函数的极限精选PPT.ppt

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1、关于函数的极限第1页，讲稿共54张，创作于星期日数数列列极极限限:在自变量n无限增大的过程中,对应的函数值nu无限趋近于确定值 A.函函数数极极限限:在自变量 x的某个无限变化过程中,对应的函数值)(xf无限趋近于确定值 A.自变量无限变化的过程有如下几种形式：xx 无限增大，记为一、xxx无限增大，记为且01 xxx无限增大，记为且0200 xxxx，记为无限接近某定值二、0001xxxxxx，记为且 0002xxxxxx，记为且第2页，讲稿共54张，创作于星期日考虑种自变量的连续变化过程：x x-x x x0 xx0+xx0-中函数极限的定义。第3页，讲稿共54张，创作于星期日.sin时时

2、的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限第4页，讲稿共54张，创作于星期日问问题题:函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(可任意小表示AxfAxf .的过程中表示 xGx.0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.第5页，讲稿共54张，创作于星期日定定义义1 1 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数(不不论论

3、它它多多么么小小),总总存存在在着着正正数数G,使使得得对对于于适适合合不不等等式式Gx 的的一一切切x,所所对对应应的的函函数数值值)(xf都都满满足足不不等等式式 Axf)(,那那末末常常数数A就就叫叫函函数数)(xf当当 x时时的的极极限限,记记作作 )()()(lim xAxfAxfx当当或或 :.1 定定义义定定义义G .)(,0,0 AxfGxG恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim第6页，讲稿共54张，创作于星期日:.10情形情形x.)(,0,0 AxfGxG恒有时使当:.20情形情形xAxfx)(lim.)(,0,0 AxfGxG恒有时使当Axfx)(lim2.另两种情形另两

4、种情形:Axfx)(lim.)(lim)(limAxfAxfxx 且且第7页，讲稿共54张，创作于星期日xxysin 3.几何解释几何解释:G G.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当 AyxfyGxGx A第8页，讲稿共54张，创作于星期日axfnfxZxxnnn )(lim )(limlim,由由几何解释 y a-y=f(x)a a-O X x 即 a x+时，曲线 y=f(x)有水平渐进线水平渐进线 y=a.)(limxfx 第9页，讲稿共54张，创作于星期日 几何解释 y a -X O x即 a x-时，曲线 y=f(x)有水平渐进线 y=a。)(limxfx

5、 )(limxfx时关系：关系：axfx )(lim )(lim xfx )(limaxfx第10页，讲稿共54张，创作于星期日例例1.0sinlim xxx证证明明证证xxxxsin0sin x1 1,1 xx即即只需要只需要,0 ,1 G取时恒有则当Gx ,0sin xx.0sinlim xxx故故xxysin 0sinxx要要使使得得第11页，讲稿共54张，创作于星期日例例2.1,0lim qqxx其其中中证证明明证证,0 任给任给,0 xxqq要使得：要使得：)0ln0(lnlnln,lnln qqxqx，。即即：只只需需：,lnlnqG 取,时则当Gx ,0 xq就就有有.0lim

6、xxq典型极限典型极限0lim xxe典型极限典型极限10,0lim qqxx其其中中第12页，讲稿共54张，创作于星期日例例3.11lim2 xxx证明证明证证1111111)1(12222 xxxxxxx。，故不妨设因11,02 xxxx 111)1(122xxx，只只需需要要使使得得第13页，讲稿共54张，创作于星期日,0 ,)2(1 G取时恒有则当Gx )2(1,11(1,111222 xxx故故）。)1(12xx原式成立原式成立第14页，讲稿共54张，创作于星期日二、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题:函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf

7、无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 第15页，讲稿共54张，创作于星期日12()22xf xx考察时函数变化趋势(见图13-18)1.99,1.999,1.9999,2,()2.995,2.9995,2.99995,3;2,2.1,2.01,2.001,2.0001,2,()3.05,3.005,3.0005,3.000053xxf xxxf x 当从左侧无限接近于2时,若取时对应的函数从当从右侧无限接近于时若取时对应的

8、函数从1,2,()22xf xx 由此可知当时函数的值无限接近于3.1 82()122xfxx图 2 时,的 变 化 趋 势32O2122yxyx第16页，讲稿共54张，创作于星期日定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx的的一切一切x,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)(,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限,记作记作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或 :.1 定义定义定定义义

