最全面数列通项公式求法大全(配练习及答案)2021.docx

《最全面数列通项公式求法大全(配练习及答案)2021.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最全面数列通项公式求法大全(配练习及答案)2021.docx（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成学习必备欢迎下载数列通项公式地十种求法一、公式法*ana1(n1)ddna1d( nN )a1qn 1n*ana1 qq (nN )二、累加法f ( n)anan12已知数列 an例2 n1， a1ann1满足 anan1 ，求数列 an地通项公式。1n an 1， a1anan233例已知 数 列 an2满 足， 求 数 列地 通 项 公 式 。13n（1.）ann三、累乘法anf (n)an1n an an， a1例3已知数列an2( n1)53 ，求数列 an 地通项公式。满足1n (n 1)2n 12（a35n!. ）nanannn1评注：本

2、题解题地关键为把递推关系an2(n1)5an 转化为2(n1)5 ，进而求1anananana3a2a2a11出 a 地通项公式。a ，即得数列n112例 4 已知数列 an 满足 a11， ana12a23a3(n1)an 1(n2) ，求 an 地通项n!. ）2公式。（ an第 1 页，共 8 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成学习必备欢迎下载anan1评注：本题解题地关键为把递推关系式an( n1)an (n2) 转化为n1(n2) ，1anan通项公式。anana3a21进而求出2时， a地表达式，最后再求出数列 a a，从而可得当n地nn212四、待定系数法（其中 p，

3、q 均为常数）。anpanqanpanfnanpanqan1121n5已 知 数 列 an 5 ， a1例an2an36an满足， 求 数列地 通 项 公 式 。1n 12n5（an）nn 1n评注：本题解题地关键为把递推关系式an2an35 转化为 an52(an5 ) ，11从而可知数列 a5nn5 a为等比数列，进而求出数列地通项公式，最后再求出数列nn an地通项公式。n已知数列 an 4， a1例an3an521，求数列 an 地通项公式。6满足1n 13n2（a1352 ）nn评注： 本 题解题 地关 键为把递推 关 系式an3an524 转 化 为1n 1nnan5223(an5

4、22) ，从而可知数列 an522 为等比数列，进而求12n出数列 a52 地通项公式，最后再求数列 a 地通项公式。nn2 an 4 n5， a1例7已知数列an2 an3n1 ，求数列 an 地通项公式。满足1n 42（an23n10 n18 ）3n 2评注：本题解题地关键为把递推关系式a2a4 n5 转化为n1n22an3(n1)10(n1)182( an3n10 n18) ，从而可知数列1第 2 页，共 8 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成学习必备欢迎下载22 an3n10n18 为等比数列， 进而求出数列 an3n10n18 地通项公式， 最后再 an 地通项公式。求出

5、数列五、 递推公式为 Sn与 an 地关系式 (或 Snf ( an ) )S1Sn(n1)2)解法：这种类型一般利用anSn( n11n 2an1 与 an 地关系；（ 2）求通项公例 8 已知数列anSn4an前 n 项与.（ 1）求2式an .六n例 9 已知数列 an 1， a1an3an233 ，求数列 an 地通项公式。满足1anann231nnn1 ，得11解：an3an231 两边除以3，1n1333an3nan3n2313n 111则，故ann( ananan( ananann( anann( a2a1 )a131 )112 )223 )n2n321333313331( 23

6、2(n31 )( 2313n 113(2313( 231 )33)3n3n 2133211)1313(2 )nnn 1n 213nn 1(13)a2(n31)2n3121n因此1，nn3131 .22323123n3n则annannan32313annn11评注：本题解题地关键为把递推关系式an3an231 转化为，1nn 13annannannannananna22a1a13111222233进而求出(1 )()()(1 )，即得数列n333333333 an 地通项公式，最后再求数列地通项公式。第 3 页，共 8 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成学习必备欢迎下载七、对数变换法

