中考数学考点讲解：二次函数的综合应用.doc

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1、第2课时二次函数的综合应用知识点1实物抛物线问题1图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y(x80)216，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有ACx轴，若OA10米，则桥面离水面的高度AC为(B)A16米 B.米C16米 D.米知识点2销售问题2某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系式为：w2x240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：(1)求y与x的关系式；(2)当x取何值时，y的

2、值最大？(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2 250元的销售利润，销售单价应定为多少？解：(1)y(x50)w(x50)(2x240)2x2340x12 000.(2)y2x2340x12 0002(x85)22 450，当x85时，y的值最大(3)当y2 250时，可得方程2(x85)22 4502 250.解得x175，x295.根据题意，x295不合题意，应舍去销售单价应定为75元/千克知识点3面积问题3小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：c

3、m2)随x(单位：cm)的变化而变化(1)请直接写出S与x之间的函数关系式Sx220x；(2)当x20时，这个三角形的面积S最大，最大面积是200_cm2知识点4二次函数与几何图形综合4如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A，B，AB2，与y轴交于点C，对称轴为直线x2.(1)求抛物线的函数解析式；(2)设P为对称轴上一动点，求APC周长的最小值解：(1)AB2，对称轴为直线x2，A(1，0)，B(3，0)抛物线yx2bxc与x轴交于点A，B，y(x1)(x3)x24x3.抛物线的函数解析式为yx24x3.(2)连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接PA.由(1)知抛物线的函数解析式为y

4、x24x3，点A，B的坐标分别为(1，0)，(3，0)点C的坐标为(0，3)BC3，AC.点A，B关于对称轴x2对称，PAPB.PAPCPBPCBC.当P点在对称轴上运动时，PAPC的最小值等于BC.APC周长的最小值为ACAPPC3.重难点1二次函数的实际应用(2017潍坊)工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米

5、的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？【自主解答】(1)裁剪示意图如图：设裁掉的正方形边长为x dm，由题意，得(102x)(62x)12，即x28x120.解得x12，x26(舍去)答：裁掉的正方形的边长为2 dm.(2)长不大于底面宽的五倍，102x5(62x)0x2.5.设总费用为y，由题意，得y0.52(102x)x(62x)x2(102x)(62x)4x248x1204(x6)224.对称轴为x6，开口向上，当0x2.5时，y随x的增大而减小当x2.5时，y最小4(2.56)22425.答：当裁掉边长为2.5 dm的正方形时，总

6、费用最低为25元,1利用二次函数解决实际问题，第一步是建立二次函数模型，一般都是根据两个变量之间的等量关系建立2利用二次函数探究实际生活中的最值问题，需先建立二次函数模型，列出二次函数关系式，整理成顶点式，函数最值应结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值【变式训练1】(2016青岛)如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用yax2bx(a0)表示已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为 m，到墙边OA的距离分别为 m， m.(1)求

7、该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10 m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？解：(1)由题意，得B(，)，C(，)，代入抛物线的函数关系式，得解得故该抛物线的函数关系式为yx22x.yx22x(x1)21，抛物线的顶点坐标为(1，1)图案最高点到地面的距离为1 m.(2)由题意，令yx22x0，解得x10，x22.抛物线与x轴两交点的坐标为(0，0)和(2，0)，即两交点之间的距离为2.最多可连续绘制这样的抛物线型的个数为1025(个),方法指导：利用二次函数解决抛物线型问题的基本思路是将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件，本例中就是将距离转化

8、为点的坐标，然后用待定系数法求得解析式，然后令纵坐标为0，求得抛物线在横轴的单个跨度，就可以得到问题的答案【变式训练2】(2017安徽)某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元/千克)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x(元/千克)506070销售量y(千克)1008060(1)求y与x之间的函数表达式；(2)设商品每天的利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润收入成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)设ykx

9、b，将(50，100)和(60，80)代入ykxb，得解得y与x之间的函数关系式为y2x200.(2)W(x40)(2x200)2x2280x8 000 2(x70)21 800，W与x之间的函数表达式为W2(x70)21 800.(3)W2(x70)21 800中，a20，40x80，抛物线开口向下，当40x70时，y随x的增大而增大，当70x80时，y随x的增大而减小在x70时，W取得最大值，为1 800.答：售价为70元时，获得最大利润，最大利润是1 800元方法指导：利用二次函数解决商品经济问题的关键是仔细审题，弄清题意一般步骤为：(1)根据图表信息，用待定系数法求解析式；(2)根据等

