函数的极值与导数精选PPT.ppt

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1、关于函数的极值与导数第1页，讲稿共32张，创作于星期日aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0,x(x-1)0,得得x0 x1x1，则则f(x)单增区间（单增区间（，0 0）,（1 1，+）令令x(x-1)0,x(x-1)0,得得0 x1,0 x1,f(x)单减区单减区(0,2).(0,2).注意注意:求单调区间求单调区间:1:首先注意首先注意 定义域定义域,2:其次区间其次区间不能不能用用 U 连接连接（第一步）（第一步）解：解：（第二步）（第二步）（第三步）（第三步）单调区间27x21-x31f(x)23上页下页铃结束返回首页第3页，讲稿共32张，创作于星期日 yx

2、Oabyf(x)x1 f(x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)在在x1、x3处函数值处函数值f(x1)、f(x3)与与x1、x3左右近旁左右近旁各点各点处的处的函数值函数值相比相比,有什么特点有什么特点?f(x2)、f(x4)比比x2、x4左右近旁各点处的左右近旁各点处的函数值相比函数值相比呢呢?观察图像观察图像：上页下页铃结束返回首页第4页，讲稿共32张，创作于星期日函数的极值定义函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0),则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的

3、一个极小值，记作y极小值极小值=f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值与极大值与极小值极小值统称统称为为极值极值.(极值即极值即峰谷处峰谷处的函数值值）的函数值值）使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点上页下页铃结束返回首页第5页，讲稿共32张，创作于星期日（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义域内可能有多个极大值或极小值的，在函数的整个定义域内可能有多个极大值或极小值（2）极大值不一定比极小值大）极大值不一定比极小值大（3）可导函数可导函数f(x),点是极值点的点是极值点的必要条件

4、必要条件是在该是在该 点的导数为点的导数为0或者不存在或者不存在例：例：y=x2上页下页铃结束返回首页第6页，讲稿共32张，创作于星期日 1理解极值概念时需注意的几点理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个函数的极值是一个局部性局部性的概念，是仅对某的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的一点的左右两侧附近的点而言的(2)极值点是函数定义域内的点，而函数极值点是函数定义域内的点，而函数定义定义域的域的端点绝不是端点绝不是函数的函数的极值点极值点(3)若若f(x)在在a，b内内有极值有极值，那么，那么f(x)在在a，b内内绝不是单调函数绝不是单调函数，即在，即在定义域上单调的函定义域

5、上单调的函数数没有没有极值极值总结总结上页下页铃结束返回首页第7页，讲稿共32张，创作于星期日 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1)(5)若函数若函数f(x)在在a，b上有极值，它的极值点的分布上有极值，它的极值点的分布是有规律的是有规律的(如图如图(2)所示所示)，相邻两个极大值点之间相邻两个极大值点之间必有必有一个极小值点，同样一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间相邻两个极小值点之间必有必有一个极大值点一个极大值点上页下页铃结束返回首页第8页，讲稿共32张，创作于星期日练习：练习：下图是导

6、函数下图是导函数 的图象的图象,试找出函数试找出函数 的极值点的极值点,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.)(xfy)(xfy abxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy上页下页铃结束返回首页第9页，讲稿共32张，创作于星期日 yxO探究：探究：极值点处导数值极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？即切线斜率）有何特点？结论结论:极值点处，如果有切线，切线水平极值点处，如果有切线，切线水平即即:k切切=f (x)=0aby f(x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考;若 f (x0)=0，则，则x0是否为极值点？是否为

7、极值点？结论：结论：导数为导数为0的点不一定是极值点，但都叫驻点。的点不一定是极值点，但都叫驻点。x yO分析yx3是极值点吗？）（处，在，得由0,0003)(,)(23xfxxxfxxf上页下页铃结束返回首页第10页，讲稿共32张，创作于星期日进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?极大值极大值极小值极小值即即:极值点两侧极值点两侧单调性单调性互异互异上页下页铃结束返回首页第11页，讲稿共32张，创作于星期日 f (x)0 yxOx1aby f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0探究探究:极值点两侧极值点两侧导数正负符号导数正负符号有何规律

8、有何规律?x2 xXx2 2 f (x)f(x)xXx1 1 f (x)f(x)增增f (x)0f (x)=0f (x)0极大值极大值减减f (x)0注意注意:(1)f (x0)=0，x0不一定是极值点不一定是极值点(2)只有只有f (x0)=0且且x0两侧单调性不同不同，x0才是极值点才是极值点.(3)求求极值点，极值点，可以先求可以先求f (x0)=0的点，的点，再再列表判断单调性列表判断单调性结论：结论：极值点处，极值点处，f (x)=0上页下页铃结束返回首页第12页，讲稿共32张，创作于星期日因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.4431)(3xxxf解解:,4431)

9、(3xxxf.4)(2xxf令令 解得解得 或或,0)(xf,2x.2x当当 ,即即 ,或或 ;当当 ,即即 .0)(xf0)(xf2x2x22x当当 x 变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x(,2)2(2,2)2(2,+)00f(x)(xf+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增3/283/4所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 28/3;当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 4/3.上页下页铃结束返回首页第13页，讲稿共32张，创作于星期日变式变式求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf

10、.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解解:,112)()1(xxf令令 解得解得 列表列表:,0)(xf.121xx0f(x)(xf+单调递增单调递增单调递减单调递减)121,(),121(1212449所以所以,当当 时时,f(x)有极小值有极小值121x.2449)121(f上页下页铃结束返回首页第14页，讲稿共32张，创作于星期日求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解解:,0273)()2(2xxf令解得解得 列表列表:.3,321xxx(,3)3(3,3)3(3,+)0

11、0f(x)(xf+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以,当当 x=3 时时,f(x)有极大值有极大值 54;当当 x=3 时时,f(x)有极小值有极小值 54.上页下页铃结束返回首页第15页，讲稿共32张，创作于星期日求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解解:,0312)()3(2xxf令解得解得 .2,221xx所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 10;当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 22.,033)()4(2xxf令解得解得 .

