2010届高三一轮复习数学精品资料第六章 不等式（57页精美WORD) 第六章不等式doc--高中数学 .doc

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1、 永久免费组卷搜题网第六章 不等式6.1 不等式的概念及性质基础自测1.已知-1a0,那么-a,-a3,a2的大小关系是（ ）A. a2-a3-aB.-aa2-a3C.a3a2-aD.a2-a-a3答案 B2.若m0,n0且m+n0，则下列不等式中成立的是( )A.-nmn-mB.-nm-mnC.m-n-mnD. m-nn-m答案 D3.已知a0,-1b0,那么下列不等式成立的是（ ）A. aabab2B.ab2abaC.abaab2 D.abab2a答案 D4.（2008厦门模拟）1的一个充分不必要条件是 （ ）A.xy B.xy0C.xy D.yx0答案B5.设甲:m,n满足乙:m,n满足

2、那么（ ）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件答案B例1 （1）设xy0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小；（2）已知a,b,c正实数，且a2+b2=c2,当nN,n2时比较cn与an+bn的大小.解 （1）方法一 （x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)x2+y2-(x+y)2=-2xy(x-y),xy0,xy0,x-y0,-2xy(x-y)0,(x2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y).方法二 xy0,x-y0,x2y2,x+y0.(x2+y2)(x-

3、y)0,(x2-y2)(x+y)0,0=1,(x2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y).(2)a,b,c正实数，an,bn,cn0,而=+.a2+b2=c2, +=1,01,01.nN,n2,=+=1,an+bncn.例2 已知a、b、c是任意的实数，且ab,则下列不等式恒成立的为（ ）A.(a+c)4(b+c)4 B.ac2bc2C.lg|b+c|lg|a+c| D.(a+c)(b+c) 答案 D例3（12分）已知-1a+b3且2a-b4,求2a+3b的取值范围.解 设2a+3b=m(a+b)+n(a-b), 2分m=,n=-. 4分2a+3b=(a+b)-(a-b). 5分-1a+b

4、3,2a-b4,-(a+b),-2-(a-b)-1, 8分-(a+b)- (a-b), 10分即-2a+3b. 12分 1.（1）比较x6+1与x4+x2的大小，其中xR;(2)设aR,且a0,试比较a与的大小.解 （1）（x6+1）-（x4+x2）=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1)=(x2-1)2(x2+1).当x=1时，x6+1=x4+x2;当x1时，x6+1x4+x2.（2）a-=当-1a0或a1时,a；当a-1或0a1时,a；当a=1时,a=.2.适当增加不等式条件使下列命题成立：(1)若ab,则acb

5、c;(2)若ac2bc2,则a2b2;(3)若ab,则lg(a+1)lg(b+1);(4)若ab,cd,则;(5)若ab,则.解 (1)原命题改为：若ab且c0，则acbc,即增加条件“c0”.(2)由ac2bc2可得ab,但只有b0时，才有a2b2,即增加条件“b0”.(3)由ab可得a+1b+1,但作为真数，应有b+10,故应加条件“b-1”.（4）成立的条件有多种，如ab0,cd0,因此可增加条件“b0,d0”.还可增加条件为“a0,c0,d0”.(5) 成立的条件是ab,ab0或a0,b0,故增加条件为“ab0”.3.设f(x)=ax2+bx,1f(-1)2,2f(1)4,求f(-2)

6、的取值范围.解 方法一 设f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,于是得,解得,f(-2)=3f(-1)+f(1).又1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,故5f(-2)10.方法二 由,得,f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,故5f(-2)10.方法三 由确定的平面区域如图.当f(-2)=4a-2b过点A时,取得最小值4-2=5,当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,取得最大值43-21=

