电工技能培训专题-电路分析基础-正弦稳态电路的分析.ppt

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1、第八章 正弦稳态电路的分析,81 引言,82 正弦信号,8. 正弦信号的相量表示,8. 4 基尔霍夫定律的相量形式,8. 5 电阻、电感、电容元件伏安 关系的相量形式,第八章 正弦稳态电路的分析,8. 6 阻抗和导纳,8. 7 正弦稳态电路的分析,8. 8 正弦稳态电路的功率,8. 9 最大功率传输,分析正弦稳态电路通常有两种方法 一是时域分析方法,列写微分方程,求方 程的特解或稳态解，计算比较复杂； 二是相量法分析法。,8.1 引言,两种分析法的简单比较,对图示电路求解正弦稳 态响应的过程如下,1.,两种分析法的简单比较,1.用时域分析法 列写电路方程,代入微分方程比较系数确定 和,设特解为

2、,解正弦函数方程，定出 和 ，再求出,2.用相量法 列写电路电压相量方程 解这个代数方程，用复数运算求出 ， 再写出与 相对应的瞬时值,即求出电路的稳态响应。,两种分析法的简单比较,8.2.1正弦信号的三个特征量 按正弦或余弦规律变化的周期电压、电流、电荷和磁链信号统称为正弦信号。以余弦信号为例，正弦信号的一般表达式为 若表示电路中的电流信号，在选定参考方向下，可表示为,8.2 正弦信号,是正弦信号的振幅或最大值,是瞬时相位,是初相,周期T,正弦信号每经过一个周期T的时间，相位 变化弧度,8.2 正弦信号,表示正弦信号单位时间内变化的弧度数，单位为 弧度 /s,为角频率,或,8.2 正弦信号,

3、表示每秒钟正弦波变化的次数， 单位为赫兹（HZ）。,正弦量的振幅 ，频率 （或角频率 ），初相 称为正弦量的三个特征量。这三个特征量确定了，正弦量的变化规律就唯一地确定了。,例如，已知一个正弦电流,则,8.2 正弦信号,相位差 , 规定 180 设两个同频率的正弦信号 波形如图823所示,8.2.2相位差,与 的相位差， 同频正弦信号的相位差即是它们的初相之差。,讨论相位差,说明 超前于 度；,u滞后于 i 度或i趋前于 u 度,8.2.2相位差,，表示 与 同相； ,表示 与 反相； ，表示 与 正交。 例821 已知 ，求 与 的相位差？ 解： 说明 趋前 240。由于规定 180,8.2

4、.2相位差,周期电流i 流过电阻R在一个周期T 内作功与直流电流I 流过同样电阻R 在同样时间T 内所作功相等，称直流电流量I为此周期性电流i的有效值。 周期电流 i流过电阻R在一个周期T内所作功为,8.2.3有效值,直流电流 流过 在 内所作功为 两者相等即 上式表明，周期性电流的有效值，等于周期性电流瞬时值的平方在一个周期内的平均值再取平方根，因此有效值又称为方均根值,8.2.3有效值,周期电压的有效值 如果周期信号是正弦电流， 有效值为,8.2.3有效值,同理可得正弦电压的有效值 可见,正弦量有效值是最大值的 倍 正弦电流和电压也可用有效值表示,实际应用中有关交流电流、电压指示值都是有效

5、 值，例如电气设备的额定值，仪器仪表的量测值,8.2.3有效值,8.3正弦信号的相量表示,8.1 复数及其运算法则 一、复数的表示 设复数 式中 ，是虚数单位。 a为复数的实部，b为复数的虚部， a,b 都为实数,复数可用复平面上的一点来表示，该点在实轴上的坐标是a，在虚轴上的坐标是b。复数还可用从原点指向点（ a，b）的向量来表示，如图所示。该向量的长度称为复数的模，记作,8.1 复数及其运算法则,复数A的向量与实轴正向间的夹角称为的辐角，记作 复数直角坐标与极坐标的表示为,或,8.1 复数及其运算法则,复数的三角表示为 由欧拉公式 复数的指数表示,8.1 复数及其运算法则,二、复数的代数运

