大题专项训练13：立体几何（证明平行、垂直）-2021届高三数学二轮复习.doc

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1、二轮大题专练13立体几何（证明平行、垂直）1如图，四面体中，平面为中点，为中点，点在线段上，且（1）求证：平面；（2）若，是的中点，求证：平面证明：（1）如图，取的中点为，在上取一点，使得，连结，则由，分别为，的中点，可得，且，又为的中点，则，因为，所以，且，所以，且，故四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（2）设为的中点，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为点为的中点，所以点为的中点，因为是的中点，所以，因为，所以是等腰直角三角形，所以，因为平面，平面，所以平面2如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，为的中点，在线段上（1）为何值时，平面？（2）设，

2、求平面与平面所成的锐二面角的余弦值解：（1）因为直三棱柱中，面，以点为原点，、分别为、轴建立如图所示空间直角坐标系因为，所以，从而，0，0，所以，设，则，0，所以要使平面，只需由，得或，故当或2时，平面（5分）（2）由（1）知平面的法向量为，0，设平面的法向量为，则由得令得，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值3如图所示的几何体由斜三棱柱和组成，满足：平行四边形与、平行四边形与、平行四边形与分别全等，且点为的中点（）若、三点不共线，求证：面；（）若，面面，侧棱和底面所成的角是，求证：面面证明：（）因为的中点为，连接、，平行四边形与全等，且因为、不共线，所以面；（）连接，由（）可知，面，同理可证

3、面，而面面，因此面与面重合，即为平面，且面面，因此面，又面面，面，面，且在平面的投影在直线上，即为线面角，由，可得，即有，又，故面面4如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1ACC1平面ABC，ABBC2，ACB30，AA13，BC1A1C，E为AC的中点（1）求证：AB1平面C1EB；（2）求证：A1C平面C1EB证明：（1）取A1C1中点D，连接AD，B1D，在三棱柱ABCA1B1C1中，E为AC的中点BEB1D，AEDC1，四边形AEC1D是平行四边形，ADC1E，ADDB1D，AD平面ADB1，DB1平面ADB1，BC1BEB，BC1平面C1EB，BE平面C1EB，平面ADB1平面

4、C1EB，AB1平面ADB1，AB1平面C1EB（2）BABC，E为AC的中点，BEAC，又平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，BE平面ABC，BE平面A1ACC1，又A1C平面A1ACC1，BEA1C又BC1A1C，BEBC1B，A1C面C1EB5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PBPD3，PAAD3，点E，F分别为线段PD，BC的中点（1）求证：EF平面ABP；（2）求证：平面AEF平面PCD；（3）求三棱锥CAEF的体积证明：（1）如图，取PA的中点G，连接BG，EG，点E，G分别为PD，PA的中点，又F是BC的中点，四边形ABCD是正方形，BF

5、EG且BFEG，故四边形EFBG为平行四边形，EFBG，BG平面ABP，EF平面ABP，EF平面ABP；证明：（2）由条件知，PAB和PAD都是等腰直角三角形，PAAB，PAAD，又ABADA，AB、AD平面ABCD，PA平面ABCD，则PACD，又ADCD，PAADA，PA、AD平面PAD，CD平面PAD，得CDAE，E是PD的中点，AEPD，又PDCDD，PD、CD平面PCD，AE平面PCD，而AE平面AEF，平面AEF平面PCD；解：（3）由图可知VCAEFVEACF，即三棱锥CAEF的体积为6如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，ABCD，ADAB，ABADPDCD，PD平面

6、ABCD（1）证明：平面PBD平面PBC；（2）是否存在一点E，使得PA平面BDE？若存在，请说明点E的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由解：（1）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC设ABa，则ADa，CD2a，取CD的中点M，连结BM，则DMCMa，所以DMAB，因为DMAB所以四边形ABMD是平行四边形，所以BMADa，所以，所以BD2+BC22a2+2a24a2CD2，所以DBBC因为PDDBD，PD，DB平面PBD，所以BC平面PBD因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PBD（2）解：当点E为PC边上靠近点P的三等分点时（即）时，PA平面BDE理由如下

7、：连结AC交BD于点O，连结OE，因为AOBCOD，所以因为，所以，所以，所以PAEO因为EO平面BDE，PA平面BDE，所以PA平面BDE7如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，ABCD，ABAD，CD2AB2AD（1）求证：BD平面BCC1；（2）在线段C1D1上是否存在一点E，使AE面BC1D若存在，确定点E的位置并证明；若不存在，请说明理由解：（1）证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，CC1平面ABCD，BD平面ABCD，BDCC1，底面ABCD是梯形，ABCD，ABAD，CD2AB2AD设AB1，则BDBC，BD2+BC2CD2，BDBC，CC1BCC，CC1平面BCC1，BC平面BCC1，BD平面BCC1（2）假设在线段C1D1上存在一点E，使AE面BC1D证明如下：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB1，设E（0，b，c），则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，2，c），（1，b，c），（1，1，0），（0，2，c），设平面BDC1的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，），AE面BC1D，1b+20，解得b1在线段C1D1上存在一点E，使AE面BC1D，点E是线段C1D1的中点