线性微分方程的一般理论讲稿.ppt

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1、关于线性微分方程的一般理论第一页，讲稿共三十七页哦2 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究得十分清楚，而且还因为线性微分方程是研究非被研究得十分清楚，而且还因为线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，同时它在物理、力学和工程技术线性微分方程的基础，同时它在物理、力学和工程技术中也有着广泛的应用。所以，本章着重讨论线性微分方中也有着广泛的应用。所以，本章着重讨论线性微分方程的基本理论和常系数线性微分方程的解法，对于高阶程的基本理论和常系数线

2、性微分方程的解法，对于高阶微分方程的降阶问题和二阶变系数线性微分方程的幂级微分方程的降阶问题和二阶变系数线性微分方程的幂级数解法也作适当地介绍。数解法也作适当地介绍。第二页，讲稿共三十七页哦3主要内容主要内容 线性微分方程的一般理论线性微分方程的一般理论 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法 高阶微分方程的降阶和幂级数解法高阶微分方程的降阶和幂级数解法重点重点 线性微分方程的基本理论线性微分方程的基本理论 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法 第三页，讲稿共三十七页哦44.1 线性微分方程的一般理论线性微分方程的一般理论 第四页，讲稿共三十七页哦5一、解的存在唯一性定理

3、一、解的存在唯一性定理1 n阶线性微分方程定义定义1它的一般形式为阶线性微分方程称为阶微分方程均为一次的及其各阶导数未知函数,nndtxddtdxxnn)1.4()()()(111tfxtadtxdtadtxdnnnnn.)(),2,1)(的连续函数都是及其中btatfnitai变为则方程如果)1.4(,0)(tf)2.4(0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn(4.2)(4.1),(4.1).n称为对应的 阶齐次线性方程称为非齐次线性方程第五页，讲稿共三十七页哦60)(22222xntdtdxtdtxdt03222xdtdxdtxd)(21222tfxadtdxtadtxdtt

4、xdtxdsin4222阶齐次线性方程2阶非齐次线性方程第六页，讲稿共三十七页哦72 解的存在唯一性定理定理定理1(1)(-1)000()(1,2,)(),(4.1)(),ina t inf tatbta bx xxxtatb 如果及都是区间的连续函数 则对任一及任意方程存在唯一解定义于区间且满足初始条件)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnxdttdxdttdxt第七页，讲稿共三十七页哦8二、齐线性方程的解的性质和结构二、齐线性方程的解的性质和结构n先讨论 阶齐次线性方程)2.4(0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn.),2,1)(,上连续在假设的一般理论bt

5、anitai定理定理2121 12212(),(),()(4.2),()()()(4.4)(4.2),.kkkkx tx tx tkc x tc x tc x tc cc如果是方程的 个解 则它们的线性组合也是方程的解 这里是任常数1 叠加原理叠加原理容易看出，齐次线性方程恒有零解。容易看出，齐次线性方程恒有零解。第八页，讲稿共三十七页哦9证明证明:个解的是方程由于kkitxi)2.4(),2,1)(故有故有0)()()()()(111txtadttxdtadttxdinninninki,2,1然后相加得个乘第个等式中上面的,icik0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn)()(

6、)()(2211txctxctxctxkk这里1 122()()()(4.2)kkc x tc x tc x t故是方程的解.第九页，讲稿共三十七页哦10例例1是方程验证tctcossinc(t)cost,sint,210 x x的解的解.解解:代入方程有分别将(t)cost,sint,0sintsint)(t)(t0costcost)(sintsint)(1 ccostcost)(2c021)cossinc(tct)cossinc(21tct 第十页，讲稿共三十七页哦112、函数的线性相关性、函数的线性相关性0)()()(2211txctxctxckk考虑定义在区间考虑定义在区间 上的函数上

7、的函数 ，如果存在不全为零的常数，如果存在不全为零的常数 ，使得恒等式，使得恒等式bta)(,),(),(21txtxtxkkccc,21对于对于所有所有 都成立，则称这些函数是都成立，则称这些函数是线性相关的线性相关的，否则就称这些函数在区间否则就称这些函数在区间a,b上是上是线性无关的线性无关的。,bat问题：问题：在什么样的条件下，表达式（在什么样的条件下，表达式（4.4）能够构成为）能够构成为n阶齐阶齐次线性方程（次线性方程（4.2）的通解？）的通解？第十一页，讲稿共三十七页哦12例例2 2 考虑函数组的线性相关性考虑函数组的线性相关性),(,1)(,cos)(,sin)(32221t

