2021七年级数学下册 9.1.1 不等式及其解集深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+误区警醒+知能提升训练+探究创新+迷你数学世界pdf） （新版）新人教版.pdf

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1、不等式与不等式组情境导入同学们,你能根据上图熊猫爸爸、熊猫妈妈和熊猫宝宝的对话,帮助熊猫宝宝解决这个问题吗?相信你通过学习“不等式与不等式组”这一章,一定能非常漂亮的解决它!这一章的主要内容是一元一次不等式的解法及简单应用本章将告诉你:学习的重点是一元一次不等式的解法、性质和不等式(组)的应用 学习的难点是不等式的解集、性质及应用不等式(组)解决实际问题,特别是列不等式(组)求解实际问题是本章的关键考点聚集专题不等式(组)的解集专题不等式和不等式组的解法专题不等式和不等式组的实际应用题方法指路通过具体问题中的大小关系,说出不等关系,学习各个概念时,需经历探索形成过程通过观察、归纳、类比、概括等

2、方法,由已知过渡到未知,不应死记硬背用类比的方法学习一元一次不等式的解法因为它与一元一次方程的解法步骤大致类似,但应注意最后一步,若未知数的系数是负数,不等号应改变方向对于一元一次不等式(组)解集的表示,再次体会数形结合的思想列一元一次不等式(组)解应用题是新教材增加内容,这是一个难点,做题时关键要找到不等关系,包括显现或隐藏的不等关系建立数学不等式模型是有效地解决现实世界中实际问题的重要方法 不等式 不等式及其解集学 习 目 标 导 航感受生活中存在的不等关系,了解不等式的意义理解不等式的解与不等式的解集的概念,理解它们与方程的解的区别,会在数轴上表示不等式的解集初步体会不等式是研究量与量之

3、间关系的重要模型之一,经历由具体实例到建立不等式模型的过程,进一步发展符号感与数学转化的能力教 材 知 识 详 析要点不等式(重点)不等式:用 不 等号 来表 示大 小 关 系 的 式 子,叫 做 不 等 式像,x,aa,yy等,都是不等式关键提醒:()等式是反映两个量之间的相等关系显然不等式则反映了两个量之间的不等关系,所以不等式中必定含有表示不等关系的符号()不等式是由表示不等关系的符号与它左、右两边的代数式组成的()我们现在经常用到的表示不等关系的符号有:、和等五种其中“”读作“大于”,表示其左边的量大于右边的量;“”读作“小于”,表示其左边的量小于右边的量;“”读作“大于或等于”,即“

4、不小于”,表示左边不小于右边;“”读作“小于或等于”,即“不大于”,表示左边不大于右边;“”读作“不等于”,表示两个量之间的关系是不相等的,但并未明确左边大,还是右边大例下列式子中哪些是不等式?();()abba;()x;()x;()a;()|a|精析:用不等号表示不等关系的式子叫做不等式()是等式,不是不等式;()是一个代数式,也不是不等式;是不等式的有()()()()解答:()()()()是不等式;()()不是不等式判断一个式子是否为不等式,关键是看这个式子中是否含有不等号,如“”“”“”“”和“”本题容易忽视的是:x也是不等式要点一元一次不等式(重点)一元一次不等式:含一个未知数,并且未

5、知数的次数是的不等式,叫做一元一次不等式例如x,xx等,都是一元一次不等式但是像x这样的不等式就不是一元一次不等式,这一点和一元一次方程类似例给出下列式子:a;x;x;(x)(x)xx;xx;xy其中是一元一次不等式的有(填写序号)精析:根据一元一次不等式的定义逐一去判断()变形后是x,所以它是一元一次不等式,而()的分母中含有x,所以它不是解答:要点不等式的解和它的解集(难点)能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解不等式的解与方程的解相类似,都是指一个数或某些数,都是指能满足原有的相等或不等关系的未知数的值不等式所有解的集合叫做不等式的解集求不等式解集的过程叫做解不等式由于不等式的解往往有

