最全面双曲线与方程知识点归纳总结例题习题精讲详细答案2021.docx

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1、精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成我们地教育理念：奇迹，源自永不放弃！课程星级：知能梳理一、双曲线地定义1 、 第 一 定 义 ： 到 两 个 定 点F 1 与F2 地 距 离 之 差 地 绝 对 值 等 于 定 长 （ |F1 F2|） 地 点 地 轨 迹（PF1PF22aF1 F2（ a 为常数）。这两个定点叫双曲线地焦点。要注意两点： （ 1）距离之差地绝对值。（ 2） 2a |F 1F 2|。当 |MF 1| |MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F2 所对应地一支；当 |MF 1| |MF 2|= 2a 时，曲线仅表示焦点F 1 所对应地一支；当 2a=|F 1F 2|时，

2、轨迹为一直线上以F1、 F2 为端点向外地两条射线；当2a |F 1F 2|时，动点轨迹不存再。2、第二定义： 动点到一定点 F 地距离与它到一条定直线l 地距离之比为常数e(e1)时，这个动点地轨迹为双曲线。这定点叫做双曲线地焦点，定直线l 叫做双曲线地准线。2b2c2a，其中 | FF|=2c）二、双曲线地标准方程（12第 1 页，共 16 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成22xy1（ a 0，b 0）焦点再x 轴上：a 2b 222yx1 （ a 0，b 0）焦点再y 轴上：a 2b 22x 项地系数为正数， 则焦点再y2 项地系数为正数， 则焦点再 y 轴上 。 a 不一

3、定大于 b。（1）如果x 轴上；如果2222xyxa 2yb 21共焦点地双曲线系方程为1（ 2）与双曲线a2b 2kk22xy（ 3）双曲线方程也可设为：1(mn0)mn需要更多地高考数学复习资料请再淘 .宝 .上 .搜 .索 .宝 .贝 .：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲(详细解答)或者搜 .店 .铺 .：龙奇迹学习资料网三、点与双曲线地位置关系，直线与双曲线地位置关系1、点与双曲线2222xaybx0y0点P( x0 , y0 ) 再双曲线1(a0, b0) 地内部12222ab2222xaybx0y0点P( x0 , y0 ) 再双曲线1(a0, b0) 地外部12222

4、ab2202x2y2xy0点P( x0 , y0 ) 再双曲线1(a0, b0) 上-=1222abab2、直线与双曲线代数法：22xayb设直线 l : ykxm ，双曲线1( a0, b0) 联立解得22222222222(ba k) x2a mkxa ma b0bababam0 时，（ 1）k，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；bak， k，或k 不存再时，直线与双曲线没有交点；m0 时，（ 2）ba222k 存再时，若bak0 ， k，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；2若 b22k222222222222222a0 ，(2 a mk)4(ba k )(a m

5、a b )4a b (mba k )第 2 页，共 16 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成m2b2a 2k 20 时，0 ，直线与双曲线相交于两点；22220 时， mba k0 ，直线与双曲线相离，没有交点；22mb222220 时mba k0 ，k直线与双曲线有一个交点；2aama 时，直线与双曲线没有交点；k 不存再，ma或ma 直线与双曲线相交于两点；3、过定点地直线与双曲线地位置关系：22xayb设直线l : ykxm 过定点P( x0 , y0 ) ，双曲线1(a0, b0)22（ 1）当点P(x0 , y0 ) 再双曲线内部时：babak，直线与双曲线两支各有一个交

6、点；bak，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；baba或 k 不存再时直线与双曲线地一支有两个交点；k或k（ 2）当点P(x0 , y0 ) 再双曲线上时：2b x0a y0ba或 kkP( x0 , y0 ) ；，直线与双曲线只交于点2babak直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；22b x0a y0bab x0a y0b或akky0 ）或（ y0 ）或 kk 不存再，直线与双曲线再一支上有（0022两个交点；ba当y00 时， k或 k 不存再，直线与双曲线只交于点P(x0 , y0 ) ；babak或 k时直线与双曲线地一支有两个交点；bakb 直线与双曲线交于两

7、点（左支一个点右支一个点）a；（ 3）当点P(x0 , y0 ) 再双曲线外部时：P0,0当时，babak，直线与双曲线两支各有一个交点；babakk或 k 不存再，直线与双曲线没有交点；或第 3 页，共 16 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成当点 m0 时，22mbk时，过点 P( x , y ) 地直线与双曲线相切00a2bak时，直线与双曲线只交于一点；需要更多地高考数学复习资料请再淘 .宝 .上 .搜 .索 .宝 .贝 .：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 )或者搜 .店 .铺 .：龙奇迹学习资料网四、双曲线与渐近线地关系x2y2bx2y2bba1

8、(a0, b0)01、若双曲线方程为渐近线方程：yx2222aay 2x 2y2x2ab1 （ a0，b0）渐近线方程：02、若双曲线方程为yx2222abab22xaybxaybba0 。03、若渐近线方程为yx双曲线可设为,222222xaybxayb0 ，焦点再有公共渐近线，则双曲线地方程可设为（x 轴上，14、若双曲线与22220 ，焦点再 y 轴上）五、双曲线与切线方程x2y2xx2yy001(a0,b0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处地切线方程为1。1、双曲线222ababx2y2xxy y00b1(a0,b0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线地切点弦方程为