8、txttxttx解：解：),(,01cossin)()()(22332211ttttxctxctxc1,1,1321ccc第十二页，讲稿共三十七页哦13例例3 3 函数组函数组线性无关。线性无关。,12battttn,012210battctctccnn此恒等式如果成立，也就是此恒等式如果成立，也就是a,ba,b中的每一个中的每一个t t都是这个方程的根，因此有无穷多个根。另一都是这个方程的根，因此有无穷多个根。另一方面，如果有一个系数不为方面，如果有一个系数不为0 0，则是一个不超过，则是一个不超过n n次次的代数方程，最多有的代数方程，最多有n n个根。个根。分析：我们假设存在分析：我们假

9、设存在第十三页，讲稿共三十七页哦14定义定义23 伏朗斯基伏朗斯基(Wronsky)行列式行列式所作成的行列式次函数个可微上定义在)(,)(),(1,21txtxtxkkbak)(,)(),(21txtxtxWk)()()()()()()()()()1()1(2)1(12121txtxtxtxtxtxtxtxtxkkkkkk).(,)()(,),(),(21tWWronskytxtxtxk也写作行列式的伏朗斯基称为函数第十四页，讲稿共三十七页哦154 函数的线性相关性与其函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系行列式的关系(1)定理定理3.0)(,)(,)(),(21tWWronskyb

10、abtatxtxtxn的行列式上它们则在性相关上线在区间若函数证明证明:,21nccc数存在一组不全为零的常由假设可知使得,0)()()(2211battxctxctxcnn个恒等式得到微分依次将此恒等式对nt,第十五页，讲稿共三十七页哦160)()()(2211txctxctxcnn0)()()(2211txctxctxcnn0)()()(22 11txctxctxcnn0)()()()1()1(22)1(11txctxctxcnnnnn,21的齐次方程组上述方程组是关于nccc,的行列式它的系数就是Wronsky由线性代数理论知由线性代数理论知要使方程组存在非零解要使方程组存在非零解,则它

11、的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零,.,0)(battW即第十六页，讲稿共三十七页哦17注注定理3的逆不成立.如函数,0,00,)(21ttttx,0,0,0)(22ttttx都有对所有显然t,)(tWtt20020202tt,0,00t0t.),()(),(21上是线性无关的在区间但txtx0)()(2211txctxc,002ct时推得,001ct时推得事实上,若有恒等式则第十七页，讲稿共三十七页哦18推论推论.,0)(,)(,)(),(0021上线性无关数组在则该函即处不等于零上某点在区间行列式的若函数组batWtbaWronskytxtxtxn(2)定理定理4)(0)(,)(,)

12、(),()2.4(21btatWbaWronskybtatxtxtxn即上任何点都不等于零的行列式在则它们上线性无关在区间的解如果方程证明证明:“反证”,0)(,00tWbat使设有某个,21的齐次方程组考虑关于nccc第十八页，讲稿共三十七页哦190)()()(0022011txctxctxcnn0)()()(0022011txctxctxcnn0)()()(0 0 220 11txctxctxcnn0)()()(0)1(0)1(220)1(11txctxctxcnnnnn,21nccc故它有非零解其系数行列式为现以这组常数构造函数,)2.4()(的解是方程tx)(0tW,0,),()()(

13、)(2211battxctxctxctxnn由定理2知,又因为第十九页，讲稿共三十七页哦200)()()()(00220110txctxctxctxnn0)()()()(00220110txctxctxctxnn0)()()()(0)1(0)1(220)1(110)1(txctxctxctxnnnnnn(1)0000()()()()=0,(4.10)nx tx tx txt满足初始条件这表明这个解)(tx,)10.4()2.4(0)(解满足初始条件显然也是方程但是tx,0)()()()(2211battxctxctxctxnn由解的唯一性定理知,21不全为零因为nccc.)(,)(),(21线

14、性无关相矛盾这与txtxtxn第二十页，讲稿共三十七页哦21 注释：根据定理注释：根据定理3和定理和定理4知道，由知道，由n 阶齐次线性方程（阶齐次线性方程（4.2）的）的n个解个解构成的伏朗斯基行列式，构成的伏朗斯基行列式，或恒等于零，或在方程的或恒等于零，或在方程的系数为连续的区间内处处不等于零系数为连续的区间内处处不等于零。并根据定理。并根据定理1，构造一组初始，构造一组初始条件：条件：1)(,0)(,0)(0)(,1)(,0)(0)(,0)(,1)(0)1(000)1(202020)1(10101txtxtxtxtxtxtxtxtxnnnnnn0)(,),(),(00201txtxtx