6、无数多个,我们不可能像方程那样把这些解一一罗列出来,因此,引入解集,利用集合就能形象地把不等式的所有解概括出来了例如不等式xx的解集是x,这就表明所有小于的数都是该不等式的解;同样,解集为x的不等式,表明所有大于的数都是该不等式的解归纳整理:()不等式的解集包含着不等式的解,而不等式的解是不等式解集中具体的数值,一个一个的解组成了不等式的解集不等式的解与方程的解一样,可以用xa表示,而不等式的解集则用xa或xa表示()不等式与方程在表达式上只有“不等号 或”和“等号”之别,用“”去代替不等式中的“”或“”,不等式就变成了方程,同样地,用“”或“”去代替方程中的“”,方程就变成了不等式,因此,不

7、等式的解集xa或xa与方程xa之间具有如下密切的关系:若不等式a xb(或)的解集是xm或xm,则方程a xb的解便是xm;反之,若方程a xb的解是xm,则不等式a xb(或)的解集不是xm,就是xm这里的m我们把它叫做不等式解集的界点()不等式的解集必须符合两个条件:解集中的每一个数值都能使不等式成立;能够使不等式成立的所有数值都在解集中例下列说法正确的是()Ax是不等式x的解集B不等式x的解是xC不等式 x 的解集为x Dx是不等式x的解集精析:因为x是不等式x的一个解,而不是不等式的解集,所以A错;因为x是不等式x的解集,而不是解,所以B错;取一个小于的数带入不等式,例如当x时,不等式

8、的左边是()(),所以C错解答:D一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集,它包含不等式的每一个解不等式的解集一般要化为xa或xa的形式在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向一定要改变例小明和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,爸爸坐在跷跷板的一端,小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,他们都不用力时,爸爸那端着地,已知爸爸的体重为 k g,妈妈的体重为 k g,那么小明的体重可能是()A k gB k gC k gD k g精析:如果我们把这样一个问题抽象成数学问题,实际上就是妈妈和小明的体重之和比爸爸的体重轻设小明的体重为xk g,则x ,在A、B、C、D四个选项中,能使不等

9、式成立的只有选项A解答:A检验一个未知数的值是否是不等式的解,只要把它代入不等式,看不等式是否成立有时使不等式成立的未知数的值可能不止一个,这是方程和不等式的不同之处,解题时要特别注意要点列不等式表示不等关系列不等式和列方程类似,都要根据文字说明,在正确理解题意的基础上,联系实数和代数式的知识,准确的找到题目中的不等关系,从而列出不等式,列不等式是进一步学好不等式的一个重要方面,一定要认真领会内在的数量关系和对一些关键字词的理解关键提醒:根据条件列不等式要特别注意:不等号与一些词语含义的对应关系,如:“”表示大于、高出、多于、超过,“”表示小于、低于、不足、合算,“”表示大于或等于、不少于、不

10、低于、至少,“”表示小于或等于、不大于、不超过、至多例根据下列数量关系,列不等式:()x的倍与的差是非负数;()a的与的和小于;()a与b两数和的平方不小于;()ab是正数精析:解此题的关键是把握关键词:如:()非负数是大于等于的数,即“”;()中小于用“”;()中的不小于用“”;()中的“正数”是大于的数,即“”解答:()x;()a;()(ab);()ab解答此类题的关键是:()代数式的书写要准确;()将题目中的文字叙述转化为正确的不等关系的式子,要弄清非负数(),非正数(),不小于(),不大于()的意义应注意:抓关键词语;明确运算顺序要点利用数轴表示不等式的解集(重点、难点)我们知道数轴上

11、右边的点表示的数总比左边的点表示的数大,可以根据这一特点来描述不等式的解集下面分四种情况研究不等式解集的表示,列表如下:不等式解集xaxaxaxa意义数轴上表示数a的点右边的数,不包括a数轴上表示数a的点右边的数,包括a数轴上表示数a的点左边的数,不包括a数轴上表示数a的点左边的数,包括a画法从a开始向右画,在表示a的点处画 空心圆圈从a开始向右画,在表示a的点处画 实心圆圈从a开始向左画,在表示a的点处画 空心圆圈从a开始向左画,在表示a的点处画实心圆圈图示关键提醒:不等式的解集可以在数轴上直观、形象地表示出来,用数轴来表示不等式的解集时,要注意“两个确定”,一是确定边界点,若边界点是不等式

