第9讲 解析几何小题（解析版）.docx

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1、第9讲 解析几何小题一、多选题1（2021全国高三专题练习）已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点(不在轴上)，外接圆的圆心为，内切圆的圆心为，直线交轴于点为坐标原点.则（ ）A的最小值为B的最小值为C椭圆的离心率等于D椭圆的离心率等于【答案】AD【分析】由题意得外心在y轴上，设，则由得，求出，得，再设，得，可判断A B；因为为的角平分线，得可判断CD.【详解】由题意得外心满足，所以必在y轴上，设，则由得，即，所以，所以，所以，所以，因为在椭圆上，设，所以，当时，有，所以 的最小值为，故A正确，B错误；连接，则分别为的角平分线，由角平分线定理可知，则，故D正确，C错误.故选：AD.【点睛】

2、本题考查了椭圆的定义以及几何性质，解题关键点是明确外心的位置和内角平分线性质，考查了推理能力、运算求解能力.2（2021山东高三专题练习）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，直线与C交于两点，轴，垂足为E，直线与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（ ）A四边形为平行四边形BC直线的斜率为D【答案】AC【分析】利用关于原点对称，可判断A，利用趋近于0时点的位置，得出大于，从而判断B设，计算斜率可判断C，由三角形外角定理得，从而可判断D【详解】双曲线关于原点对称，又直线过原点，所以关于原点对称，由得四边形为平行四边形，A正确；当，点趋近于右顶点，此时趋近于平角，因此不可能有，B错设，则，由轴知，

3、而，C正确；中，因此，D错；故选：AC【点睛】思路点睛：本题考查双曲线的对称性，解题关键是得出关于原点对称，则设后就可得出坐标，斜率的关系随之可得，利用平面几何知识判断AD，利用趋近于0的变化趋势得出点变化趋势，从而得出的变化趋势3（2021广东深圳市高三一模）设、分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（ ）AB当时，C的离心率是2C到渐近线的距离随着n的增大而减小D当时，C的实轴长是虚轴长的两倍【答案】AC【分析】由已知条件值，根据，可计算的值，进而可判断选项A；直接计算可判断选项B；计算到渐近线的距离用表示，即可判断选项C；当时求出得值，可得的关系可判断选项D，进而可得正确选项.

4、【详解】对于选项A：由双曲线的方程可得，所以，因为，所以，所以，可得：，故选项A正确；对于选项B：当时，双曲线，此时，所以离心率，故选项B不正确；对于选项C：中，由选项A知：，的渐近线方程为，不妨取焦点，则到渐近线的距离，所以到渐近线的距离随着n的增大而减小，故选项C正确；对于选项D：当时，所以实轴长为，虚轴长为，不满足C的实轴长是虚轴长的两倍，故选项D不正确；故选：AC【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出，再利用双曲线的性质可求，关键点是准确记忆双曲线中的概念，焦点到渐近线的距离等于.4（2021广东韶关市高三一模）设是椭圆上一点，是椭圆的左右焦点，焦距为，若是直角，则（ ）

5、A(为原点)BC的内切圆半径D【答案】ABC【分析】对于A，由直角三角形的性质可判断；对于B，由是直角，所以，再结合椭圆的定义可求出三角形的面积；对于C，利用面积法可求出的内切圆半径，对于D，当时，不构成三角形，【详解】中，为斜边的中点，所以，故A正确；设，则有，所以，所以，故B正确.，故C正确；当且仅当为椭圆右顶点，此时，不构成三角形，故D错误.故选：ABC5（2021广东梅州市高三一模）下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（ ）A设、为两个定点，为非零常数，则动点的轨迹为双曲线B设定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆C方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D双曲线与椭

6、圆有相同的焦点【答案】CD【分析】根据双曲线的定义可判断A选项的正误；根据直角三角形的几何性质可判断B选项的正误；求出方程的两根，结合椭圆和双曲线离心率的取值范围可判断C选项的正误；求出双曲线与椭圆的焦点坐标，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，若动点的轨迹为双曲线，则，即，但与的大小关系未知，A选项错误；对于B选项，由可得，可得，所以，点为线段的中点，如下图所示：当为圆的一条直径时，与重合；当不是圆的直径时，由垂径定理可得，设的中点为，由直角三角形的几何性质可得（定值），所以，点的轨迹为圆，B选项错误；对于C选项，解方程，可得，所以，方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C选项正确；

