2010届高三数学一轮复习强化训练精品――空间几何体的表面积与体积 doc--高中数学 .doc

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1、 永久免费组卷搜题网2010届高三数学一轮复习强化训练精品空间几何体的表面积与体积基础自测1.（2008山东）如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 .答案 122.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1=A1B1，则多面体P-BCC1B1的体积为 .答案 3.如图所示，一个空间几何体的正视图、左视图是周长为4，一个内角为60的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为 .答案 4.已知正方体外接球的体积为,那么正方体的棱长等于 .答案 5.（2008福建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球

2、的表面积是 .答案 96.三棱锥SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥SABC的表面积是 .答案 3+例1 如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1 的最短线路的长.解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：=，=，=，abc0,abacbc0. 故最短线路的长为.例2 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中BAC=30)及其体积.解

3、如图所示,过C作CO1AB于O1,在半圆中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,AC=R,BC=R,CO1=R,S球=4R2,=RR=R2,=RR=R2,S几何体表=S球+=R2+R2=R2,旋转所得到的几何体的表面积为R2.又V球=R3,=AO1CO12=R2AO1=BO1CO12=BO1R2V几何体=V球-（+）=R3-R3=R3.例3 如图所示，长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比.解 已知长方体可以看成直四棱柱ADDABCCB.设它的底面ADDA面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh.而棱锥CADD的底面面积为S，高是h,

4、因此，棱锥CADD的体积VCADD=Sh=Sh.余下的体积是Sh-Sh=Sh.所以棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为15.例4 （14分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积. 解 由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体.2分方法一 作AF平面DEC，垂足为F，F即为DEC的中心.取EC的中点G，连接DG、AG，过球心O作OH平面AEC.则垂足H为AEC的中心.4分外接球半径可利用OHAGFA求得.AG=，A

5、F=，6分在AFG和AHO中，根据三角形相似可知，AH=.OA=.10分外接球体积为OA3=.14分方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球.6分正四面体的棱长为1，正方体的棱长为，外接球直径2R=，10分R=，体积为=.12分该三棱锥外接球的体积为.14分1.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB=90，AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是 .答案 52.如图所示，扇形的中心角为90，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之

6、比为 .答案 113.如图所示，三棱锥ABCD一条侧棱AD=8 cm，底面一边BC=18 cm，其余四条棱的棱长都是17 cm，求三棱锥ABCD的体积.解 取BC中点M，连接AM、DM，取AD的中点N，连接MNAC=AB=CD=BD，BCAM，BCDM，又AMDM=M，BC平面ADM，BC=18，AC=AB=DB=DC=17.AM=DM=4，NMAD，MN=8.SADM=MNAD=88=32.VABCD=VBADM+VCADM=SADM（BM+CM）=3218=192（cm3）.4.如图所示，已知正四棱锥SABCD中，底面边长为a,侧棱长为a.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面

7、积.解 （1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS，所以O为SAC的外心，即SAC的外接圆半径就是球的半径.AB=BC=a，AC=a.SA=SC=AC=a，SAC为正三角形.由正弦定理得2R=，因此，R=a，V球=R3=a3.（2）设内切球半径为r，作SE底面ABCD于E，作SFBC于F，连接EF，则有SF=.SSBC=BCSF=aa=a2.S棱锥全=4SSBC+S底=（+1）a2.又SE=，V棱锥=S底h=a2a=.r=,S球=4r2=a2.一、填空题1. 如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为 .答

8、案 2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123，对角线长为2，则这个长方体的体积是 .答案 483.已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=r，则球的体积与三棱锥体积的比值是 .答案 44.（2007辽宁文，15）若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 .答案 45.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 .答案 246.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 .答案 7.（2008四川理，15）已知正四棱

9、柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于 .答案 28.（2008上海春招）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V= .答案 1+二、解答题9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是 cm,（1）求三棱台的斜高；（2）求三棱台的侧面积和表面积.解 （1）设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O=，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1EAD于E，则D1E=O1O=，因O1D1=3=,OD=6=,则DE=OD-O1D

10、1=-=.在RtD1DE中,D1D=.(2)设C、C分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧=（C+C）h= (33+36)=(cm2),S表=S侧+S上+S下=+32+62= (cm2).故三棱台斜高为 cm,侧面积为 cm2，表面积为 cm2.10.如图所示，正ABC的边长为4，D、E、F分别为各边中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成了三棱锥以后.（1）MNP等于多少度？（2）擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？解 （1）由题意，折成了三棱锥以后，如图所示，MNP为正三角形，故MNP=DAF=60.（2）擦去线段EM、EN、EP

11、后，所得几何体为棱台，其侧面积为S侧=SEADF侧-SEMNP侧=322-312=.11.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱CC1上的点，且CE=CC1.（1）求三棱锥CBED的体积；（2）求证：A1C平面BDE.（1）解 CE=CC1=，VCBDE=VEBCD=SBCDCE=11=.(2)证明 连接AC、B1C. AB=BC，BDAC.A1A底面ABCD,BDA1A.A1AAC=A，BD平面A1AC.BDA1C.tanBB1C=,tanCBE=,BB1C=CBE.BB1C+BCB1=90,CBE+BCB1=90,BEB1C.BEA1B1，A1B1

12、B1C=B1，BE平面A1B1C，BEA1C.BDBE=B，BE平面BDE，BD平面BDE，A1C平面BDE.12.三棱锥SABC中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a为何值时VSABC最大，并求最大值.解 方法一 如图所示，设SC=a，其余棱长均为1，取AB的中点H，连接HS、HC，则ABHC，ABHS，AB平面SHC.在面SHC中，过S作SOHC，则SO平面ABC.在SAB中，SA=AB=BS=1，SH=，设SHO=，则SO=SHsin=sin，VSABC=SABCSO=12sin=sin.当且仅当sin=1，即=90时，三棱锥的体积最大.a=SH=，Vmax=.a为时，三棱锥的体积最大为.方法二 取SC的中点D，可通过VSABC=SABDSC，转化为关于a的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配方法解决. 永久免费组卷搜题网