15、Wn满足这组初始条件的解满足这组初始条件的解 一定存在，一定存在，且又因为且又因为 ,由定理由定理3知道，知道，)(,),(),(21txtxtxn这这n个解一定是线性无关的。于是有个解一定是线性无关的。于是有5、通解结构定理通解结构定理第二十一页，讲稿共三十七页哦22定理定理5 n阶齐次线性方程（阶齐次线性方程（4.2）一定存在）一定存在n个线性无关的个线性无关的解。解。定理定理6（通解结构定理）（通解结构定理）如果如果 是方是方程（程（4.2）的）的n个线性无关的解，则方程（个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可）的通解可表为表为 （4.11）其中其中 是任意常数。且通解（是任意常数。且

16、通解（4.11）包括了）包括了方程（方程（4.2）的所有解。）的所有解。)(,),(),(21txtxtxn)()()(2211txctxctxcxnnnccc，21第二十二页，讲稿共三十七页哦23推论：推论：方程（方程（4.2）的线性无关解的最大个数等于）的线性无关解的最大个数等于n。n阶齐次线阶齐次线性微分方程的所有解构成一个性微分方程的所有解构成一个n维线性空间。维线性空间。定义定义 把方程（把方程（4.2）的一组）的一组n个线性无关解称为方程的一个个线性无关解称为方程的一个基本基本解组解组。显然。显然,基本解组不唯一。基本解组不唯一。特别地，当特别地，当 时称其为时称其为标准基本解组标

17、准基本解组。0()1W t例例1 已知方程已知方程 ，证明，证明cost及及sint为它的为它的基本解组基本解组,并写出它的通解。并写出它的通解。0 xx分析：按定义证明即可。分析：按定义证明即可。第二十三页，讲稿共三十七页哦24补充结论：补充结论：齐次方程（齐次方程（4.2）的解与它的系数之间有如下关系：）的解与它的系数之间有如下关系：1t01210()00(),(),()4.2W(t)W+(t)W=0 W()W(),tnas dsx tx tx tatt et ta b定理：设是方程（）的任意n个解，是它们的伏朗斯基行列式满足如下一阶线性方程且对区间a,b上的任意t 有上述关系称为刘维尔（

18、刘维尔（Liouville）公式）公式。第二十四页，讲稿共三十七页哦 1112111121121211212nnniiiniiinninnnnnnnnfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxFxfxfxfxfxfxfxn级行列式函数的求导：级行列式函数的求导：引理：设函数引理：设函数f ij(x)(i,j=1,2,n)在区间在区间I 内可导内可导,则则行列式函数行列式函数在区间在区间I 内也可导，且有内也可导，且有 111211212niiinnnnnnfxfxfxfxfxfxFxfxfxfx第二十五页，讲稿共三十七页哦26由刘维尔公式可以看出齐次方程（4.2）的伏朗斯基行列式的重要性

19、质：1.W(t)在区间a,b上某一点为零某一点为零，则在整个区间上恒为零恒为零。2.W(t)在区间a,b上某一点不等于零某一点不等于零，则在整个区间上恒不为零恒不为零。重要定理：重要定理：1200004.2(),(),()1W(t)0tt,W(t)02W(t)0tt,W(t)=0 nx tx tx tIIIII 齐次方程（）的n个解在其定义区间 上（）线性无关，使得（）线性相关，使得第二十六页，讲稿共三十七页哦27性质性质2 方程（方程（4.1）的任意两个解之差必为方程）的任意两个解之差必为方程(4.2)的解。的解。其中其中 为任意常数，而且这个通解（为任意常数，而且这个通解（4.14）包括了

20、方程（包括了方程（4.1）的所有解。）的所有解。nccc,214.1.3 非齐次线性方程与常数变易法非齐次线性方程与常数变易法性质性质1 如果如果 是方程（是方程（4.1）的解，而）的解，而 是方程（是方程（4.2）的解，）的解，则则 也是方程（也是方程（4.1）的解。）的解。()x t()x t()()x tx t)14.4()()()()(2211txtxctxctxcxnn定理定理7 设设 为方程（为方程（4.2）的基本解组）的基本解组，而，而 是方程（是方程（4.1）的某一个解，则方程（）的某一个解，则方程（4.1）的通）的通解可表为解可表为)(,),(),(21txtxtxn()x

