大题专练训练27：圆锥曲线（求直线方程）-2021届高三数学二轮复习.doc

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1、二轮大题专练27圆锥曲线（求直线方程）1已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点，为椭圆上一点，的面积为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于、两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由解：（1）由的面积为，则，得，所以，又点在椭圆上，因为是椭圆的焦点，所以由解得：，所以椭圆的方程为：；（2）假设存在直线满足题意，因为的斜率，设的方程为，联立方程组，整理得，解得，设，两点的坐标为，则，以为直径的圆的方程为，该圆经过原点，所以，又，所以，解得，经检验满足题意，所以存在直线满足题意，此时直线的方程为2抛物线上任取两点，已知的垂直平分线分别

2、交轴、轴于点，（）若的中点坐标为，求直线的斜率；（）若的中点恰好在抛物线上，且，求直线的斜率解：（）设直线，的中点坐标为，代入，得，则直线的斜率（）由（1）得，中点坐标为，显然，则，从而，中点坐标为，则，又，故，而，故，设，得，即，又，得或，又，故或符合，即，3已知椭圆的离心率为，短轴长为2（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点若的面积为为坐标原点），求直线的方程解：（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为，联立，整理得，则，故因为的面积为，所以，设，则，整理得，解得，即故直线的方程为，即4已知椭圆左、右焦点分别为，上顶点为

3、，离心率为，的面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于、两点，当面积最大时，求直线的方程解：（1），且，解得，所以椭圆的方程为：（4分）（2），设，直线的斜率不为0，设直线，联立，得，故，（7分），（9分）因为，当且仅当，即时等号成立，所以直线的方程为或（12分）5已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆的右顶点，直线与轴交于点，过点作直线与椭圆交于，两点，若，求直线的斜率解：（1）由题意知离心率满足，所以，又因为点在椭圆上，所以，解得，所以，故椭圆的标准方程为（2）由（1）得，所以直线的方程为，与轴的交点为由得，而，因此当与轴垂直时，不合题意当与

4、轴不垂直时，设其方程为，联立方程得，消去可得，设，则，由得，所以，显然不为0，两式相除得，所以，解得6在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程解：（1）根据椭圆的左焦点为，知，又点在椭圆上，故，所以，所以椭圆的方程为（2）因为直线与椭圆和抛物线都相切，所以斜率存在且不为0，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，由题可知此方程有唯一的解，此时，即，把代入抛物线的方程得，由题知此方程有唯一解，此时，即，联立得，解得，所以或，所以直线的方程为或7已知椭圆的离心率，轴被曲线截得的线段长为的长半轴长（1）求、的方程；（2）设与

5、轴的交点为，过原点的直线与相交于点，直线、分别与相交于、两点证明：；记、的面积分别为，问：是否存在直线，使得？请说明理由解：（1）令，则，解得，由题意得，解方程组得，所以，（2）证明：设直线方程：，由得，点坐标为，所以，；则，即，设直线，直线且；设，、，由，得，同理，由，得，得，同理得，又，则，（由已知、同号、也同号，上式中的绝对值可以去掉），又，整理得得，不妨取，或，此时点坐标为或；所以直线方程为：，即存在直线，使得成立8已知椭圆的离心率为，为上的一点（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，点关于原点的对称点分别为，点，当四边形的面积最大时，求的方程解：（1）根据题意得：

6、，解得，所以椭圆的方程为：（2）由题意，设直线的方程为，代入得，当，即时，直线与椭圆相交，设，则，所以，设，当且仅当，即时等号成立此时，四边形的面积最大，直线的方程为：9已知点是椭圆的右顶点，为的对称中心，点，分别是轴，轴上的动点，且记满足的点的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）直线交于，两点，射线，分别交于，两点设，的纵坐标分别为，当取得最小值时，求的斜率解：（1）设点，由题意知，则，由，得，设点的坐标为，由，得，则，代入，得，故的方程为；（2）联立，得，设，则，直线的斜率为，直线的方程为，由，得，则，同理可得，整理得，则，由均值不等式可得，当且仅当，即时，取得最小值，此时的斜率为10已知椭圆，右焦点为，短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于，两点，线段中点为，线段中点为，且为坐标原点），求所有满足条件的直线方程解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为：（2）因为直线过点，若轴，则、是的短轴端点，显然不满足条件，所以设直线方程为：，设，则有，先把的方程化为，再联立方程得，由，和中点坐标公式得，所以，所以，解得，所以方程为：、和故答案为：（1）椭圆的方程为：，（2）直线方程为：、和