圆过点，所以为直角三角形，故有，所以，化简可得，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，解得或，因为直线不过原点，所以，故，所以直线，令，则，所以直线恒过定点5已知抛物线上的点到焦点的距离为4（

4、1）求，的值；（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，其中为坐标原点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标（1）解：由抛物线定义得，所以抛物线方程为，代入点，可解得，故；（2）解：设直线的方程为，联立，消得：，则，由得：，所以：或（舍去），即，所以直线的方程为，所以直线过定点6已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，是抛物线上异于点的两个不同的动点，当直线过点时，的最小值为8（1）求抛物线的方程；（2）若，证明：直线恒过定点（1）解：抛物线的焦点坐标为，若直线过点，则直线的斜率一定不为0，不妨设直线的方程为，对于抛物线方程，可得，设，则，所以，所以当时，取得最小值为，所以，所以抛物线的方程

5、为（2）证明：设直线的方程为，联立，得，由题意，所以，因为，所以，所以不符合题意，舍去），所以直线的方程为，所以直线恒过定点7已知抛物线的焦点与圆的圆心重合（）求抛物线的方程；（）与抛物线的交点为，点，为上两点，且，分别为直线，的斜率），过点作，为垂足证明：存在定点，使得为定值解：（）即，可得圆心的坐标为，即有抛物线的焦点坐标为，即，可得，则抛物线的方程为；（）证明：由题意可得，当直线的斜率存在时，由题意可得的斜率不为0，设直线的方程为，联立，消去可得，故，则，消去可得，故，则，因为，所以，整理可得，即，即，即，整理可得，即，由题意可得不过点，故，所以，则直线的方程为，所以直线过定点；当直线的

6、斜率不存在，设方程为，则，由可得，即，解得，也过定点，综上可得，直线过定点取的中点，则，此时始终有为定值8已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长（）求点的轨迹方程；（）已知直线的方程为，过直线上一点作（）中轨迹的两条切线，切点分别是，两点，证明：直线经过定点，并求出定点坐标解：（）设点的坐标，则点到直线的距离，过点做圆的切线，则切线长，由题意可得，整理可得，所以点的轨迹方程：；（）证明：设直线的方程为：，设，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，则，由可得，所以，所以在点的切线方程为：，即，同理可得在点切线方程为，解得，由题意可得两条切线的交点在上，所以，即，代入直线的方程：，所以直线恒过定点，且定点的坐标为