9、.)(,0,0,00 Axfxx恒恒有有时时使使当当第17页，讲稿共54张，创作于星期日2.几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(.10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf.2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 第18页，讲稿共54张，创作于星期日几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo时时)(limx

10、fxx0注意注意 极限是函数的极限是函数的局部局部性质。性质。axfxx)(lim0 )(lim0 xfxx )(lim0 xfxx第19页，讲稿共54张，创作于星期日例例4).(,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 证证Axf)(CC ,成立成立 ,0 任给任给0.lim0CCxx,0 任任取取,00时时当当 xx例例5.lim00 xxxx 证证明明证证,)(0 xxAxf ,0 任给任给,取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 第20页，讲稿共54张，创作于星期日例例6.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf ,0 任给任给,0 x 取取,0

11、0时时当当 xx00 xxxx ,)(Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx .00 xxx 只只要要.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明第21页，讲稿共54张，创作于星期日例例7证证2sin2cos2sinsin000 xxxxxx ,0 任给任给,取取,00时时当当 xx,sinsin0 xx要要使使.0 xx只只需需.sinsinlim:00 xxxx 证证明明22sin12cos000 xxxxxx ，且，且又又 0sinsinxx就有就有0sinsinlim:0 xxxx 故故是其定义区间内的点，是基本初等函数，若0)(xxf)()(lim00 xfxfxx 则

12、有：第22页，讲稿共54张，创作于星期日例例8.211lim21 xxx证证明明证证211)(2 xxAxf,0 任给任给,只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)(Axf要要使使,2112 xx就有就有.211lim21 xxx第23页，讲稿共54张，创作于星期日例例9.4142lim22 xxx证证明明证证12221241224141422 xxxxxx,0 任给任给，取取12,1min ,00时时当当 xx,41422 xx要使要使,2422 xx就有就有。即即，故故不不妨妨假假设设因因为为31,122 xxx,122 x只只需需.4142l

13、im22 xxx第24页，讲稿共54张，创作于星期日时时，在在求求极极限限设设)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx 两两种种情情况况分分别别讨讨论论。和和故故需需分分00 xx,0 xx从从左左侧侧无无限限趋趋近近;0 xx记作记作,0 xx从从右右侧侧无无限限趋趋近近;0 xx记记作作yox1xy 112 xy三、单侧极限是是分分段段函函数数的的分分段段点点，因因为为0 x第25页，讲稿共54张，创作于星期日左极限左极限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当000:000 xxxxxxxxx 注注意意.

14、)()(lim_00AxfAxfxx 或或记记作作.)()(lim00AxfAxfxx 或或记记作作的极限的极限时函数时函数从左边趋向从左边趋向左极限：左极限：)(0 xfxx的极限的极限时函数时函数从右边趋向从右边趋向右极限：右极限：)(0 xfxx第26页，讲稿共54张，创作于星期日.)()()(lim0_00AxfxfAxfxx .lim0不不存存在在验验证证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例10证证1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim11lim0 x第27页，讲稿共54张，创作于星

15、期日例例11.2arctanlimxx证明证证,0 任给任给，取)2(tgG,时当Gx ,22 arctgxarctgx要要使使,2 arctgx即即2lim arctgxx).2(tgx故只需故只需证证毕毕。就就有有,2 arctgx2lim arctgxx典型极限典型极限第28页，讲稿共54张，创作于星期日 例8:求 解:所以 不存在.同理:不存在.记住:均不存在.arctanlimxx,2arctanlim,2arctanlimxxxxxxarctanlim,cotlim,0cotlimxarcxarcxxxarcxcotlimxxxxcoslim,sinlim第29页，讲稿共54张，创

16、作于星期日。求极限求极限设设)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx 两两种种情情况况分分别别讨讨论论。和和故故需需分分00 xxyox1xy 112 xy是是分分段段函函数数的的分分段段点点，因因为为0 x例例12解解.101)1(lim)(lim)0(00 xxffxx.110)1(lim)(lim)0(200 xxffxx.1)(lim,1)0()0(0 xfffx第30页，讲稿共54张，创作于星期日例例13 1,210,0,1)(xxxbaxxxxf假设都都存存在在及及之之值值，使使得得、试试确确定定)(lim)(lim10 xfxfbaxx解解.110)1(lim)0(0 x