7、10,5f(-2)10.一、选择题1.已知a,b,c满足cba且ac0，则下列选项中不恒成立的是（ ）A. B.0 C. D.0答案 C2.已知a、b、c满足cba,且ac0,那么下列选项中一定成立的是（ ）A.abac B.c(b-a)0 C.cb2ab2 D.ac(a-c)0答案A3.设a1b-1,则下列不等式恒成立的是 （ ）A. B. C. D.ab2答案D4. (2009杭州模拟)已知三个不等式：ab0，bc-ad0, 0(其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3答案D 5.已

8、知函数f(x)=log2(x+1),设abc0,则,的大小关系为 ( )A. B. C. D.答案 B6.若xy1,且0a1,则axay;logaxlogay;x-ay-a;logxalogya.其中不成立的个数是 （ ）A.1B.2 C.3D.4答案 C二、填空题7.已知a+b0，则+与+的大小关系是 .答案 +8.给出下列四个命题：若ab0,则;若ab0,则a-b-;若ab0,则;设a,b是互不相等的正数，则|a-b|+2.其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）答案 三、解答题9.比较aabb与abba（a,b为不相等的正数）的大小.解 =aa-bbb-a=,当ab0时，

9、1,a-b0,1；当0ab时，1,a-b0,1.综上所述，总有aabbabba.10.已知奇函数f(x)在区间(-,+)上是单调递减函数, ,R且+0, +0, +0.试说明f()+f()+f()的值与0的关系.解 由+0,得-.f(x)在R上是单调减函数,f()f(-).又f(x)为奇函数,f()-f(),f()+f()0,同理f()+f()0,f()+f()0,f()+f()+f()0.11.某个电脑用户计划使用不超过1 000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式.解 设买软件x片、磁盘y盒,N

10、+N+则x、y满足关系：.12.已知a0,a2-2ab+c2=0,bca2.试比较a,b,c的大小.解 bca20,b,c同号.又a2+c20,a0,b=0,c0,由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)0,b-c0.当b-c0,即bc时,由ca2(a-c)(2a2+ac+c2)0.a0,b0,c0,2a2+ac+c20,a-c0,即ac,则acb；当b-c=0,即b=c时,bca2,b2a2,即ba.又a2-2ab+c2=(a-b)2=0a=b与ab矛盾,b-c0.综上可知:acb.6.2 均值不等式基础自测1.已知a0,b0，+=1，则a+2b的最小值为( )A.7+2B.2C.7+

11、2D.14答案 A2.设a0,b0,下列不等式中不成立的是 ( )A.2 B.a2+b22abC.a+b D.2+答案 D3.（2009河南新郑模拟）已知x0,y0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是（ ）A.0B.1C.2D. 4答案 D4.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为 （ ）A.7B.3C.1+2D.5答案 A5.（2008江苏，11）x,y,zR+，x-2y+3z=0,的最小值是 .答案 3例1 已知x0,y0,z0.求证：8.证明 x0,y0,z0,+0, +0.+0, =8.（当且仅当x=y=z时等号成立）例2 （1）已知x0,y0，且

12、+=1,求x+y的最小值；（2）已知x,求函数y=4x-2+的最大值；（3）若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.解（1）x0,y0,+=1,x+y=(x+y)=+106+10=16.当且仅当=时，上式等号成立，又+=1,x=4,y=12时，(x+y)min=16.（2）x,5-4x0,y=4x-2+=-+3-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,+=1,x+y=(x+y)=10+=10+210+22=18,当且仅当=,即x=2y时取等号，又2x+8y-xy=0,x=12,y

13、=6,当x=12,y=6时，x+y取最小值18.例3 （12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 （1）设污水处理池的宽为x米，则长为米. 1分则总造价f(x)=400+2482x+80162=1 296x+12 960=1 296

14、+12 960 3分1 2962+12 960=38 880（元），当且仅当x=(x0),即x=10时取等号. 5分当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. 6分（2）由限制条件知,10x16. 8分设g(x)=x+.g(x)在上是增函数，当x=10时(此时=16),g(x)有最小值， 即f(x)有最小值. 10分1 296+12 960=38 882(元).当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38 882元. 12分1.已知,a,b,c均为正数，且a+b+c=1.求证：+9.证明 += +=3+3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=时取等号.2.若-4x