7、对于D选项，双曲线的焦距为，焦点坐标为，椭圆的焦距为，焦点坐标为，D选项正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：（1）直接法：根据题设条件直接列出方程；（2）定义法：根据圆的定义写出方程；（3）几何法：利用圆的性质列方程；（4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式6（2021全国高三专题练习）已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下列结论正确的有（ ）A若，则双曲线的离心率B若是面积为的正三角形，则C若为双曲线的右顶点，轴，则D若射线与双曲线的一条渐近线交于点Q，则【答案】AB【分析】对选项A，由题意列式得，即可

8、求得；对选项B，利用等边三角形的性质求解得，即可得；对选项C，可得，即可判断，对选项D，举出反例即可判断.【详解】由题意，对于选项A，因为，所以的中垂线与双曲线有交点，即有，解得，故选项A正确；对于选项B，因为，解得，所以，所以，故选项B正确；对于选项C，由题意可得显然不等，故选项C错误；对于选项D，若为右顶点时，则为坐标原点，此时，故选项D错误.故选：AB.【点睛】关于双曲线的离心率的求解，一般需要先列关于的等式或者不等式，从而求解出离心率的范围；关于双曲线的焦点三角形的应用，一般需要用到双曲线的定义以及余弦定理列式来求解.7（2021全国高三专题练习）已知双曲线的左焦点，过且与轴垂直的直线

9、与双曲线交于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有（ ）A双曲线的方程为B双曲线的两条渐近线所成的锐角为C到双曲线渐近线的距离为D双曲线的离心率为【答案】ABD【分析】由左焦点，得，再根据的面积为，由，求得双曲线的方程，再逐项判断.【详解】因为双曲线的左焦点为，所以，又因为过与轴垂直的直线与双曲线交于，所以的面积为，即，又，所以，所以双曲线的方程为，故正确;则双曲线的渐近线方程为，所以两渐近线的夹角为，故B正确;到双曲线渐近线的距离为,故C错误双曲线的离心率为.故D正确;故选：ABD二、单选题8（2021广东湛江市高三一模）已知抛物线C：x2=-2py(p0)的焦点为F，点M是C上的一

10、点，M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且MF|=6，则p=（ ）A4B6C8D10【答案】A【分析】利用已知条件结合抛物线的定义求解即可【详解】设，则，解得故选：A9（2021全国高三专题练习（文）已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若=0，且BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则C的离心率为（ ）ABCD【答案】A【分析】由向量知识得出，再由等差数列的性质、勾股定理、椭圆的定义得出，最后由离心率公式得出答案.【详解】因为，所以由BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，设在中，解得即由椭圆的定义得的周长为即在直角三角形中，则

11、，故即故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用勾股定理、等差中项的性质、椭圆的定义得出的齐次方程，进而得出离心率.10（2021全国高三专题练习） 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则 的面积为ABCD【答案】C【详解】设P(xP,yP)(yP0)由抛物线定义知,xP+=4,xP=3,yP=2,因此SPOF=2=2.故选C.11（2021江苏常州市高三一模）过抛物线上一点P作圆的切线，切点为，则当四边形的面积最小时，P点的坐标是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用点在抛物线上设出P点的坐标，求出点P到圆心的距离，对函数求导得出最小值，即四边形的面积最小值，进而可得此时

12、的P点的坐标【详解】由题意可设，当四边形的面积最小时，点P到圆心的距离最小，即，可令，则，则时，此时取得最小值，四边形的面积为，所以故选：C12（2021江苏盐城市）设分别为双曲线的左右焦点，圆与双曲线的渐近线相切，过与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角的正切值为（ ）ABCD1【答案】C【分析】采用数形结合，根据，可得，然后根据到角公式简单计算可得结果.【详解】根据题意作出图形，如图一条渐近线的方程为，即点到的距离为所以由题知：又与圆相切，且，所以可知为的中点故，则又，所以所以，故选：C.13（2021河南高三月考（理）已知抛物线的焦点为F，P为C在第一象限

13、上一点，若的中点到y轴的距离为3，则直线的斜率为（ ）ABC2D4【答案】B【分析】由的中点到y轴的距离为3可求得，得出点坐标，即可求出斜率.【详解】的中点到y轴的距离为3，即，解得，代入抛物线方程可得，因为F点的坐标为，所以直线的斜率为故选：B.14（2021全国高三专题练习（文）设是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点在C的左支上，且，则的面积为（ ）A8BC4D【答案】A【分析】根据已知条件可以求出，由双曲线的可得点在以为直径的圆上，利用时直角三角形，利用勾股定理以及双曲线的定义即可求出，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】由，不妨设，所以，所以点在以为直径的圆上，即是以为直角顶点的直角