6、算 设复数 复数的加、减运算,8.1 复数及其运算法则,复数的乘除运算采用极坐标形式,8.1 复数及其运算法则,共轭复数的性质,=,实部相同,虚部符号相反的两个复数称为 共轭复数,例如复数A,其共轭复数记作,8.1 复数及其运算法则,用直角坐标形式和极坐标形式表示式 的结果。 解,1.112.27,j,例8,用相量法分析正弦稳态电路，先讨论用相量表示正弦量。 由欧拉公式,8.3.2 正弦量的相量表示,设正弦电流 用复数表示 其中 称为电流的振幅相量,8.3.2 正弦量的相量表示,称为电流的有效值相量,是复常量，它们的模是正弦电流的最大幅度或有效值幅度，幅角是正弦电流的初相角。,8.3.2 正弦

7、量的相量表示,在同一电路里，各正弦稳态响应都与激 励同频率，因此，用振幅（或有效值） 与初相就能确定正弦响应中的电流。,所以 或 是能够表征正弦电流 的复 数。,在式(8-3-1)中， , 相量 与 相乘，幅角 是时间 t 的函数，随着时间的推移，相量 以原点为中心，以角速 度作周期性旋转。因此 称为旋转相量，其中 称为旋转因子,8.3.2 正弦量的相量表示,（）求 对应的相量并画出相 量图； （）求相位差。,解：（） 对应的振幅相量为,例 ,已知正弦电流和电压,对应 的有效值相量 对应的 相量 相量图为,（2） 与 的相位差 电流滞后电压40 解题时注意，相量与正弦量（或瞬时值）是对应关系不

8、是相等关系,已知正弦电路某三支路电压的相量分别为 画出相量图，写出对应的正弦电压表达式。 解：为了表示统一，将三支路电压相量 表示成标准的振幅相量形式,例8,相量图为 所对应的正弦电压为,或者,8.4 基尔霍夫定律的相量形式,基尔霍夫电流定律(KCL)时域表示 当电路处于正弦稳态时,各支路电流都是同频率正弦电流,于是上式可表示为,因 ，,或,所以,KCL相量形式表明，正弦稳态电路中，任一节点上各支路电流相量代数和为零。,8.4 基尔霍夫定律的相量形式,KCL相量形式,注意，电流相量的代数和为零，意味 着节点上各支路电流的瞬时值代数和 为零，而不是电流振幅值或有效值代 数和为零，即,它表明，正弦

9、稳态电路中，沿着任一回路的所有支路电压相量的代数和为零。,8.4 基尔霍夫定律的相量形式,基尔霍夫电压定律的相量形式,注意，电压相量的代数和为零，意味着回路 中各支路电压的瞬时值代数和为零，而不是 电压的振幅值或有效值代数和为零，即,某电路节点电流为 如8-4-1图所示， 求 并画出电路相量图。 解：先将电流换算成同一函数形式，写出已知电流的相量。,例841,由KCL得,对应的,相量图,8.5 电阻、电感、电容元件伏安关系的相量形式,一、电阻元件伏安关系的相量形式 设流过电阻R的电流为 由欧姆定律得,对应的相量形式,或 比较得 电阻电压的有效值等于电阻电流有效值与电阻乘积，电压与电流相位相同。

10、电阻元件相量模型图如851所示，电压与电流相量图如852所示。,电阻元件相量模型,电感电压为,二、电感元件伏安关系的相量形式,设流过电感元件L的电流为,电感元件的伏安关系的相量形式,其中 称为感抗，单位是 。,或,电感电压与电流的有效值关系为,电压相位超前电流90度，相量图如图所示,或可写为 即,电感元件相量模型 如图所示,设电容两端电压为,流过电容电流为,三、电容元件伏安关系的相量形式,比较上两式,也可写为,电容电压与电流的有效值关系为,电压相位滞后电流,电容元件的电压电流相量图,8.6 阻抗和导纳,一阻抗 由R、L、C元件组成的无源二端网络如图所示，电流相量和电压相量为关联参考方向，电压相