12、1,121xx所以所以,当当 x=1 时时,f(x)有极小值有极小值 2;当当 x=1 时时,f(x)有极大值有极大值 2.上页下页铃结束返回首页第16页，讲稿共32张，创作于星期日小结：小结：极值定义 关键：可导函数y=f(x)在极值点处的f(x)=0或者不存在或者不存在。极值点左右两边的导数必须异号。3 3个步骤：个步骤：确定定义域确定定义域求求f(x)=0的根的根并列成表格并列成表格判断极值：判断极值：用方程用方程f(x)=0的根的根x0，x1,.,顺次将函数的定义顺次将函数的定义域分成若干个开区间，如域分成若干个开区间，如果果xn左侧左侧紧邻区间导函数紧邻区间导函数f(x)都都小小于于

13、0，右侧右侧紧邻区间导函数紧邻区间导函数f(x)都都大于大于0，则，则f(x)在在xn左边减少左边减少，右边增加右边增加,xn是极小值点是极小值点，f(xn)是极小值是极小值。如。如果果xn左侧左侧紧邻区紧邻区间导函数间导函数f(x)都都大于大于0，右侧紧邻区间导函数，右侧紧邻区间导函数f(x)都都小于小于0，则则f(x)在在xn左边增加左边增加，右边减少右边减少,xn是是极大值点极大值点，f(xn)是是极大极大值值。上页下页铃结束返回首页第17页，讲稿共32张，创作于星期日 例例2求函数f(x)x32x21在区间1,2上的最大值与最小值 分析首先求f(x)在(1,2)内的极值然后将f(x)的

14、各极值与f(1)，f(2)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 解析f(x)3x24x.上页下页铃结束返回首页第18页，讲稿共32张，创作于星期日 故f(x)最大值1，f(x)最小值2.点评利用求最值的步骤求解 1、函数最大值及最小值点必在下面各种点之中：导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点 2、函数在区间a，b上连续是f(x)在a，b上存在最值的充分而非必要条件上页下页铃结束返回首页第19页，讲稿共32张，创作于星期日变式：变式：求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内 的最大值和最小值的最大值和最小值 上页下页铃结束返回首页第20页，讲稿共32张，创作于

15、星期日 故函数故函数f(x)在区间在区间1，5内的极小值为内的极小值为3，最大值为最大值为11，最小值为，最小值为2 法二、法二、解、解、f(x)=2x-4令令f(x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1，2）2（2，5）50y-+3112y上页下页铃结束返回首页第21页，讲稿共32张，创作于星期日 例例3已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1，(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由 解析(1)由f(1)f(1)0，得3a2bc0,3a2bc0.又f(1)1，abc1.上页下页铃结束返回首页第22页，讲稿共32张

16、，创作于星期日 点评若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f(x0)0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数上页下页铃结束返回首页第23页，讲稿共32张，创作于星期日注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局局部性质部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多多个极大值或极小值个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某，并对同一个函数来说，在某一点的一点的极大值也可能小于另一点的极小值极大值也可能小于另一点的极小值。思考思考1.判断下面判断下面4个命题，其中是真命题序号为个命题，其中是真命题

17、序号为 。f (x0)=0,则则f(x0)必为必为极值；极值；f(x)=在在x=0 处取处取极大值极大值0，函数的极小值函数的极小值一定小于一定小于极大值极大值函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极值即为最值函数的极值即为最值3x上页下页铃结束返回首页第24页，讲稿共32张，创作于星期日1)6()(23xaaxxxf有极大值和极小值有极大值和极小值,求求a范围范围?思考思考2解析:f(x)有极大值和极小值极大值和极小值 f(x)=0有2实根,0已知函数已知函数解得 a6或a3上页下页铃结束返回首页第25页，讲稿共32张，创作于星期日练习练习1：求求

18、 在在 时极值。时极值。44xx31y3),0(x上页下页铃结束返回首页第26页，讲稿共32张，创作于星期日练习练习2:若若f(x)=ax3+bx2-x在在x=1与与 x=-1 处有极值处有极值.(1)求求a、b的值的值(2)求求f(x)的极值的极值.上页下页铃结束返回首页第27页，讲稿共32张，创作于星期日练习练习3：设设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数恰有三个单调区间，试确定实数a的的取值范围，并求出这三个单调区间取值范围，并求出这三个单调区间.上页下页铃结束返回首页第28页，讲稿共32张，创作于星期日上页下页铃结束返回首页第29页，讲稿共32张，创作于星期日上页下页铃结束返回首页第30页，讲稿共32张，创作于星期日上页下页铃结束返回首页第31页，讲稿共32张，创作于星期日感谢大家观看感谢大家观看2022-9-13第32页，讲稿共32张，创作于星期日