21、t1、基本性质和定理、基本性质和定理第二十七页，讲稿共三十七页哦28回想一阶线性非齐次微分方程的解法-常数变易法解对应的齐次方程01yxpdxdy)(得对应齐次方程解常数变易法求解02)1(),(的解使它为的待定函数变为将常数xcxc为任意常数cdxceyxp,)(代入方程的解为令,)1()()(dxxpexcy),()(xQyxpdxdy).(xc确定第二十八页，讲稿共三十七页哦293 常数变易法,)2.4()(,)(),(21的基本解组为方程设txtxtxn则)15.4(),()()()(2211txctxctxctxnn为方程(4.2)的通解.),()2,1()15.4(tctnicii

22、的待定函数变为中的常数将此时(4.15)变为)16.4(),()()()()()()(2211txtctxtctxtctxnn将它代入(4.1),必须满足的一个方程就能得到)(),(),(21tctctcn第二十九页，讲稿共三十七页哦30,1)2,1)(,个限制条件的另外关于还必须再给出为确定它们个由于待定函数有nnitcni 在理论上,这些另加条件可以任意给出,但为了运算方便,我们按下面方法来给出这n-1个条件,求导得的两边对对t)16.4()()()()()()()(2211txtctxtctxtctxnn)()()()()()(2211txtctxtctxtcnn令12211)17.4(

23、,0)()()()()()(txtctxtctxtcnn得12211)18.4(),()()()()()()(txtctxtctxtctxnn第三十页，讲稿共三十七页哦31,)(,我们又获得一个条件的部分为零令含有并像上面做法一样求导对上式两边对tcti22211)17.4(,0)()()()()()(txtctxtctxtcnn和表达式2 22 11)18.4(),()()()()()()(txtctxtctxtctxnn继续上面做法,直到获得第n-1个条件)1()2()2(22)2(11)17.4(,0)()()()()()(nnnnnntxtctxtctxtc和表达式)1()1()1(2

24、2)1(11)1()18.4(),()()()()()()(nnnnnnntxtctxtctxtctx求导得最后对上式两边对t第三十一页，讲稿共三十七页哦32)()()()()()()()()(22)(11)(txtctxtctxtctxnnnnnn),()()()()()()1()1(22)1(11txtctxtctxtcnnnnn)()18.4(n得的解是注意到并表达式代入将上面得到的,)2.4()(,),(),(),1.4(,21)1(txtxtxxxxnn),()()()()()()()1()1(22)1(11tftxtctxtctxtcnnnnn)()17.4(n个方程组成的方程组的

25、个未知函数我们得到了含有这样nnitcni),2,1)(,第三十二页，讲稿共三十七页哦331122()()()()()()0nnc t x tc t x tc t x t1122()()()()()()0nnc t x tc t x tc t x t (1)(1)(1)1122()()()()()()()nnnnnc t xtc t xtc t xtf t);(,),(),(21txtxtxWn其系数行列式是,0)(tW因因而方程组的解可唯一确定,设由上面方程求得),2,1(),()(nittcii积分得),2,1(,)()(nidtttciii,)1.4(),16.4()(,的通解即得的表达

26、式代入将所得是任常数这里tcii第三十三页，讲稿共三十七页哦34niiitxtx1)()(dtttxinii)()(1),2,1(,)()(nidtttciii)16.4(),()()()()()()(2211txtctxtctxtctxnn,),2,1(,)1.4(确定的值以只须给出常数的特解为了得到nii0.i如取第三十四页，讲稿共三十七页哦35例例3.sin,cos,cos1xtttx为应齐次方程的基本解组已知它所对的通解求方程解解:利用常数变易法,令ttcttctxsin)(cos)()(21的两个方程和则可得关于将它代入方程)()(,21tctc0)(sin)(cos21ttcttctttcttccos1)(cos)(sin21解得,1)(,tan)(21tcttc因此,)(,cosln)(2211ttcttc故通解为,sincoslncossincos)(21tttttttx为任常数其中21,第三十五页，讲稿共三十七页哦36例例4.0 x2上的所有解于域求方程ttxt解解:对应的齐线性方程为:0 x xt将该齐次方程改写成:,1xtx积分得:,xAt所以,21x2BAt 为任常数这里BA,故方程有基本解组:;t1,2将原方程改写成:txt1x第三十六页，讲稿共三十七页哦感谢大家观看感谢大家观看第三十七页，讲稿共三十七页哦