11、量与电流相量的比称为二端网络的等效阻抗，即,Z的单位为 。,Z为复数,其中 是阻抗的模，它是二端网络输入电 压和电流的振幅或有效值之比,阻抗角 是端电压与电流之间的相位差,阻抗模及阻抗角与电阻和电抗的关系为,阻抗三角形,阻抗是复量，不是相量，不能代表正弦量。,R、L、C三元件的阻抗,求R、L、C串联电路的阻抗。 解： 由于,例861,电路等效阻抗,的值域取决于电路的性质，讨论如下,无源二端网络的阻抗 导纳,二、导纳,8.6 阻抗和导纳,导纳是阻抗的倒数，也是复量,单位为西门子（s），,式中G是导纳的实部，称为电导，B是导纳的虚部，称为电纳, 是导纳的模， 为导纳角。,R、L、C元件的 导纳分别

12、为,、 与G、B的关系,阻抗与导纳的转换,模和幅角为,8.6 阻抗和导纳,二端网络的阻抗 它可等效 为一个电阻和一个电抗的串联，如 图（a）所示。 二端网络的导纳 ，它可等 效为一个电导和一个电纳元件的并 联，如图（b）所示。,三、阻抗、导纳串并联电路,8.6 阻抗和导纳,若干个导纳并联，如图 所示。 等效导纳为,若干个阻抗串联，如图（c）所示。 等效阻抗为,已知图（a)所示电路的电压、电流为 1）求输入阻抗Z，并画出等效电路图。 2）求输入导纳Y，并画出等效电路图 解： 电压、电流的振幅相量,例862,、,1）输入阻抗,对应的元件值,等效电路如图（b）所示。,2）输入导纳,对应的元件值,等效

13、电路如图（c）所示。,图示电路 ，求 ， 与 的相位差。 解： 电路的输入阻抗,电流有效值,例863,电流电压相量图如图所示。,8.7 正弦稳态电路的分析,KCL、KVL和元件的伏安关系是分析电路的基本依据，前面已经定义了这两类约束关系的相量形式，相量形式的电路方程和电阻电路的电路方程一样，也是线性代数方程，所以分析电阻电路的定律、定理、方法和公式等，都适用于相量法分析正弦稳态电路。以下举例说明正弦稳态电路的分析计算。,图（a）电路 ，求电路的戴维南等效电路。,例871,解： 电路的相量模型如图（b）所示,开路电压相量,等效阻抗,开路电压相量,戴维南等效电路如图（c）所示。,列写图示电路的节点

14、电压方程和网孔电流方程。 解： 选为参考节点，节点电压方程为,例872,网孔电流方程,电路如图所示，求 与 的相位差。 解：为节点电压，列写节点电压方程,例873,8.8 正弦稳态电路的功率,8.8.1 瞬时功率,一个无源二端网络N，端口电压与电流是关联参考方向，如图所示，网络N在任一瞬时吸收的功率为,设端口电压、电流分别为,阻抗角,二端网络吸收的瞬时功率为,第一项 是不随时间变化的恒定值，如波形图虚线所示；,第二项是以 为中心线，随时间变化的 正弦波。,符号相同时， ， 二端网络从外电 路吸收能量。,符号相异时， ，二端网络向外电 路释放能量。,瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率，即,

15、P也称有功功率，单位是瓦特（w） 。,8.8.2 平均功率,当二端网络是纯电阻时,当二端网络是纯电感时,当二端网络是阻抗时，可以用等效电路表示， 如图（a）所示。,二端网络吸收的平均功率 ，就是网络中电阻 消耗的功率。,假设,若二端网络中有N个电阻，网络吸收的总平均功率等于各电阻吸收的平均功率之和，即,8.8.2 平均功率,电感和电容虽然不消耗能量，但却存在与外电路交换能量的过程，这种能量交换用无功功率来计量。,8.8.3 无功功率,瞬时功率也可另推导如下,以电源的两倍频作周期变化，它代表了二端网络中等效电抗所吸收的瞬时功率。,代表了二端网络中等效电阻所吸收的。,电抗元件只与外电路进行能量交换

