历年高考数学真题精选31 立体几何中的垂直关系.docx

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1、历年高考数学真题精选（按考点分类）专题31 垂直关系（学生版）1（2019北京）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点（）求证：平面；（）若，求证：平面平面；（）棱上是否存在点，使得平面？说明理由2（2015重庆）如图，三棱锥中，平面平面，点、在线段上，且，点在线段上，且（）证明：平面（）若四棱锥的体积为7，求线段的长3（2015福建）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且，（）若为线段的中点，求证；平面；（）求三棱锥体积的最大值；（）若，点在线段上，求的最小值4（2014四川）在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形（）若，证明：直线平面；（）设、分别是线段、的中点

2、，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论5（2014福建）如图，三棱锥中，平面，（）求证：平面；（）若，为中点，求三棱锥的体积6（2014广东）如图1，四边形为矩形，平面，作如图2折叠；折痕，其中点，分别在线段，上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积7（2014新课标）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面（1）证明：；（2）若，求三棱柱的高8（2014山东）如图，四棱锥中，平面，分别为线段，的中点（）求证：平面；（）求证：平面9（2013安徽）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，已知，（）证明：面（）若为的中点，求三菱锥的体积10（201

3、3重庆）如图，四棱锥中，底面，（）求证：平面；（）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积11（2013新课标）如图，三棱柱中，（）证明：；（）若，求三棱柱的体积12（2019新课标）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿，折起使得与重合，连结，如图2（1）证明：图2中的，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的四边形的面积13（2018江苏）在平行六面体中，求证：（1）平面；（2）平面平面14（2018新课标）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由15（2018新课标）如图，在平行四边形中，以为折痕将折起，

4、使点到达点的位置，且（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积16（2017新课标）如图，在四棱锥中，且（1）证明：平面平面；（2）若，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积历年高考数学真题精选（按考点分类）专题31 垂直关系（教师版）1（2019北京）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点（）求证：平面；（）若，求证：平面平面；（）棱上是否存在点，使得平面？说明理由证明：（）四棱锥中，平面，底面为菱形，平面（）在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点，平面，平面，平面平面解：（）棱上是存在中点，使得平面理由如下：取中点，连结，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为

5、的中点，平面平面，平面，平面2（2015重庆）如图，三棱锥中，平面平面，点、在线段上，且，点在线段上，且（）证明：平面（）若四棱锥的体积为7，求线段的长解：（）如图，由，知，为等腰中边的中点，故，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，从而因为，故，从而与平面内两条相交直线，都垂直，所以平面（）设，则在直角中，从而，由知，得，故，即，由，从而四边形的面积为：由（）知，平面，所以为四棱锥的高在直角中，故体积，故得，解得或，由于，可得或所以：或3（2015福建）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且，（）若为线段的中点，求证；平面；（）求三棱锥体积的最大值；（）若，点在线段上，

6、求的最小值解：（）在中，因为，为的中点，所以，又垂直于圆所在的平面，所以，因为，所以平面（）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为1，又，所以面积的最大值为，又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为：（）在中，所以，同理，所以，在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示，当，共线时，取得最小值，又因为，所以垂直平分，即为中点从而亦即的最小值为：4（2014四川）在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形（）若，证明：直线平面；（）设、分别是线段、的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论（）证明：四边形和都为矩形，平面，平面，直线平面；（）解：取的中点，连接，

7、设为，的交点，则为的中点连接，则，连接，则四边形为平行四边形，平面，平面，平面，线段上存在一点（线段的中点），使直线平面5（2014福建）如图，三棱锥中，平面，（）求证：平面；（）若，为中点，求三棱锥的体积（）证明：平面，平面，平面；（）解：平面，平面，为中点，平面，6（2014广东）如图1，四边形为矩形，平面，作如图2折叠；折痕，其中点，分别在线段，上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积解：（1）证明：平面，平面，平面平面；又平面平面，平面，平面，平面，；又，、平面，平面；（2）平面，又中，；，即，；，7（2014新课标）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中

8、点为，且平面（1）证明：；（2）若，求三棱柱的高（1）证明：连接，则为与的交点，侧面为菱形，平面，平面，平面，；（2）解：作，垂足为，连接，作，垂足为，平面，平面，为等边三角形，由，可得，为的中点，到平面的距离为，三棱柱的高8（2014山东）如图，四棱锥中，平面，分别为线段，的中点（）求证：平面；（）求证：平面证明：（）连接，则，为线段的中点，四边形是平行四边形，是平行四边形，设，连接，则是的中点，为线段的中点，平面，平面，平面；（）是平行四边形，平面，平面，四边形是平行四边形，四边形是菱形，平面9（2013安徽）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，已知，（）证明：面（）若为的中点，求三菱锥的

9、体积（）证明：连接，交于点，又是菱形，平面，平面，平面（）则，和的三边长均为2，10（2013重庆）如图，四棱锥中，底面，（）求证：平面；（）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积解：（），为等腰三角形，再由，再由底面，可得而，故平面（）侧棱上的点满足，三棱锥的高是三棱锥的高的的面积三棱锥的体积11（2013新课标）如图，三棱柱中，（）证明：；（）若，求三棱柱的体积（）证明：如图，取的中点，连结，因为，所以由于，故为等边三角形，所以因为，所以平面又平面，故；（）解：由题设知与都是边长为2的等边三角形，所以又，则，故因为，所以平面，为三棱柱的高又的面积，故三棱柱的体积12（2019新课标）图1是由矩形

10、，和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿，折起使得与重合，连结，如图2（1）证明：图2中的，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的四边形的面积解：（1）证明：由已知可得，即有，则，确定一个平面，从而，四点共面；由四边形为矩形，可得，由为直角三角形，可得，又，可得平面，平面，可得平面平面；（2）连接，由平面，可得，在中，可得，可得，在中，可得，即有，则平行四边形的面积为13（2018江苏）在平行六面体中，求证：（1）平面；（2）平面平面证明：（1）平行六面体中， ，平面，平面平面；（2）在平行六面体中，四边形是菱形，在平行六面体中，面，且平面平面平面14（2018新课标）如图，矩形所在平面与半圆

11、弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由（1）证明：矩形所在平面与半圆弦所在平面垂直，所以半圆弦所在平面，半圆弦所在平面，是上异于，的点，平面，平面，平面平面；（2）解：存在是的中点，理由：连接交于，取的中点，连接，可得，平面，平面，所以平面15（2018新课标）如图，在平行四边形中，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积解：（1）证明：在平行四边形中，又且，面，面，平面平面；（2），由（1）得，又，面，三棱锥的体积16（2017新课标）如图，在四棱锥中，且（1）证明：平面平面；（2）若，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积证明：（1）在四棱锥中，又，平面，平面，平面平面解：（2）设，取中点，连结，平面平面，底面，且，四棱锥的体积为，由平面，得，解得，该四棱锥的侧面积：第31页（共31页）