7、（当通项公式中含幂指数时适用）n5例 10已知数列 anan23an， a17 ，求数列 an 地通项公式。满足1n5n5an， a1解：因为an237 ，所以an0， an0 。再 an23an 式两边取111常用对数得lg an5lgann lg3lg 2111设lg anx(n1)y5(lg anxny)111 式，得将式代入5 lg annlg3lg2 x n(1)y5(algnxny，两边消去5 lg an 并整理，得(lg3x)nxylg 25 xn5 y ，则lg34lg316xlg3xx5xlg 2，故y5ylg 24ylg34lg316lg3 4lg 24lg34lg316l

8、g 24代入 11 式，得12lg an( n1)5(lg ann)1lg34lg316lg3 16lg 24lg 24lg316lg 24由lg a1lg 710 及 12 式，1lg3n4得lg a0，nlg3 (n 4lg3lg316lg 24lg a1)n1则5 ，lg316lg 24lg ann4lg3 n 4lg316lg316lg 2lg34lg34lg316lg316lg 24所以数列lg alg 7为以为首项，以5 为公比地等n4lg34lg 24lg 2 )5n41比数列，则lg ann(lg 7，因此第 4 页，共 8 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成学习必

9、备欢迎下载lg 341lg 316lg 24lg 34lg 36lg 241n1lg an(lg 7)5n1lg 36124 )5n11lg 24 )5nnnlg 3411(lg 7lg 341lg 316lg 24113161316124 )12 4 )13413431613165n 14lg(7lg(3nlg(3 424 )5n1lg(75n 1165n 14n115 nlg(7143312)5n 145n 4n1615 nlg(7132)5n 145n 4n1611n 157则a32。nn5评注：本题解题地关键为通过对数变换把递推关系式an23an 转化为1lg34lg316lg 2lg

10、 24lg34lg316lg 2) ，从而可知数列lg an(n1)5(lg ann14lg anlg3 n 4lg316lg34lg316lg 24lg an 地通项为等比数列，进而求出数列n4 an 公式，最后再求出数列地通项公式。八、迭代法3( n 1)2 n例 11 已知数列 an anan，a15 ，求数列 an 地通项公式。满足1nn 1n 2n 13( n1)23n 23( n 1) 23n 2解：因为anananan an，所以11232 ( n2( n 2) ( n 1)1) nan22n 332 ( n 1) n 2( n2) ( n1)3( n2) an333 ( n2)

11、( n 1) n 2( n3)( n 2) ( n 1)an3nnnnnnn 2a1n ( n 1)2n1 n! 23a1n ( n 1)23n 1n! 2又a15 ，所以数列 anan5地通项公式为。n3( n 1)2评注：本题还可综合利用累乘法与对数变换法求数列地通项公式。即先将等式anan1第 5 页，共 8 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成学习必备欢迎下载lg anlg annn1两边取常用对数得lg an3(n1)2lg an ，即3(n1)2，再由累乘法可推知1n ( n 1)n( n 1)2lg alg alg a3lg a2lg a2lg a1n 13n ! 25

12、n123n! 2nn1lg anlg a1lg5，从而 an。lg anlg an12九、数学归纳法8(n1)89，2例 12 已知数列 an ，求数列 n aaaa地通项公式。满足n1n12(2n1) (2 n3)8(n1)89解：由及anana1，得122(2n1) (2 n3)8(11)8924254849892258258492425a2a122(211) (28(211)3)34948148498081a3a222(221) (223)8(31)a4a322(231) (233)1)2(2n(2n1由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。an21)2(2(211)189n1 时，（1）当a1，所以等式成立。211)2(2 k(2k1)1 ，则当nk 时等式成立，即nk1 时，（2）假设当ak21)8(k1)akak1(2 k1)2 (2 k3)2第 6 页，共 8 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成学习必备欢迎下载(2k1)218( k1)222(2 k1)(2 k1)(2k1(2k1) (2 k3)223)8(k1)22(2k1)2 (2k1) (2k3)3)2(2k1) (2k3)2(2k8(k1)22(2k3)1)2 (2k3)2(2k1) (2k3)11)2(2k(2k223)