15、1,求的最大值.解 =-4x1,-(x-1)0,0.从而2-1当且仅当-(x-1)= ，即x=2（舍）或x=0时取等号.即=-1.3.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元.（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v(千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 （1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y=(a+bv2) =sb,v（0,c.（

16、2）依题意，有s,b,a,v都是正数.因此y=sb2s;若c,则当且仅当v=v=时,y取到最小值.若c,则y在（0，c上单调递减，所以当v=c时，y取到最小值.综上所述，为了使全程运输成本最小，当c时，行驶速度应该为v=；当c时，行驶速度应该为v=c.一、选择题1.若不等式x2+ax+40对一切x（0，1恒成立，则a的取值范围为（ ）A.B.C.D.答案 C2.在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（ ）A.y=x+B.y=C.y=D.y=x2-2x+3答案 D3.已知0x1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为( )A.B.C.D. 答案 B4.（2008聊城模拟）若直线2ax+by-2

17、=0 （a,bR+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则+的最小值是（ ）A.1B.5C.4D.3+2 答案 D5.（2008汕头模拟）函数y=log2x+logx(2x)的值域是 （ ）A. B.C.D.答案 D6.有一个面积为1 m2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理（够用且最省）的是（ ）A.4.7 mB.4.8 m C.4.9 mD.5 m答案C二、填空题7.（2008徐州调研）若实数a,b满足ab-4a-b+1=0 (a1),则(a+1)(b+2)的最小值为 . 答案 278.若a,b是正常数，ab,x,y(0,+)，则+,当且仅当=时上式取等号.利

18、用以上结论，可以得 到函数f(x)=+ 的最小值为 ，取最小值时x的值为 .答案 25 三、解答题9.（1）已知0x，求x(4-3x)的最大值；（2）点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2x+4y的最小值.解 （1）已知0x,03x4.x(4-3x)=(3x)(4-3x)=当且仅当3x=4-3x,即x=时“=”成立.当x=时，x(4-3x）的最大值为.（2）已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，所以x+2y=3.2x+4y2=2=2=4.当且仅当，即x=,y=时“=”成立.当x=,y=时，2x+4y的最小值为4.10.已知a、b（0，+），且a+b=1,求证：(1)a2+b2;(2)+

19、8;(3)+ ;(4) .证明 由 a、b（0，+），得ab4.（当且仅当a=b=时取等号）(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-2=，a2+b2.(2)+8,+8.(3)由(1)、(2)的结论，知+ =a2+b2+4+4+8=,+ .(4) =+ab+=+22+2=.11.设a0,b0,a+b=1.（1）证明：ab+4;（3）探索猜想，并将结果填在以下括号内：a2b2+（ ）；a3b3+（ ）；（3）由（1）（2）归纳出更一般的结论，并加以证明.（1）证明 方法一 ab+44a2b2-17ab+40(4ab-1)(ab-4)0.ab=()2=,4ab1，而又知ab4,因此（4

20、ab-1）(ab-4)0成立，故ab+4.方法二 ab+=ab+，ab=，4，.当且仅当a=b=时取等号.又ab+2=，当且仅当ab=，即=4,a=b=时取等号.故ab+=4（当且仅当a=b=时，等号成立）.（2）解 猜想：当a=b=时，不等式a2b2+( )与a3b3+( )取等号，故在括号内分别填16与64.（3）解 由此得到更一般性的结论：anbn+4n+.证明如下：ab=,4.anbn+=anbn+2+4n=+=4n+，当且仅当ab=,即a=b=时取等号.12.某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量x(单位：件，xN*，1x96)的关系如下：x123496p 又知每生产一件正品盈利a

