2021版高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲简单几何体的再认识表面积与体积练习理北师大版.doc

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1、第5讲 简单几何体的再认识（表面积与体积） 基础题组练1圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是()A4S B2SCS DS解析：选A.由r2S得圆柱的底面半径是，故侧面展开图的边长为22，所以圆柱的侧面积是4S，故选A.2已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为()A5 BC9 D3解析：选B.因为圆锥的底面半径R4，高h3，所以圆锥的母线l5，所以圆锥的侧面积SRl20.设球的半径为r，则4r220，所以r，故选B.3(2020安徽黄山一模)如图所示为某几何体的三视图，则几何体的体积为()A. B1C. D3解析：选B.由主

2、视图可得如图的四棱锥PABCD，其中平面ABCD平面PCD.由主视图和俯视图可知AD1，CD2，P到平面ABCD的距离为.所以四棱锥PABCD的体积为VS长方形ABCDh121.故选B.4(2020河南郑州三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. BC. D解析：选D.几何体是半个圆柱挖去半个圆锥所形成的，如图，由题意可知几何体的体积为：122122.故选D.5(2020广东茂名一模)在长方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，D1B与DC所成的角是60，则长方体的外接球的表面积是()A16 B8C4 D4解析：选A.如图，在长方体ABCDA1B1C

3、1D1中，因为DCAB，所以相交直线D1B与AB所成的角是异面直线D1B与DC所成的角连接AD1，由AB平面ADD1A1，得ABAD1，所以在RtABD1中，ABD1就是D1B与DC所成的角，即ABD160，又AB2，ABBD1cos 60，所以BD14，设长方体ABCDA1B1C1D1外接球的半径为R，则由长方体的体对角线就是长方体外接球的直径得4R2D1B216，则R2，所以长方体外接球的表面积是4R216.故选A.6一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是_解析：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图，由题意知底面正方形

4、的边长为2，正四棱锥的高为2，取正方形的中心O，AD的中点E，连接PO，OE，PE，可知PO为正四棱锥的高，PEO为直角三角形，则正四棱锥的斜高PE.所以该四棱锥的侧面积S424.答案：47.已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为_解析：设圆锥SO的底面半径为r，高为h，则圆柱PO的底面半径是，高为，所以V圆锥SOr2h，V圆柱PO，所以.答案：8已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为_解析：如图，过点P作PD平面ABC于点D，连接

5、AD并延长交BC于点E，连接PE，因为ABC是正三角形，所以AE是BC边上的高和中线，D为ABC的中心因为ABBC2，所以SABC3，DE1，PE.所以S表32333.因为PD1，所以三棱锥的体积V31.设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r1.答案：19已知一个几何体的三视图如图所示(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段的中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和S圆锥

6、侧(2a)(a)a2，S圆柱侧(2a)(2a)4a2，S圆柱底a2，所以S表a24a2a2(5)a2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图则PQa，所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.10.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx

7、，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.综合题组练)1.如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()A. BC. D解析：选C.正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的，所以所有弧长之和为3.故选C.2(2020江

8、西萍乡一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. BC. D4解析：选A.由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱ABB1DCC1，挖去一个三棱锥EFCG所形成的，故所求几何体的体积为(22)21.故选A.3(2020福建厦门外国语学校模拟)已知等腰直角三角形ABC中，ACB90，斜边AB2，点D是斜边AB上一点(不同于点A，B)沿线段CD折起形成一个三棱锥ACDB，则三棱锥ACDB体积的最大值是()A1 BC. D解析：选D.设ADx，将ACD折起使得平面ACD平面BCD.在ACD中，由面积公式得CDh1AD1(h1为点A到直线CD的距离)

9、，则h1.由题易知h1为点A到平面BCD的距离，故三棱锥ACDB体积为VSBCDh1h1，x(0，2)令t，则t1，)，故V.由于t是减函数，故当t1时，V取得最大值为(21).故选D.4设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上的四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 B18C24 D54解析：选B.如图，E是AC的中点，M是ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为SABCAB29，所以AB6，BMBE2.易知OM平面ABC，所以在RtOBM中，OM2，所以当D，O，M三点共线且DMODOM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值

10、VmaxSABC(4OM)9618.故选B.5.如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为_解析：三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.答案：6已知半球O的半径r2，正三棱柱ABCA1B1C1内接于半球O，其中底面ABC在半球O的大圆面内，点A1，B1，C1在半球O的球面上若正三棱柱ABCA1B1C1的侧面积为6，则其侧棱的长是_解析：依题意O是正三角形ABC的中心，设ABa，分析计算易得0a2，AOa，在RtAOA1中，AOr2，则AA1 ，所以正三棱柱ABCA1B1

11、C1的侧面积S3aAA13a36，整理得a412a2360，解得a26，即a，此时侧棱AA1.答案：7.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC边的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面为S，当CQ1时，S的面积为_解析：当CQ1时，Q与C1重合如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.因为F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，所以AFFC1APPC1，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，所以PG綊C1D1，所以四边形C1D1GP为平行四边形，所以PC1綊D1G，所以PC1綊AF，所以A，P，C1，F四点共面，所以四边形APC1F为菱形因为AC1，PF，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面S为菱形APC1F，所以其面积为AC1PF.答案：8已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为_解析：如图所示，设S在底面的射影为S，连接AS，SS.SAB的面积为SASBsinASBSA2SA25，所以SA280，SA4.因为SA与底面所成的角为45，所以SAS45，ASSAcos 4542.所以底面周长l2AS4，所以圆锥的侧面积为4440.答案：409