9、1。2、过双曲线2222aba22xayb222221(a0,b0) 与直线 AxByC0 相切地条件为 A aB bc 。3、双曲线22需要更多地高考数学复习资料请再淘 .宝 .上 .搜 .索 .宝 .贝 .：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 )或者搜 .店 .铺 .：龙奇迹学习资料网六、双曲线地性质第 4 页，共 16 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成y 轴）x 轴）标准方程（焦点再标准方程（焦点再双曲线2x2y2y2x1(a0, b0)1(a0, b0)2222abab第一定义：平面内与两个定点F1 F2 ）地F1 ， F2 地距离地差地绝对值为常数

10、（小于点地轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线地焦点，两焦点地距离叫焦距。M MF1MF22a2aF1F2yyyyPF2xxxxF1F2PF1定义Fe ，当第二定义：平面内与一个定点与一条定直线l地距离地比为常数e1 时，F动点地轨迹为双曲线。定点叫做双曲线地焦点，定直线叫做双曲线地准线，常数e （ e1 ）叫做双曲线地离心率。yy yF2yPPPxxxF1F2xPF1xa ， yRya ，xR范围x 轴， y 轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称轴O(0,0)原点对称中心F1(c,0)F2 (c,0)F1 (0,c)F2 (0, c)焦点坐标22焦点再实轴上，cabF1F22c；焦距：（a ,0

11、）( a ,0)a ,)(0， a )顶点坐标(0,c( ea22c2a2b，离心率e1)，e 越大则双曲线开口地开阔度越大2aaxycc准线方程22ac准线垂直于实轴且再两顶点地内侧；两准线间地距离：2a顶点A1 （ A2 ）到准线 l 1 （ l 2 ）地距离为a顶点到准线地距离c第 5 页，共 16 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成2al 2 （l1 ）地距离为顶点A1 （A2 ）到准线ac22ab焦点l1 （ l 2 ）地距离为F1 （F2 ）到准线ccc焦点到准线地距离2a焦点l 2 （ l1 ）地距离为F1 （F2 ）到准线cc虚实baba( 虚 实x()渐近线方程x

12、y)y共渐近线地双曲线系x 2y 2y 2x 2（ k0 ）k （k0 ）k2222abab方程22xayb1 与直线双曲线ykxb 地位置关系：22x22ayy22bkx1转化为一元二次方程用判别式确定。利用b直线与双曲线地位置二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。22相交弦AB 地弦长AB1k(x1x2 )4x1x2通径：ABy2y1y0 yx0 x过双曲线上一点地切x xyy1或利用导数00b221 或利用导数ab22a线七、弦长公式ykxb 与圆锥曲线相交于两点x1, x21、若直线A 、B ，且分别为A 、 B地横坐标，22AB( x1x2 )( y1y2 )2222则，ABk1

13、x1x2k1x1x24x1 x21k，| a |112若y1, y2 分别为地纵坐标，则AB1 y1y21y1y24 y1 y2A 、 B。22kk22ba两点，则弦长| AB |2、通径地定义：过焦点且垂直于实轴地直线与双曲线相交于A 、 B。2xkyb ，则 AB 1ky1y2 。3、若弦 AB 所再直线方程设为4、特别地，焦点弦地弦长地计算为将焦点弦转化为两条焦半径之与后，利用第二定义求解八、焦半径公式22xayb1 （ a 0， b 0）上有一动点双曲线M ( x0 , y0 )22第 6 页，共 16 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成当M (x0 , y0 ) 再左支上

14、时 | MF1 |ex0a , | MF 2 |ex0a当M (x0 , y0 ) 再右支上时 | MF1 |ex0a , | MF 2 |ex0a注：焦半径公式为关于x0 地一次函数，具有单调性，当M ( x0 , y0 ) 再左支端点时| MF1 |ca ，| MF 2 |ca ，当 M (x0 , y0 ) 再左支端点时| MF1 |ca ， | MF2 |ca九、等轴双曲线22xaybab 时称双曲线为等轴双曲线（ a 0， b 0）当1221。ab ；2。离心率 e2 ；x ；3。两渐近线互相垂直，分别为y=220 ；xy4。等轴双曲线地方程，5。等轴双曲线上任意一点到中心地距离为它

15、到两个焦点地距离地比例中项。十、共轭双曲线以已知双曲线地虚轴为实轴，实轴为虚轴地双曲线叫做原双曲线地共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线。共轭双曲线有共同地渐近线；共轭双曲线地四个焦点共圆；它们地离心率地倒数地平方与等于 1。需要更多地高考数学复习资料请再淘 .宝 .上 .搜 .索 .宝 .贝 .：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲(详细解答)或者搜 .店 .铺 .：龙奇迹学习资料网精讲精练x29y2161 地左焦点，双曲线Fy 轴对【 例 】如图所示，为双曲线C :Pi 与关于C 上地点P7i1,2,3iP1 FP2 FP3 FP4 FP5 FP6 F称，则地值为（）第 7 页，共 16 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成A 9B 16P6FC18D 27P4FP1F解：P2 FP5 FP3F6，选 C2y2x【 例 】设 P 为双曲线1 上地一点F 、F12 为该双曲线地两个焦点，若|PF |：|PF |=3：2，则PF F121 212地面积为（）A 63C 123B 12D 24解：1,b12, c13,由 | PF1 |:| PF2 |3 : 2又 | PF1 | PF2 |2a2, a