14、三角形，故，即又，所以，解得：，所以故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件分析出是直角三角形，再利用勾股定理和双曲线的定义求出的值.15（2021全国高三专题练习（文）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若的平分线分别交x轴于点，且，则椭圆C的离心率为（ ）ABCD【答案】C【分析】由余弦定理求出，即可得到，即，从而，即可得到方程，解得即可；【详解】解：如下图所示：因为，所以由余弦定理得，又，所以因为分别为的平分线，所以，所以由题意可知，点，则由，可得，即，在等式的两边同时除以，可得，解得或因为，所以故选：C三、填空题16（2021广东汕头市高三一模）写一个焦点在

15、轴上且离心率为的双曲线方程_【答案】（答案不唯一，符合要求就可以）【分析】取，可求得、的值，结合双曲线的焦点位置可得出结果.【详解】取，则，可得，因此，符合条件的双曲线方程为.故答案为：（答案不唯一，符合要求就可以）.17（2021山东高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F作倾斜角为的直线交C于A，B两点，若，则_.【答案】8【分析】由抛物线的定义可得，设直线的方程为，然后直线方程与椭圆方程联立成方程组，消去得，再由根与系数的关系可得，结合前面的式子可求出的值，从而可得答案【详解】解：设（），则，直线的方程为，由，得，所以，所以，因为，所以，所以，故答案为：818（2021广东广州市高三一模）

16、已知圆与双曲线的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为，且，则的离心率为_.【答案】【分析】由对称性知关于轴对称，关于轴对称，设得渐近线方程，设，由可得，渐近线方程与圆方程联立消元后由韦达定理得，结合可求得，从而可得离心率【详解】设，渐近线方程是，如图，由对称性可设，则，所以，由，得，代入得，代入得，解得，所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出渐近线的斜率，为此设渐近线方程为，设出圆与双曲线的四个交点的坐标，渐近线方程代入圆方程后应用韦达定理得，由已知弦长关系可得，从而结合后可求得19（2021广东韶关市高三一模）若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围

17、为_【答案】【解析】解：由y=ax2(a0),得y=2ax，由y=ex,得y=ex，曲线C1:y=ax2(a0)与曲线C2:y=ex存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点，则，可得2x2=x1+2， ，记，则 ，当x(0,2)时,f(x)0,f(x)递增当x=2时,.a的范围是 .20（2020上海市三林中学高二月考）抛物线的焦点坐标为_.【答案】【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线的焦点坐标为，求出物线的焦点坐标【详解】解：在抛物线，即，焦点坐标是，故答案为：【点睛】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，用到抛物线的焦点坐标21（2021

18、全国高三专题练习（理）在平面直角坐标系中，设抛物线与在第一象限的交点为A，若的斜率为2，则_.【答案】【分析】根据直线的斜率，可得点的坐标，然后代入抛物线方程简单计算即可.【详解】设，由，则，故得代入抛物线得.故答案为：22（2021辽宁铁岭市高三一模）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为，则此双曲线方程为_.【答案】【分析】求出椭圆焦点坐标，即双曲线焦点坐标，有的值，渐近线方程得，利用可解得得双曲线方程【详解】由题意椭圆焦点为，设双曲线方程为()，则，由，解得双曲线方程为故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查是椭圆与双曲线的综合问题，解题中要注意椭圆有，双曲线中，两者关系不相同

19、，不能混淆否则易出错23（2021全国高二单元测试）在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是_【答案】【分析】设点的坐标为，根据可得点的轨迹方程为，然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决，根据圆心距和半径的关系可得结果【详解】由题意得圆的圆心为，半径为1设点的坐标为，整理得，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆由题意得圆和点M的轨迹有公共点，解得实数的取值范围是【点睛】本题考查两圆位置关系的判断和利用，解题的关键是根据题意得到点M的轨迹方程，然后将问题转化为两圆有公共点的问题出处理，再利用代数法求解可得所求的结果24（2021辽宁沈阳市高三一模）已知抛物线，点，过作抛物线的两条切线，其中为切点，直线与轴交于点则的取值范围是_【答案】【分析】先用导数求出切线的方程，分析得直线的方程为，求出，表示出，用“设而不求法”表示出，从而求出的范围.【详解】设切点，由抛物线，切线，同理切线， 又点是两条切线的交点，所以.所以直线的方程为，即.此直线恒过，则.，消去，得，.，即，令，则，即，解得，即.故答案为：.【点睛】在研究直线与抛物线的位置关系要注意：（1）可以用导数求切线，有时可以简化运算；（2）“设而不求法”是研究直线与二次曲线相交的一般方法.