2009-2010年兴义地区重点高考一轮复习教学案—— 数列的应用doc--高中数学 .doc

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1、 永久免费组卷搜题网3.7数列的应用解应用题的关键是，抽象出数学问题，找出数量关系,建立起数学模型，要加强化归转化意识.培养一、明确复习目标理解等差、等比数列的概念、公式，并能用这些知识解决一些问题。二建构知识网络1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决.2.理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同.3.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差（或公比），其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题.三、双基题目练练手1.某林场年初有森林木材存量S m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的

2、木材量x m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是A.B.C.D.2.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，(lg2=0.301),则至少需过滤的次数为A.5B.10C.13D.143.某工厂的产值月平均增长率为P，则年平均增长率为： （ ） A、12P B、(1+P)111 C、(1+P)121 D、4.已知an=logn+1（n+2）（nN*），观察下列运算a1a2=log23log34=2，a1a2a3a4a5a6=log23log34log67log78=3.定义使a1a2a3ak为整数的k（kN*）叫做

3、企盼数.试确定当a1a2a3ak=2008时，企盼数k=_.答案：2200825.某企业在年度之初借款A元，从该年度末开始，每年度末偿还一定的金额，恰在n年间还清，年利率为r，试问每次需支付的金额是 元？6.5只猴子分一堆苹果，第一只猴子把苹果分成5堆，还多1个，把多的1个扔掉，取走其中的一堆，第二只猴子把剩下的苹果分成五堆，也多1个，把多的一个扔掉，也取走一堆，以后每只猴子都如此办理，则最后一只猴子所得苹果的最小值是 。简答:1-3.CDC;1.一次砍伐后木材的存量为S（1+25%）x；二次砍伐后木材存量为S（1+25%）x（1+25%）x.由题意知（）2Sxx=S（1+50%），解得x=.

4、2.由题意列式（120%）n5%，两边取对数得n13.4.故n14.4.由a1a2ak=log2（k+2）=2008，解之得k=220082.5.”双向储畜法”设每年还x元,第n年底还清,则所还款到第n年底的本利和为贷款A元到第n年底本利和为A(1+r)n.由6.设第n只猴得an只苹果,则,是整数则(a1+1)=54时,四、经典例题做一做【例1】6.从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月2日不再存款，而是将所有存款及利息全部取回，求可取回的钱的总数（万元）.解：存款从后向前考虑（1+

5、p）+（1+p）2+（1+p）5=（1+p）7（1+p）.答：（1+p）7（1+p）万元。提炼方法：数列模型等比数列的和，实质是复利、零存整取取问题。从最后一年存款向前算。【例2】由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000 t，第二天运送1100 t，以后每天都比前一天多运送100 t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，连续运送15天，总共运送21300 t，求在第几天达到运送食品的最大量.剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.解：设在第n天达到运送食品的最大量.则前n天每天运送的食

6、品量是首项为1000，公差为100的等差数列.an=1000+（n1）100=100n+900.其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为100的等差数列.依题意，得1000n+100+（100n+800）（15n）+（100）=21300（1n15）.整理化简得n231n+198=0.解得n=9或22（不合题意，舍去）.答：在第9天达到运送食品的最大量.温馨提示:对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题.【例3】杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万

7、元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：（1）引进该设备多少年后，开始盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.解：（1）设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，则y=50n（12n+4）98=2n2+40n98，由y0，得10n10+.nN*，3n17，即3年后开始盈利.（2）方案一：年平均盈利为，=2n+402+40=12，当且仅当2n=，即n=7时，年平均利润最大，共盈利127+26=110万元.方案二：盈利

8、总额y=2（n10）2+102，n=10时，y取最大值102，即经过10年盈利总额最大，共计盈利102+8=110万元.两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算.【例4】 2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a1=，经过n年后绿化的面积为an+1，试用an表示an+1；（2）求数列an的第n+1项an+1；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771）剖析：当年的绿化面

9、积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.解：（1）设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn+1.于是a1+b1=1，an+bn=1.依题意，an+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分an后剩余的面积an，另一部分是新绿化的面积bn，于是an+1=an+bn=an+（1an）=an+.（2）an+1=an+，an+1=（an）.数列an是公比为，首项a1=的等比数列.an+1=+（）（）n.（3）an+160%，+（）（）n，（）n，n（lg91）lg2，n6.5720.至少需要7年，绿化率才能超过60%.【研讨.欣赏】（2004年春季北京，20）下表给出一

10、个“等差数阵”：47（ ）（ ）（ ）a1j712（ ）（ ）（ ）a2j（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）a3j（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.（1）写出a45的值；（2）写出aij的计算公式；（3）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.（1）解：a45=49.（2）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j1），第i行是首项为4+3（i1），公差为2i+1的等差