21、(a为正常数)元，每生产一件次品就损失元.（注：次品率p=100%，正品率=1-p)（1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量x的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？解 （1）依题意可知：p=(1x96,xN*),日产量x件中次品有xp件，正品有x-px件，日盈利额T=a(x-px)-px=a.(2)T=a=a=a=aa(104-2)=64a，所以当100-x=20，即x=80时，T最大.因此日产量为80件时，日盈利额T取最大值.6.3 不等式的证明基础自测1.设a、b（0，+），且ab-a-b1,则有（ ）A.a+b2(+1)B.a+b+1C.a+b+1 D.a+b2(+1

22、)答案A2.（2009宜昌调研）若a,x,y是正数，且+a恒成立，则a的最小值为（ ）A.2B.C.2D.1答案B3.下列三个不等式：a2+22a;a2+b22(a-b-1);(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2.其中，恒成立的有（ ）A.3个B.2个C.1个D.0个答案C4.设a、b、c、d、m、nR+，P=，Q=则有（ ）A.PQB.PQC.PQD.PQ答案B5.（2008安徽合肥5月）设a0,b0,c0,下列不等关系不恒成立的是 （ ）A.c2+c+1c2+c-1 B.|a-b|a-c|+|b-c|C.若a+4b=1,则6.8 D.ax2+bx-c0（xR）答案D 例1 已知a、

23、b、m、nR+.求证：am+n+bm+nambn+anbm.证明 am+n+bm+n-ambn-anbm=am(an-bn)+bm(bn-an)=(an-bn)(am-bm)a、b、m、nR+,当ab时，(an-bn)(am-bm)0,am+n+bm+nambn+anbm,ab时，(an-bn)(am-bm)0,am+n+bm+nambn+anbm.综上知：am+n+bm+nambn+anbm.例2 已知a，b，c为不全相等的正数，求证：3.证明 左式=.a,b,c为不全相等的正数，2, 2, 2,且等号不同时成立.3,即3.例3 已知ab0,求证：.证明 欲证,只需证ab0,只需证即欲证只需

24、证即.该式显然成立.欲证1,只需证，即.该式显然成立.成立，且以上各步都可逆.成立.例4（14分）设Sn是数列an的前n项和，对nN*总有Sn=qan+1（q0,q1）,m,kN*,且mk.（1）求数列an的通项公式an;（2）证明：Sm+k (S2m+S2k);（3）证明：当q1时，解 （1）当n=1时，a1=S1=qa1+1,q1,a1=.1分Sn=qan+1,Sn+1=qan+1+1-得Sn+1-Sn=qan+1-qan,an+1=qan+1-qan. 3分(q-1)an+1=qan,q1,an+1=an.数列an是首项为,公比为的等比数列.an=（）n-1. 4分(2)由（1）得Sn=

25、qan+1=（）n-1+1=1-（）n.令=t,则Sm+k=1-tm+k,S2m=1-t2m,S2k=1-t2k,Sm+k-(S2m+S2k)=(1-tm+k)-(1-t2m)+(1-t2k) 7分=(t2m+t2k)-2tm+k=(tm-tk)20.Sm+k(S2m+S2k). 9分(3)当q1时，t=1,mk,t2mt2k,1-t2m0,1-t2k0,1-tm+k0.-11分0(t2m-1)(t2k-1)=t2m+2k-(t2m+t2k)+1t2m+2k-2=(1-tm+k)2.13分-14分1.设数列an的首项a1(0,1),an=,n=2,3,4,.(1)求an的通项公式；（2）设bn

26、=an,证明bnbn+1,其中n为正整数.（1）解 由an=,n=2,3,4,整理得1-an=-(1-an-1).又1-a10,所以1-an是首项为1-a1,公比为-的等比数列，得an=1-(1-a1)n-1(n=2,3,4,).（2）证明 由（1）可知0an,故bn0.所以(3-2an+1)-(3-2an)=-(3-2an)=(an-1)2.又由(1)知an0且an1,故0,因此bnbn+1(n为正整数）.2.（2009成都模拟）（1）设a、b、c都是正数，求证：a+b+c;(2)已知a、b、c(0，+），且a+b+c=1,求证：6.证明 （1）a、b、c（0，+），都是正数.2c，2a，2