16、。能量交换 的最大速度 ，称为二端网络的无功功 率， 表示,为了区别有功功率，无功功率的单位为乏（Var）。 当二端网络等效为纯电阻时，有,当二端网络等效为纯电感时，有,当二端网络等效为纯电容时，有,二端网络端口电压与电流的有效值乘积称为视在功率，记为 单位为伏安（VA）。 一般电气设备都要规定额定电压和额定电流，工程上用它们的乘积视在功率表示某些电气设备的容量。 二端网络的有功功率与视在功率之比称为功率因数，记为,8.8.4 视在功率和功率因数,由于0 1，有0PS，实际中为了提高电气设备的利用率，应尽量提高负载的功率因数。 例如的变压器，额定视在功率是 ，如果所接负载的功率因数=1，它能传

17、输的功率是 ；如果=0.5，它只能传输 了，所以要更充分的利用该电气设备的容量，就应设法提高负载的功率因数。 以上讨论的二端网络是假设无源的网络，对于上述定义的各功率也适用有源二端网络，只要将阻抗角 改为二端口电压与电流的相位差 即可。,设二端网络N的输入电压与电流的相量为,电流的共轭复数为,8.8.5 复功率,复功率,单位为伏安（VA）,复功率可表述为：复功率等于电压相量与电流相量的共轭复量的乘积。 复功率只是计算用的复量不代表正弦量，因此不能视为相量。 复功率的模为视在功率 复功率的实部是有功功率 复功率的虚部是无功功率,8.8.5 复功率,的关系为,8.8.5 复功率,功率三角形 如图所

18、示,复功率具有守恒性，视在功率不守恒。,图示电路， ，求电路消耗的总平均功率；电路功率因数；电源输出的复功率、视在功率、无功功率。 解： 电路的总阻抗为,例881,电源支路的电流为 电路消耗的总平均功率为,功率因数,电源输出的复功率,视在功率,在正弦稳态电路中，电源电压和电源内阻抗一定，怎样的负载才能获得最大的平均功率，这是电气电子技术经常遇到的问题。 电路的等效信号源 和内阻抗 是一定的，负载阻抗 可变，讨论 获得最大的平均功率的条件。,8.9 最大功率传输,第一种情况，,其中 与 均可变。,电路电流,8.9 最大功率传输,电流有效值,负载电阻吸收的功率,欲使 最大，令,有,8.9 最大功率

19、传输,此时分母最小，功率,再令,得,所以当 ， 负载可获最大功率,负载获得最大功率的条件为,8.9 最大功率传输,称为负载阻抗与信号源内阻抗共轭匹配。这种匹配也是最佳匹配。 在共轭匹配的条件下，负载可以获得最大功率为,8.9 最大功率传输,第二种情况, 负载阻抗 的模可以改变,负载电阻吸收的功率,上式只有分母与 有关,对分母求极小值,即是对 求极大值，令分母的导数等于零，即,得,负载获得最大功率的条件是阻抗的模与电源内阻抗的模相等。这种方式称为模匹配。,8.9 最大功率传输,图示电路，按以下三种情况求负载吸收的功率， 1)负载是5电阻； 2)负载是电阻，并且与 电源内阻抗匹配； 3)负载与电源内阻抗共 轭匹配。,例891,1),解：由图示电路知,例891,3),比较以上三种情况，显然共轭匹配负载获得的功率最大，模匹配次之，所以共轭匹配是最佳匹配。,2),例891,图示电路， 为何值能获得 最大功率，并求其最大功率。 解：图（a)所示电路a、b端 以左的戴维南等效电路为图 （ b)所示,例892,电路共轭匹配条件为,获得的最大功率,例892,第八章 结束,