11、数列，因此aij=4+3（i1）+（2i+1）（j1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j.（3）证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i（2j+1）+j，从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），从而N=k（2l+1）+l=akl，可见N在该等差数阵中.综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积

12、.五提炼总结以为师1.数列的应用题常见类型：产量增减、价格升降、求利率、增长率、细胞繁殖分期付款等，一般是等差、等比数列问题,解题关键是建立数列的模型;.2.将实际问题转化为数列问题时应注意：（1）分清是等差,还是等比数列问题;（2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.（3）要要善于发现an与an-1的关系。同步练习 3.7数列的应用 【选择题】1.从2003年到2006年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元一年定期储蓄，若年利率q保持不变，且每年到期的存款利息均自动转为新的一年定期，到2007年6月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息作用全部取回，则取回的金额是：( ）

13、A、m(1+q)4元 B、元 C、m(1+q)5元 D、元2.某工厂年产量第二年增长率为a，第三年增长率为b，则这两年平均增长率x满足 ( ) A、 B、 C、 D、3.某工厂去年产值为a，计划今后五年内每年比上一年产值增长10%，从今年起到第五年，这个工厂的总产值是 （ ）A、1.14a B、1.1(1.151)a C、10(1.151)a D、11(1.151)a4.从工地运送电线杆到500m以外的公路，沿公路一侧每隔50m埋栽一根电线杆，已知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输车运行( )A.11700m B、14700m C、14500m D、14000m

14、5.假设一个球从某个高度掉到地上，再弹起的高度为前高度的，那么当一个球从6米高度落下，并让其自由弹跳直到停下，球总共的运动路程为 米。6.如图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n2）第2个数是_.简答.提示：1-4.DBDD; 4.第一次运运两根,所走路程a1=1100,以后每次比上次多走300米,共7次,路程总和S7=14000m;5.5h. 设原高度为h,从第一次落地到第二次落地球走路程再到下次着地所走路程是这次路程的,所以直到停下所走路程为6.设第n行的第2个数为an，则an+1=an+n，累加得an=.【解答题】7一个水池有若干出水相同的

15、水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开始时全部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且关闭最后一个水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解：设每个水龙头放水时间依次为x1,x2,xn,由已知x2x1=x3x2=x4x3=xnxn1, xn为等差数列，又每个水龙头每分钟放水时间是1/(24n), x1+x2+xn=24n;即n(x1+xn)/2=24n x1+xn=48, 又xn=5x1 , xn=40即最后一个水龙头放水时间是40分钟8.某地区现有耕地面积10000公顷，规划10年

16、后粮食单产比现在提高22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到1公顷)解法一：以粮食单产比现在提高22%为目标建立数学模型，设现有的人口为A人，人均粮食占有量为b吨，平均每年减少耕地x公顷，由题意可知：解得：,再用二项式定理进行计算可得：x4解法二：以10年后人均粮食占有量比现在提高10%为目标建立数学模型，粮食单产为a吨/公顷， 可得：x4 (公顷)9一计算机装置有一个数据入口A和一个运算结果的出口B，将自然数列n中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列an,结果表明： 从A口输入n=1时，从B口得到a1=1/3; 当n2

17、时，从A口输入n，从B口得到的结果an是将前一个结果an1先乘以自然数列n中的第n1个奇数，再除以自然数列n中的第n+1个奇数,试问：(1)从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？(2)从A口输入2000时，从B口得到什么数？答案：(1)a1=,a2=,a3=;(2)猜想am=,用数学归纳法证明（略）， a2000=1/1599999910.某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：2003年2004年2005年新植亩数100014001800沙地亩数25200240002240

18、0而一旦植完，则不会被沙化问：（1）每年沙化的亩数为多少？ （2）到那一年可绿化完全部荒沙地？解:（1）由表知，每年比上一年多造林400亩 因为2004年新植1400亩，故当年沙地应降为亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以2004年沙化土地为200亩同理2005年沙化土地为200亩所以每年沙化的土地面积为200亩（2） 设2005年及其以后各年的造林亩数分别为、，则n年造林面积总和为：由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩由题意： 化简得,解得： 故8年，即到2012年可绿化完全部沙地 【探索题】为了保护某处珍贵文物古迹，政府决定建一堵大理石护墙，设计时，为了与周边景点协调，对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层依次类推，到第十层恰好将石块用完，问共需大理石多少块？每层各用大理石多少块？解：设共用大理石块，则各层用大理石数分别为第一层：第二层：第三层：第十层：组成首项为，公比为，项数为10的等比数列，故，所以=2046。答：共用去大理石2046块，各层分别为1024，512，256，128，64，32，16，8，4，2块。 永久免费组卷搜题网