反比例函数的神奇.docx

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1、 让我们一起领略反比例函数的神奇一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟1.为何正比例函数的比例系数是比，而反比例函数的比例系数却不是比？2.为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至多探究一下的几何意义（面积），例如2016年台州市中考考查的也是“函数的研究通法”，并非专门深入研究反比例函数.3.过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开多元方程、分式方程、高次方程.4.个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来了解数学本质！做到居高临下、解有依据！5.实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比

2、、直比（纵比、横比、纵横比）、面积比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇. 二、一道曾经困惑我多时的中考题某年宁波市中考的填空压轴题: 如图，的顶点(，)，双曲线经过点、，当以、为顶点的三角形与的相似时，则 .1.常规性解法： 通过设元，例如设(，)，则(，)，再根据条件列方程： (1)利用、或列方程； (2)利用列方程； (3)利用“一线三等角”模型、和列方程. 实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具备了一定的技巧性. 但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！ 2.挖掘隐含性质，巧解此题 (1)实际上，此图中含有一些很重要的性质：

3、 过点作轴于，连接，直线分别交坐标轴于点、. 则有； ，； ，. 基于以上这些性质，有如下解法. (2)我的第一种解法（整体思想）： 由，可得，即，于是， (3)我一个同事的解法（斜边转直比）： 由，可得，转为横比，因此， (4)我一个学生的解法（斜等转直等）： 由得，则， (5)我的第二种解法（平行导角度）： 由得，于是， (6)下面我们要着重解决两件事： 上述性质是否永远成立？如何证明？ 解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍.三、探究性质1.如图，双曲线与矩形边交于点、，直线交坐标轴于点、.如

4、图1，若，则 ；如图2，若，则 ；如图3，若，则 ，直线与的位置关系是 ，与的大小关系 . 图1 图2 图32.如图1，双曲线与直线交于点、，轴于点，轴于 点，请探究直线与的位置关系，线段与的大小关系.如图2，双曲线与直线交于点、，轴于，轴于，轴于，轴于，请探究直线与、的位置关系，以及线段与的大小关系.图1 图2四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长1.如图，直线反比例函数()图象交直线于点、，且， 则的值为 . (1)常规方法（斜长转直长）：，则，可设(，)，则(，)，列方程解决； (2)口算巧解（斜边转直比）： 由，得，转为横比得，则， 2.同类变式题：如图，直线

5、交坐标轴于点、，双曲线交直线于点、.若，则的值为 ；3.难题展示（中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8题，2017/3/29） 如图，点(，)，在双曲线上，分别交，轴于， 分别交，轴于，. (1)求的面积； (2)求证：.4.原创清新小题和近年的中考题： (1)如图1，的面积为，则的值为 . (2)如图2，点，在双曲线上运动，轴，.在运动过程中，的面积是不是定值？答： ；若，且是正三角形，则点的坐标为 . (3)如图3，中，双曲线经过点和中点，则该双曲线的解析式为 . (4)如图4，直线与分别与双曲线交于点、， 则的值为 .图1 图2 图3 图4(5)(十堰)如图5，正的边长为

6、，双曲线经过点、，且，则的值为 . (6)如图6，双曲线与直线交于点、. (原创、铺垫)若、，且，则 ； (常州模拟改编)若，且，则 ； (杭州模拟改编)若，且，则 . (7)(据上题改编)如图7，为双曲线上的动点，过点作矩形，直线的解析式为，交矩形边于，则 .图5 图6 图7五、面积比、边比互转1.(原创、铺垫)如图1，直线与双曲线交于点，为双曲线上一点，射线交轴于点，若的面积为，则点坐标为 ； (成都)如图1，直线与双曲线交于点、，为双曲线上一点，射线交轴于点，若的面积为，则点坐标为 .2.(无锡)如图2，轴，轴，双曲线过点、，且，已知的面积为，则的值为 .图1 图1 图33.(宁波)如图