27、b.三式相加，得2()2(a+b+c).a+b+c.（2）=2+2+2=6.3.若0ac,bc,求证：c-证明 c-ac+,因为ac,故a+c2c,又bc.所以式成立.所以原不等式成立.4.已知a0,b0,c0,a+bc.求证：.证明 方法一 （放缩法）a0,b0,c0,a+bc,=方法二 （构造函数法）令f(x)=,x(0,+).可知f(x)=在（0，+）上为单调增函数.a+bc0,f(a+b)f(c).即.又一、选择题1.已知mn,x=m4-m3n,y=n3m-n4,那么x、y的大小关系应是（ ）A.xyB.x=yC.xyD.与m、n的取值有关答案A2.若0ab1,则下列各式中成立的是（

28、）A.abaaaaB.aa aaabC.abaaaa D.abaaaa答案D3.已知ab0，且ab=1,若0c1，p=logc,q=logc,则p、q的大小关系是（ ）A.pqB.p=q C.pqD.pq答案C4.（2008厦门模拟）若不等式x2+2x+a-y2-2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是（ ）A.a0B.a1 C.a2 D.a3答案C5.若ab0，下列各式中恒成立的是（ ）A. B.C.a+ D.aaab答案B6.若实数m、n、x、y满足m2+n2=a,x2+y2=b,其中a、b为常数，那么mx+ny的最大值为（ ）A.B.C.D. 答案B二、填空题7.（2008吉林白

29、山一模）不等式,对满足abc恒成立，则的取值范围是 .答案 （4，+）8.若0a1,0b1,且ab，则a+b,2,a2+b2,2ab中最大的是 .答案 a+b三、解答题9.如果ab,ab=1,求证：a2+b22(a-b),并指明何时取“=”号.证明 因为ab,a-b0,所以欲证a2+b22(a-b).只需证2.因为ab,所以a-b0，又知ab=1.所以=(a-b)+.所以,即a2+b22(a-b).当且仅当a-b=,即a-b=时，取等号.10.已知：a、b、c均为正数.求证：（ab+a+b+1）(ab+ac+bc+c2)16abc.证明 ab+a+b+1=(a+1)(b+1),ab+ac+bc

30、+c2=(a+c)(b+c),a、b、c(0,+),a+120,b+120,a+c20,b+c20.四式相乘得:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc.11.已知x0,y0,求证：(x+y)2+(x+y)x+y.证明 (x+y)2+(x+y)-(x+y).=（当且仅当x=y时等号成立）=0.所以原不等式成立.12. (2008陕西理，22)已知数列an的首项a1=，an+1=，n=1，2，.（1）求an的通项公式；（2）证明：对任意的x0,an,n=1,2,;(3)证明：a1+a2+an.（1）解 an+1=,又是以为首项，为公比的等比数列.（2）证明 由（1）知an=0,=

31、-原不等式成立.（3）证明 由（2）知，对任意的x0,有a1+a2+an=取x=.则a1+a2+an.原不等式成立.6.4 不等式的解法基础自测 1.下列结论正确的是（ ） A.不等式x24的解集为x|x2 B.不等式x2-90的解集为x|x3C.不等式(x-1)22的解集为x|1-x1+ D.设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1x2,则不等式ax2+bx+c0的解集为x|x1xx2答案C2.不等式0的解集是（ ）A.(-,-1)(-1,2B.-1,2C.(-,-1)2,+)D.(-1,2答案D3.（2008天津理，8）已知函数f(x)=则不等式x+(x+1)f(x+1)1的解集是（ ）A.x|-1x-1B.x|x1C.x|x-1D.x|-1x-1答案C4.在R上定义运算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)1对任意实数x成立,则 （ ） A.-1a1B.0a2C.-aD.- a答案C5.（2008江苏，4）A=x|(x-1)23x-7，