第1章 1.2.2　空间中的平面与空间向量-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义.doc

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1、 1.2.2空间中的平面与空间向量学 习 目 标核 心 素 养1理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量(重点)2会用平面的法向量证明平行与垂直(重点)3理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题(难点)1通过本节知识的学习，培养数学抽象素养2借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养如图，在直棱柱ABCA1B1C1中，(1)与哪些棱平行的向量与平面ABC平行，这些向量是否两两互相平行？(2)与哪些棱平行的向量与平面ABC垂直，这些向量是否两两相互平行？空间中的直线根据它的方向向量和一个点，可以描述直线的位置，对于空间中的平面能否利用向量来描述其位置？ 1平面的法向量(

2、1)如果是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面垂直，则称n为平面的一个法向量，此时也称n与平面垂直，记作n思考1：平面的法向量有多少个？它们之间什么关系？提示无数个平行思考2：一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？提示垂直(2)平面的法向量的性质如果直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量如果n是平面的一个法向量，则对任意的实数0，空间向量n也是平面的一个法向量，且平面的任意两个法向量都平行如果n为平面的一个法向量，A为平面上一个已知的点，则对于平面上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即n0，从而可知平面的位置可由

3、n和A唯一确定(3)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量，则nvl，nvl，或l(4)如果n1是平面1的一个法向量，n2是平面2的一个法向量，则n1n212，n1n212或1与2重合2三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知直线l垂直于平面，向量a与直线l平行，则a是平面的一个法向量()(2)若直线l是平面

4、外的一条直线，直线m垂直于l在平面内的投影，则l与m垂直()(3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量()答案(1)(2)(3)提示(1)不一定当a0时，也满足al，尽管l垂直于平面，a也不是平面的法向量(2)不一定若直线m在平面外，例如m，尽管m垂直于直线l在平面内的投影，也不能得出ml(3)2若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则()AlBlCl Dl与斜交Ba(1,0,2)，u2(1,0,2)2a，u与a平行，l3平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面与平面的位置关系为()A平行 B相交但不垂直C垂直 D不

5、能确定C(1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面垂直4设平面的法向量的坐标为(1,2，2)，平面的法向量的坐标为(2，4，k)，若，则k等于_4因为，两平面的法向量平行，k4求平面的法向量【例1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点，ABAP1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量解在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点，ABAP1，AD，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(1，0)，D(0，0)，

6、P(0,0,1)，E，(1，0)，设平面ACE的法向量n(x，y，z)，则取y，得n(3，3)平面ACE的一个法向量为n(3，3)利用待定系数法求法向量的解题步骤1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD2，PD底面ABCD，且PDAD，求平面PAB的一个法向量解因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD，从而BD2AD2AB2，故BDAD，以D点为坐标原点，射线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，P(0,0,1)(1，0)，(0，1)，设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即即因此可

7、取n(，1，)平面PAB的一个法向量为(，1，)利用法向量证明空间中的位置关系探究问题1平面的法向量有何特点？提示设向量n是平面的一个法向量则(1)n是一个非零向量(2)向量n与平面垂直(3)平面的法向量有无数多个，它们都与向量n平行，方向相同或相反(4)给定空间中任意一点A和非零向量n，可确定唯一一个过点A且垂直于向量n的平面2用向量法证明空间线面垂直关系的关键是什么？提示设直线l，m的方向向量分别为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，平面，的法向量分别为u(u1，u2，u3)，v(v1，v2，v3)，则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系lmabab0a1b1a2b2a3b30

8、lauau，Ra1u1，a2u2，a3u3uvuv0u1v1u2v2u3v30【例2】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点证明：(1)C1M平面ADE；(2)平面ADE平面A1D1F思路探究建立空间坐标系，求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解证明(1)以D为原点，向量，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1则D(0,0,0)，A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，M，(1,0,0)，设平面ADE的法向量为m(a，b，c)，则令c2，得m(0，1,2)，m(0，1,2)0110，m又C1M平面ADE，

9、C1M平面ADE(2)由D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，F，得(1,0,0)，设平面A1D1F的法向量为n(x，y，z)，则令y2，则n(0,2,1)mn(0，1,2)(0,2,1)0220，mn平面ADE平面A1D1F1(变结论)本例条件不变，试求直线D1E的一个方向向量和平面EFM的一个法向量解如本例建系定坐标，D1(0,0,1)，E，M，所以，即直线D1E的一个方向向量设平面EFM的法向量为n(x，y，z)，因为F，所以，(0，1,0)，由即所以令x1，则z2所以平面EFM的一个法向量为(1,0，2)2(变条件，变结论)在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变试证：EN平面B1

10、AC证明如本例解析，E，N，A(1，0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，(0,1,1)，(1,1,0)，0，0，即ENAB1，ENAC又AB1ACA，EN平面B1AC利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示三垂线定理及逆定理的应用【例3】如图，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1平面AB1C证明连接BD，A1B，四边形ABCD是正方形，ACBD又DD1平面ABCD，BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影，BD1AC而A1B是

11、BD1在平面ABB1A1内的射影，BD1AB1，又AB1ACA，BD1平面AB1C利用三垂线定理证明垂直的步骤(1)找平面(基准面)及平面的垂线(2)找射影线(平面上的直线与斜线)(3)证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直2在四面体PABC中，PABC，PBAC，求证：PCAB证明过P作PH平面ABC，连AH延长交BC于E，连BH并延长交AC于F，PH平面ABC，PABC，而PA在面ABC内的射影为AH，由三垂线定理的逆定理知BCAH，同理可证BFAC则H为ABC的垂心，连CH并延长交AB于G，于是CGAB，而CH是PC在面ABC的射影，故PCAB1三垂线定理以

12、及逆定理是证明线线垂直、线面垂直的有力工具，应用时要分清定理和逆定理的关系线射垂直线斜垂直2利用向量法来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到证明的结果1若直线l的方向向量a(1,2，1)，平面的一个法向量m(2，4，k)，若l，则实数k()A2B10C2D10A直线l的方向向量a(1,2，1)，平面的一个法向量m(2，4，k)，l，am，解得k22已知平面的法向量为a(1,2，2)，平面的法向量为b(2，4，k)，若，则k()A4B4 C5D5D，ab，ab1(2)2(4)(2)k0，k53若两个向量(1,2,3)，(3,2,1)，则平面

13、ABC的一个法向量为()A(1,2，1) B(1,2,1)C(1,2，1) D(1,2,1)A两个向量(1,2,3)，(3,2,1)，设平面ABC的一个法向量n(x，y，z)，则取x1，得平面ABC的一个法向量为(1,2，1)4已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z_9由题意知uv，uv36z0z95如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是CC1中点，求证：AB1A1M证明连接AC1，ACC1A1C1M，RtACC1RtMC1A1，AC1CMA1C1，A1MC1AC1CA1MC1MA1C190，A1MAC1由三垂线定理知，AB1A1M