10、量关系：销售利润(售价成本)销售量，建立函数关系式；(3)先根据题意确定自变量的取值范围，然后利用函数的增减性确定利润的最大值重难点2二次函数与几何图形的综合(2017枣庄T25，10分)如图，抛物线yx2bxc与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为(6，0)，点C坐标为(0，6)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)点F是抛物线上的动点，当FBABDE时，求点F的坐标；(3)若点M是抛物线上的动点，过点M作MNx轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标【

11、思路点拨】(1)由B，C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D的坐标即可；(2)过F作FGx轴于点G，可设出F点坐标，利用FBGBDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；(3)由于M，N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得点Q的坐标(1)把B，C两点坐标代入抛物线解析式，可得解得抛物线解析式为yx22x6.2分yx22x6(x2)28，D(2，8).3分(2)如图1，过F作FGx轴于点G.设F(x，x22x6)，则FG|x22x6|.FBABDE，FGBBED9

12、0，FBGBDE.B(6，0)，D(2，8)，E(2，0)，BE4，DE8，OB6.BG6x.当点F在x轴上方时，有，解得x1或x6(舍去)，此时F点的坐标为(1，)；5分当点F在x轴下方时，有，解得x3或x6(舍去)，此时F点的坐标为(3，)综上可知，F点的坐标为(1，)或(3，).7分(3)如图2，设对称轴MN，PQ交于点O.点M，N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上设Q(2，2n)，则M坐标为(2n，n)点M在抛物线yx22x6的图象上，n(2n)22(2n)6.解得n1或n1.满足条件的点Q有两个，其坐标分别为(2，2

13、2)和(2，22).10分,本例为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中构造三角形相似是解题的关键，注意有两种情况，在(3)中确定出P、Q的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中链接专题复习(九)边栏解题方法 1生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为yn214n24，则该企业一年中利润最高的月份是(C)A5月 B6月 C7月 D8月2如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与

14、水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DEAB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为48m.3便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y2x280x750，由于某种原因，售价只能满足15x22，那么一周可获得的最大利润是1_550元4(2016台州)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t1.65(201

15、7黄石)小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：该蔬菜的销售价P(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足关系：P9x；该蔬菜的平均成本y(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足二次函数关系yax2bx10.已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克(1)求该二次函数的解析式；(2)请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L(单位：元/千克)最大？最大平均利润是多少？(注：平均利润销售价平均成本)解：(1)依题意有解得函数解析式为yx23x10.(2)依题意知，平均利润LPy(9x)(x23x10)

16、化简，得Lx22x1(x4)23(1x7且x为整数)，当x4时，L的最大值为3.答：该蔬菜在四月份的平均利润L最大，最大为3元/千克6(2017德州)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；(2)求出水柱的最大高度是多少？解：(1)如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系由题意可设抛物线的函数解析式为ya

17、(x1)2h(0x3)抛物线过点(0，2)和(3，0)，代入抛物线解析式，可得解得所以抛物线解析式为y(x1)2(0x3)化为一般式为yx2x2(0x3)(2)由(1)中抛物线解析式y(x1)2(0x3)知，当x1时，y.所以抛物线水柱的最大高度为 m.7(2017义乌)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图2，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了

18、”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确解：(1)yx(x25)2，当x25时，占地面积y最大，即当饲养室长为25 m时，占地面积最大(2)yx(x26)2338，当x26时，占地面积y最大，即当饲养室长为26 m时，占地面积最大262512，小敏的说法不正确8九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1x90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天)1x5050x90售价(元/件)x4090每天销量(件)2002x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元(1)求y与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，每天销售利润最大，最大利润是多少？(3)该商品在

19、销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4 800元？请直接写出结果解：(1)y(2)当1x50时，y2x2180x2 0002(x45)26 050.20，当x45时，y有最大值，最大值为6 050.当50x90时，y120x12 000.1206 000，销售该商品第45天时，每天销售利润最大，最大利润为6 050元(3)41天9(2017温州)如图，过抛物线yx22x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为2.(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(2)在AB上任取一点P，连接OP，作点C关于直线OP的对称点D；连接BD，求BD的最小值；当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式解：(1)对称轴是直线x4.点A，B关于直线x4对称，点A的横坐标为2，点B的横坐标为10.当x10时，y5，点B的坐标为(10，5)(2)如图1，连接OD，OB.点C，D关于直线 OP对称，ODOC5.ODBDOB，BDOBOD55.当点D在线段OB上时，BD有最小值55.如图2，设抛物线的对称轴交x轴于点F，交BC于点H.OD5，OF4，DF3.D(4，3)，DHHFDF2.设CPa，则PDPCa，PH4a，在RtPHD中，(4a)222a2，a.P(，5)设直线PD的函数表达式为ykxb(k0)，解得直线PD的函数表达式为yx.