专题：应用性问题.doc

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1、2011届文科数学专题复习资料-应用性问题一、数学建模分析的步骤：1. 读懂题目。应包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。 “整体理解”就是弄清题目所述的事件和研究对象； “局部理解”是指抓住题目中的关键字句，正确把握其含义； “分析关系”就是根据题意，弄清题中各有关量的数量关系； “领悟实质”是指抓住题目中的主要问题、正确识别其类型。 2. 建立数学模型。将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型。 3. 求解数学模型。根据所建立的数学模型，选择合适的数学方法

2、，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解，其中特别注意实际问题中对变量范围的限制及其他约束条件。 4. 检验。既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求，从而对原问题作出合乎实际意义的回答。二、解题指导：1要注意应用性总是的实际意义；2解决函数应用题的基本方法是先建立函数关系式，再利用二次函数、基本不等式、换元法、导数法或函数的单调性等方法求函数的最值；3 解决不等式应用题，主要是利用基本不等式或线性规划知识，借助不等式与方程的相互关系求解会使问题化难为易；4 解答数列应用题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立有关等差数列、等比数列或递推数列等模型来解决问题

3、；5 解决立体几何应用题，重在对空间想象能力和阅读能力的考查；6 解决解析几何应用题，就是将实际问题的数量关系转化为平面上的代数关系，然后用数学的方法求解代数问题，圆锥曲线的定义对解题的作用是不可忽视的；7 解答三角应用题，应充分运用正弦定理和余弦定理。其主要题型有测量问题和航海问题等，根据题意正确画出示意图是解题的关键。三、例题：a米b米x米y米第一讲 函数与不等式类型例1（09佛山）桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块占地平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植

4、桑树,鱼塘周围的基围宽均为米,如图所示,池塘所占面积为平方米，其中. () 试用表示；() 若要使最大，则的值各为多少？例2某公司是一家志做产品A的销售企业，第一批产品A上市销售后40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，发现：市场的每天销售量（单位：百件）与上市时间t（单位：天）的关系是一条折线（如图一），每件产品A的销售利润（单位：元/件）与上市时间t（单位：天）的关系也是一条折线（如图二）。（1） 写出市场每天的销售量f(t)与产品A上市时间t的关系式（不需求解过程）；（2） 第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过30万元？利润（单位：元/件

5、）销售量（单位：百件）y y 60 60 t（天） t（天） 30 40 20 40 图一 图二例3上海某玩具厂生产套2008年奥运会吉祥物“福娃”所需成本费用为元，且，而每套售出的价格为元，其中 ，（）问：该玩具厂生产多少套“福娃”时，使得每套“福娃”所需成本费用最少？（）若生产出的“福娃”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求的值（利润 = 销售收入 成本）例4（2010广东文数）（本题满分12分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位

6、的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？练习：1某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，P），点（t，P）落在下图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示。第t天4101622Q（万股）36302418（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足

7、的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；（3）在（2）的结论下，用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？2某地政府招商引资，为吸引外商，决定第一年产品免税，某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p (，即销售100元要征收p元) 的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件.() 将第二年政府对该商品征收的税收y(万元)表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；() 要使第二年该厂的税收不少于16万元，则

8、税率p的范围是多少?() 在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少? 3某旅馆有相同标准的床铺100张，根据经验，当旅馆的床价（即每床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床价高于10元，每提高1元，将有3张床空置。旅馆定价条件是：床价为1元的整数倍；该旅馆每天支出为575元，床位出租收入必须高于支出。若用表示床价，表示每天出租床位的净收入（即除去每天支出后的收入）把表示成的函数，并求出其定义域；如何定价，该旅馆每天净收入最多？4.甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x),g(x)以及任意的，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公

9、司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险. （）试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义；（）设f(x)= x+10,g(x)=,甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？5、（2009汕头）某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装x万件并全部销售完，每万件的销售收入为R

10、（x）万元.且（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？ 第二讲 数列、解几、立几类型例1（10佛山二模）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生凌霄在本科期间共申请了元助学贷款，并承诺在毕业后年内（按个月计）全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月元，第个月开始，每月工资比前一个月增加直到元.凌霄同学计划前个月每个月还款额为，第个月开始，每月还款额比前一月多元.（）若凌霄恰好在第

11、36个月（即毕业后三年）还清贷款，求的值；（）当时，凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月元的基本生活费？（参考数据：） 例2某学校在高中二年级每周开设A,B两种选修课各一节，要求全年级所有500名学生每人每周必选且只选其中的一种选修。调查资料表明,第一周选修A课程的人数比选修B课程的人数多128人，以后凡是在本周选A课程的人,下周会有25% 改选B课程;而本周选B课程的人,下星期会有25% 改选A课程.用分别表示在第周选A课程的人数和选B课程的人数. 设到第K周选修A课程的人数为整数且达到最小值，则从第K+1周起所有学生固定选修科目，不再进行科目调整。（）求证数

12、列an-bn为等比数列，() 求数列an 的通项公式和K的值。() 在前K周内参加A课程选修的共有多少人次？例3（07重庆文20）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？例4某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s. 已知各观测点到中心的距离都是1020m. 设确定巨响发生的位置。（假定声音传播的速度为340m/s，各观测点均在同一平面上）xyo图5925539GBA例5.在广铁一中的东南方有一块如图所的

13、地，其中两面是不能动的围墙，其余各边界是不能动的一些体育设施现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？第三讲 三角函数类型、图表型；北乙甲例1.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？例2（10福建） 。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小

14、时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。例3.“根据中华人民共和国道路交通安全法规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在2080 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车” 2009年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 名酒后驾车者

15、血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图（1）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图甲中每组包括左端点，不包括右端点）（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S值，并说明S的统计意义；（图乙中数据与分别表示图甲中各组的组中值及频率） （3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于7080的范围，但他俩坚称没喝那么多，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度属于7080范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率例4.在“家电下乡”活动中，某品牌家电厂家从某地购买该品牌家电的用户中随机抽取20名用户进行满意度调查.设满意度最低为0，最高为10，抽查结果统计如下：满意度分组用户数12458（I）完成频率分布直方图： （II）估计这20名用户满意度的中位数（写出计算过程）；（III）设第四组（即满意度在区间内）的5名用户的满意度数据分别为：，先从中任取两名不同用户的满意度数据、，求的概率.9