17、fx.0)(lim)0(0bbbaxfx .1),0()0()(lim0 bffxfx存存在在得得：由由.1)(lim)1(1 ababaxfx.112)2(lim)1(1 xfx。，故故存存在在得得：由由12.11),1()1()(lim1 baaffxfx第31页，讲稿共54张，创作于星期日四、函数极限的性质1.惟一性惟一性的的。存存在在，则则极极限限值值是是惟惟一一若若)(limxf2.局部有界性局部有界性若在若在)(0 xfLimxx存在存在,则必存在则必存在0 x的一个去心邻的一个去心邻域域,使得函数使得函数)(xf在此邻域内有界。在此邻域内有界。第32页，讲稿共54张，创作于星期日

18、证证，则则对对于于给给定定的的正正数数假假设设1)(lim0 Axfxx时时，使使得得当当必必存存在在正正数数 00 xx,)()(.1)(AxfAxfAxf 又又有有 有有界界。邻邻域域内内得得此此去去心心在在故故)(,1)(0 xfxAxf .)(,0,)(lim00同同号号与与使使得得在在此此邻邻域域内内个个去去心心邻邻域域的的一一则则必必存存在在且且若若AxfxAAxfxx 3.局部保号性局部保号性第33页，讲稿共54张，创作于星期日证证，则则对对于于给给定定的的正正数数由由2)(lim0AAxfxx 时时，使使得得当当必必存存在在正正数数 00 xx为为半半为为中中心心，在在以以故故

19、有有2)(.2)(AAxfAAxf 同同号号。与与去去心心邻邻域域内内径径的的邻邻域域内内，所所以以在在此此Axf)(推论推论1.2)(,0,)(lim00AxfxAAxfxx使得在此邻域内个去心邻域的一则必存在且若第34页，讲稿共54张，创作于星期日推论推论2 2,)(lim0Axfxx 若若.0,0)()1(0 Axfx则则的的某某去去心心邻邻域域内内若若在在.0,0)()2(0 Axfx则则的的某某去去心心邻邻域域内内若若在在，的的某某去去心心邻邻域域内内说说明明：即即使使在在0)(0 xfx。也也不不能能得得出出0 A，的的某某去去心心邻邻域域内内比比如如：在在0)(020 xxfx。

20、但但0lim)(lim200 xxfxxx第35页，讲稿共54张，创作于星期日海涅海涅(Haine)定理定理五、函数极限与数列极限的关系的的充充分分必必要要条条件件是是：Axfxx)(lim0 ，为极限的数列为极限的数列对任何以对任何以)(00 xxxxnn Axfnn )(lim都都有有：第36页，讲稿共54张，创作于星期日xy1sin 例例14.1sinlim0不不存存在在证证明明xx证证 ,1 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且 ,2141 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且第37页，讲稿共54张，创作于星期日 nxnnnsinlim1sinlim 但但,1 214sin

21、lim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx,0 第38页，讲稿共54张，创作于星期日六、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义)(;)(lim整标函数整标函数Anfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(,0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)第39页，讲稿共54张，创作于星期日过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf

22、Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(第40页，讲稿共54张，创作于星期日思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？第41页，讲稿共54张，创作于星期日思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx,5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在,)(lim0 xfx,01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在,)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(

23、lim0 xfx不存在不存在.第42页，讲稿共54张，创作于星期日.01.01_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001.0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要时时，取取，问问当当时时，、当当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、练习练习第43页，讲稿共54张，创作于星期日.)(:0极限各自存在并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf?0)

24、(存在存在时的极限是否时的极限是否在在四、讨论：函数四、讨论：函数 xxxx 第44页，讲稿共54张，创作于星期日一、一、1 1、0.00020.0002；2 2、397.四、不存在四、不存在.答案答案第45页，讲稿共54张，创作于星期日.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限第46页，讲稿共54张，创作于星期日.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限第47页，讲稿共54张，创作于星期日.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限第48页，讲稿

25、共54张，创作于星期日.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限第49页，讲稿共54张，创作于星期日.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限第50页，讲稿共54张，创作于星期日.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限第51页，讲稿共54张，创作于星期日.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限第52页，讲稿共54张，创作于星期日.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限第53页，讲稿共54张，创作于星期日感谢大家观看感谢大家观看2022-9-13第54页，讲稿共54张，创作于星期日