大题专练训练36：导数（构造函数证明不等式1）-2021届高三数学二轮复习.doc

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1、二轮大题专练36导数（构造函数证明不等式1）1已知a是常数，函数f（x）（xalnx）lnxx（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若0a1，证明：f（ea）1（1）解：函数f（x）（xalnx）lnxx的定义域为（0，+），又，当a0时，令f（x）0，解得x1，当0x1时，f（x）0，当x1时，f（x）0，故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当a0时，令f（x）0，解得x1或x2a，（i）当2a1，即时，当2ax1时，f（x）0，当0x2a或x1时，f（x）0，故f（x）在（2a，1）上单调递减，在（0，2a），（1，+）上单调递增；（ii）当2a1，即时，f（x）0在

2、（0，+）上恒成立，所以f（x）在（0，+）上单调递增；（iii）当2a1，即时，当1x2a时，f（x）0，当0x1或x2a时，f（x）0，故函数在（1，2a），上单调递减，在（0，1），（2a，+）上单调递增（2）证明：f（ea）a（eaa2）ea，要证f（ea）1，即证a（eaa2）ea1，即证（a1）eaa31，因为0a1，也就是证明eaa2+a+1，即证，下面证明成立，令g（a）（0a1），则，当0a1时，g（a）0，故g（a）在（0，1）上单调递增，所以g（a）g（0）1，即成立故f（ea）12已知函数为常数）（1）若曲线在处的切线方程为，求，的值；（2）讨论函数函数的单调性；（3）

3、当，时，求证：解：（1），（1），（1），曲线在处的切线方程为：，即：，由题意：，；（2），当时，在上恒成立；当时，令，即，解得，令，即，解得综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在，上单调递减（3）证明：令，则，令，则，令得： 令得：，在上单调递减，在上单调递增，（1）（1），存在使，且当或时，当，时，在上递增，在，上递减，在上递增，又（1），所以有：，即，3已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当且时，求证：解：（1）由题意，得分若，令，得，令，得故函数在上单调递减，在上单调递增；分若，令，得，令，得故函数在上单调递增，在上单调递减；分若，令，为常量函数，不存在单调

4、性分（2）证明：当时，则证，即证，不等式两端同时除以，即证，得，分记函数，则设，当时，所以函数在上单调递增所以当时，（1）分所以，所以函数在上单调递增所以（1），即成立，故得证分4已知函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）设函数，当时，若函数的极大值点为，证明：解：（1）的定义域为，当时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，由，解得，此时，当，时，函数单调递减，当，函数单调递增，综上所述，当时，在上单调递减，在，上单调递增，当时，在，时，单调递减，在，单调递增证明：（2），当时，即或时，令，则的两个根为，函数的极大值点为，又，由，可得，则，令，当时，当时，在上单调递增，在，上单调递

5、减，在上单调递减，（1），故5已知函数，（1）证明：当时，；（2）若，求解：（1）证明：，考虑到，所以当，时，此时，当，时，所以单调递增，所以，所以函数单调递减，当，时，所以单调递增，所以，所以函数单调递增，当，时，综上所述，当时，（2）构造函数，考虑到，由（1）可知：在时恒成立，所以在，上单调递增，若，则在，为负，为正，在，单调递减，递增，所以，而当时，故满足题意若，因为，所以，由零点存在定理，必存在，使得，此时满足时，单调递减，所以，矛盾，舍去，若，因为当时，所以当时，此时必存在，使得，此时满足，时，单调递增，所以，矛盾，舍去，而当时，当，所以在，时，成立，单调递增，矛盾，舍去综上所述，6已知函数（）讨论的单调性；（）当时，证明：（）解：因为，所以，当时，恒成立，则在上单调递增；当时，令，则，所以，令，则，所以，所以的增区间为，减区间为综上：当时，的增区间为；当时，的增区间为，减区间为（）证明：由（）知，当时，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，故（1），所以又因为，所以则，从而，所以