大题专练训练21：圆锥曲线（椭圆：定值定点问题1）-2021届高三数学二轮复习.doc

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1、二轮大题专练21圆锥曲线（椭圆：定值定点问题1）1已知椭圆短轴长为2，是的左焦点，是上关于轴对称的两点，周长的最大值为8（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为且不经过原点的直线与椭圆交于，两点，若直线，的斜率分别为，且，求直线的斜率，并判断的值是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由解：（1）设与轴的交点为，右交点为由题意，则，当过右焦点时，周长取最大值，且，椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，由，得，由题知，（舍去）或，此时，则，故直线的斜率为，2已知椭圆的一个焦点为，且该椭圆经过点（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点、，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关

2、于轴对称？若存在，求出点的坐标：若不存在，说明理由解：（1）由题意可得，由点在椭圆上可得，联立解得，所以椭圆的方程为（2）当直线为非轴时，可设直线的方程为，与椭圆的方程联立，得，设，定点，则，直线与直线关于轴对称，等价于直线，的斜率互为相反数，所以，即，因为，所以，所以，从而可得，即，所以当，即，时，直线与直线关于轴对称，当直线为轴时，也符合题意，综上，存在轴上的定点，使得直线与直线关于轴对称3已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点，点的轨迹为曲线动直线交曲线于，两点，且始终满足，为坐标原点，作交于点（1）求曲线的方程；（2）证明：为定值解：（1）由圆，可得圆心，半径，因为，所

3、以点在圆内，又由点在线段的垂直平分线上，所以，所以，由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，所以曲线的方程为（2）证明：当直线的斜率不存在时：设的方程为：，动直线交曲线于，两点，且始终满足，为坐标原点，所以，代入椭圆方程可得：，得，即点的坐标为：，当直线的斜率存在时，设的方程为：，联立，可得由得，且，又因为，所以，即，即，代入解得，从而综上，为定值4已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，上、下项点分别为，四边形的面积为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别交直线于，两点，判断是否为定值，并说明理由解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为（2）方法

4、1：若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时可得，所以若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，整理得，易得恒成立设，则，由直线的方程可得点，由直线的方程可得点，所以所以综上，为定值方法2：显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入，整理得，易得恒成立设，则，由直线的方程可得点，由直线的方程可得点，所以所以为定值5已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上运动，面积的最大值为，且当时，（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆的两个交点分别为、，且，都不在轴上，过点作轴的垂线，若横坐标为的点在直线上，求证：直线过解：（1）依题意，；由可得，即；由可得，将代入中，整理可得，即，即；因为，故，则，故椭圆的方程

5、为；（2）证明：设，；当直线与轴垂直时，且，故，这时直线的方程为，即令，得，所以直线过；当直线不与轴垂直时，可设其方程为，代入整理得，所以，因为，所以直线的方程为因为，所以，这说明直线过点综上所述，直线过6如图，抛物线与椭圆相交于两点、，线段交轴于点，椭圆短轴的两个端点分别是、，且（1）求抛物线与椭圆的标准方程；（2）设是线段上不同于点的任意一点，直线、分别交椭圆于点、，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解：（1）设抛物线与椭圆的方程分别为和，由点在抛物线上，得，所以，故抛物线的标准方程为因为，又，且所以，得由点在椭圆上，所以，得故椭圆的标准方程为（2）证明：设，其中，且，则直线、的方程分别

6、为，将代入，整理得，得或当时，所以同理可得，所以直线的斜率，故直线的方程为所以当时，这说明直线恒过定点7已知椭圆的离心率为，且其右顶点到左焦点的距离为5（1）求的方程；（2）点，在上，且为原点），证明：存在定点，使得到直线的距离为定值（1）解：由题意得，解得，故椭圆的方程是（2）证明：若直线与轴垂直，由对称性可知，将点，代入椭圆方程中，解得，若直线不与轴垂直，设直线的方程是，由，消去整理得，故，又，则，即，故，整理得，即，因为点到直线的距离为，故存在定点，到直线的距离为定值综上，存在定点，使得到直线的距离为定值8已知椭圆的离心率为，短轴长为2（1）求椭圆的标准方程；（2）点，斜率为的直线不过点，且与椭圆交于，两点，；为坐标原点）直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由解：（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为（2）设直线的方程为，联立，整理得，则，因为，所以，所以，所以，即，整理得，即，则直线的方程为，故直线过定点