12、的解,则用实心圆点;若边界点不是不等式的解,则用空心圆点,二是确定方向,对边界点而言,“小于向左,大于向右”例在数轴上表示下列不等式的解集:()x;()x;()x;()x精析:x可以用数轴上表示的点的右边部分表示,因为不包含,所以在表示的点上画一空心圆圈,如图();x可用数轴上表示的点和它的右边部分来表示,并在表示的点上画实心圆 点,表 示包 含,如图();同 样,x可用数轴上表示的点的左边部分表示,如图();x可用数轴上表示的点和它的左边部分表示,如图()解答:()()()()()()()()图 因为数轴上的点所表示的数,右边的总比左边的大,所以在数轴上表示不等式的解集时应切记:大于向右画,

13、小于向左画;有等号画实心点,无等号画空心圈拉 分 典 例 探 究综合应用例(要点、)在公路上,我们常看到以下不同的交通标志图形,它们有着不同的意义,如果设汽车载重为x,速度为y,宽度为l,高度为h,请你用不等式表示图 中各标志的意义图 精析:限重、限宽、限高、限速中的“限”字的意思就是不超过解答:由题意可知,x t,y k m/h,lm,h m归纳演绎:生活中的图象、微标、信息类题初露端倪,这类题型的特点是让学生把图象信息转化为数学语言,充分体现了新课标中“数学作为一种普遍适用的技术,有助于人们收集、整理、描述信息,建立数学模型,进而解决问题,直接为社会创造价值”的理念例(要点、)如图,天平右

14、盘中的每个砝码的质量都是g,则物体A的质量m(g)的取值范围,在数轴上可表示为()图 精析:由第一个天平可以知道物体A的质量m应该大于g,由第二个天平所示,可以知道物体A的质量m应该小于g,所以m的取值范围是m解答:A归纳演绎:本题取材于生活中的天平问题,它反映了生活中存在大量的不等关系,先由图写出物体A的质量m(g)的取值范围是大于而小于,再由不等式解集的意义及数轴的表示方法选A例(要点、)某班 名学生上体育课时,老师出了一道题目:现在我拿出一些篮球,如果每名同学玩一个篮球,有些同学就会没有球玩;如果每名同学玩一个篮球,其中有一个篮球玩的人数就会不足人你们知道有几个篮球吗?甲同学说:如果有x

15、个篮球,那么x 乙同学说:如果有x个篮球,那么(x)丙同学说:如果有x个篮球,那么x 你明白他们说的意思吗?精析:本题既考查了不等式的知识,又考查了代数式的知识在解答的过程中,要认真审题,准确地理解不等式所表达的意义这里关键是要弄清x,x,(x)的意义及其与 的关系解答:甲同学说的意思是如果每名同学玩一个篮球,那么玩x个球的人数少于 乙同学说的意思是如果每名同学玩一个篮球,除了一个球以外,剩下的球每名同学玩一个,玩剩余的(x)个球的人数少于 丙同学说的意思是如果每名同学玩一个篮球,那么玩x个球的人数多于 技法规律:此题认真审题是至关重要的,不能只对照不等式盲目思考事实上,这里篮球的个数x应同时

16、满足x,(x),x 这三个不等式,猜猜看,x应是多少?探究创新例(要点)比较下面四个算式结果的大小(在横线上选填“”“”或“”):,()(),()(),通过观察,归纳出反映这种规律的一般结论:精析:先分别计算,再仔细观察分析,找出隐含的规律解答:如果a,b是两个实数,那么有aba b归纳演绎:本题通过具体事例引导学生实现从模仿到创造的思维转化,解题的关键是从简单情形入手,通过计算分析、观察与归纳,得到一般性的结论知 能 提 升 训 练夯基固本(要点)在下列数学表达式:;xy;x;xy;x;xy中,不等式有()A 个B 个C 个D 个(要点)下列数,中是不等式x 的解的有()A 个B 个C 个D