7、3，正的顶点在双曲线上，双曲线与边交于点，连接，则的面积为 .4.(丽水)如图4，双曲线与直线交于点、，轴，设点的横坐标为.用含的式子表示 ；若与四边形的面积和为，则 .5.如图5，双曲线与直线交于点、. (常州模拟)若，且，则 ； (改编自)若、，且，则 .图3 图4 图56.如图6，轴，为中点，延长到，延长到，若双曲线恰好经过点，且，则 .7.如图7，双曲线过点，过点，若，均与轴平行， ，且它们之间的距离长为，则 .8.如图8，直线交双曲线于点，若，则 .图6 图7 图89.如图，点在双曲线上，轴，延长线交轴于，若 的面积为，则的值为 .10.如图，点、在双曲线上，轴，轴，垂足、分别在轴的

8、正半轴和负半轴上，是的中点，若面积是的倍，则的值为 .六、反比例函数图象中的“一线三等角”构造，初探黄金比例1.如图1，中，双曲线经过点、，且点的 纵坐标为，则的值为 . (1)剖析：对于坐标系中的一个直角，若两条边均“倾斜”，我们经常构造“”形全等或相似，即“一线三等角”模型，或叫“矩形大法”，见图2，得.(2)后感：我们可以发现，矩形恰好是一个“黄金矩形”，这到底是一种偶然的巧合，还是一种必然的存在呢？这有待于我们进一步探究 (3)探究(2016临沭模拟)：如图3，双曲线与矩形的边交于点，若设点的坐标为(，)，且有，则 .图1 图2 图32.类似题：(2015临海模拟填空压轴题)如图， ，

9、双曲线经过点，双曲线经过点，已知点的纵坐标为，则 ，点的坐标为 . (个人原创)如图2，中，双曲线经过点，双曲线经过点，且点的纵坐标为，则的值为 . 3.难题展示（常州于新华老师原创题） (1)如图1，点(，)，均在双曲线上，过点作轴垂线，过点作轴垂线，两垂线交于点，垂足分别为，将沿翻折，点恰好落在轴上的点处. 求点的坐标. (2)如图2，点(，)，均在双曲线上，过点作轴垂线，过点作轴垂线，两垂线交于点，垂足分别为，将沿翻折，点恰好落在轴上的点处. 求点的坐标.图1 图24.如图，矩形的边的解析式为，顶点，在双曲线上. 若，则点的坐标为 ； 连接，若是等边三角形，则 .后感：若能发现，本题将更

10、简单！ 拓展：如图，正方形的顶点、在双曲线上，、在双曲线上，则正方形的面积为 .5.(2013湖州模拟) 如图1，矩形的顶点、在双曲线上，若点(，)，则点的坐标为 .6.如图2，矩形中，点(，)，点，在双曲线上，若为中点，则的值为 .图1 图27.如图1，点，在双曲线上运动，以为底边作等腰直角，则点也在一条双曲线上运动，则该双曲线的解析式为 ； 如图2，点，在双曲线上运动，以为底边作等腰，则点也在一条双曲线上运动，若，则该双曲线解析式为 ； 如图3，点，在双曲线上运动，以为底作等腰，点在另一双曲线上运动，若，请用，表示 .图1 图2 图3七、平行导角度，角度导比例1.如图，点，在双曲线上，经过

11、原点，过点作轴，连接并延长，交双曲线于点. 求证：； 求的值. 根据本题的发现，改编了一个清新小题： 如图，点，在双曲线上，经过原点，过点的直线交该双曲线于点，分别交轴，轴于点，若，. 求的值.2.如图，直线交在双曲线于点、，经过原点，过作交轴于点，连接并延长，交双曲线于点.求的值.3.如图，双曲线与过原点的直线交于点、，点在双曲线上，直线、分别交轴于点、. 若设，则 .4.如图，双曲线经过点、，求证：. 八、纯面积推导1. 如图，点(，)，在双曲线上，分别交，轴于， 分别交，轴于，. 求证：. (此方法感谢江苏于新华老师的指导！)2.(2016菏泽)如图，均是等腰直角三角形，双曲线经过点，交线段与点，求与的面积之差. 后感：题中条件“，均是等腰直角三角形”可如何改变？ 写出，的关系： .3.(十堰)如图5，正的边长为，双曲线经过点、，且，则的值为 . 4.(常州)如图1，双曲线经过点、，且，求的值；5.如图2，双曲线经过点、，求证：. 图1 图2