17、 个(要点)用不等式表示m与n的差不大于,正确的是()AmnBmnCmnDmn(要点)在下列不等式中,是一元一次不等式的是()AxxBxxCxyDx(要点)下列不等式中,不成立的是()AB C D(要点)下列不等式中,是其解的是()AxBxCxDx(要点)下列不等式中,解集不同的一对是()A xx与xBx 与xC xx与xD xx与x(要点)用数轴表示不等式x的解集正确的是()(要点、)已知实数a,b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是()(第题)Aa bB|a|b|CabDab综合应用(要点、)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P、Q、R、S,如图所示,则他们的体重大小关系是()(

18、第 题)APRSQBQSPRCSPQRDSPRQ(要点、)无论x取何值,下列不等式总成立的是()AxBxC(x)D(x)(要点)按要求写出一个含x的一元一次不等式,使得,都是它的解,则这个不等式可以是(要点)在,中,能使不等式xx成立的x的值是;是不等式x的解(要点)亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机,他现在已存有 元,计划从现在起以后每个月节省 元,直到他至少有 元设x个月后他至少有 元,那么可列不等式为(要点)规定一种新的运算:ababab如,请比较()()(填“”“”或“”)(要点)按下面的程序计算,若开始输入的值x为正数,最后输出的结果为 ,则满足条件的x的不同值有个(第 题)

19、(要点)在数轴上表示下列不等式的解集:()x;(第 题()()x;(第 题()()|x|;(第 题()()x(第 题()(要点)列不等式表示下列关系:()x的与的差小于;()y的倍与b的的和是负数;()a的相反数与的和是正数;()x的与的倒数的和大于y;()x的与的倒数的和大于y的 探究创新(要点)某市自来水公司按如下标准收取水费:若每户每月用水不超过 m,则每立方米收费 元;若每户每月用水超过 m,则超过的部分每立方米收费元小亮家某月的水费不少于 元,那么他家这个月的用水量x(m)至少是多少?请列出关于x的不等式(要点、)用甲、乙两种原料配制成某种饮料,已知这两种原料的维生素C含量及购买这两

20、种原料的价格如下表:原料维生素C含量及价格甲种原料乙种原料维生素C含量(单位/k g)原料价格(元/k g)()现配制这种饮料 k g,要求至少含有 单位的维生素C,试写出所需甲种原料的质量x(k g)应满足的不等式;()在()的条件下,如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过 元,那么你能写出x(k g)应满足的另一个不等式吗?答案全析全解 D A D D A A C C解析:小于向左画,无等号画空心圆圈 C解析:由图知ba,所以a b,|a|b|,ab,ab D D 答案不唯一,如x ,x ()(第 题()()(第 题()()(第 题()()(第 题()()x()yb()a()xy()x

21、y (x)()x (x)()x(x)解析:()因 为 所 要 配 置 的 饮 料 为 k g,其中甲种原料的质量为xk g,那么需要乙种原料(x)k g;由表可知,这种饮料中甲、乙两种原料的维生 素C的 含 量 分 别 为 x和 (x),所以这 种饮 料中 维 生素C的含量为 x (x);由题意,得 x (x)()由表可知,购买甲种原料的费用为x元,购 买乙 种原 料 的 费 用 为(x)元,由题意,得x(x)迷 你 数 学 世 界符号“”和“”符号“”(大于)、“”(小于)都是英国数学家哈里奥特(T H a r r i o t)于 年开始使用的,但当时并没有被数学界所接受直到 多年后,它们才

22、逐渐成为标准的应用符号至于符号“”“”,根据德国数学家哥德巴赫(C G o l d b a c h)在 年月写给欧拉的信中所述,是一位法国数学家布盖(P B o u g u e r)于 年至 年首先使用的,后来逐渐流行开来这两种符号又有着怎样的含义呢?如果a,b是两个确定的数(或者说a,b是常数),那么ab表示“ab”“ab”有且仅有一个成立因此,和都是正确的同样地,如果a,b是两个确定的数(或者说a,b是常数),那么ab表示“ab”“ab”有且仅有一个成立因此,和都是正确的如果x是变数,a是确定的数(或者说a是常数),那么xa表示x既可以取到a,也可以取大于a的值例如,x表示x可以取和大于的所有值同样地,如果x是变数,a是确定的数(或者说a是常数),那么xa表示x既可以取到a,也可以取小于a的值例如,x表示x可以取和小于的所有值