中考数学试题分类解析汇编专题：二次函数的图象和性质.doc

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1、2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题21：二次函数的图象和性质一、选择题1. （2012重庆市4分）已知二次函数的图象如图所示对称轴为。下列结论中，正确的是【 】A B C D【答案】D。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】A、二次函数的图象开口向上，0。二次函数的图象与轴交于负半轴，0。二次函数的图象对称轴在轴左侧，0。0。故本选项错误。B、二次函数的图象对称轴：，。故本选项错误。C、从图象可知，当时，。故本选项错误。D、二次函数的图象对称轴为，与轴的一个交点的取值范围为11，二次函数的图象与轴的另一个交点的取值范围为22。当时，即。故本选项正确。故选D。2.

2、 （2012浙江衢州3分）已知二次函数y=x27x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0x1x2x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是【 】Ay1y2y3By1y2y3Cy2y3y1Dy2y3y1【答案】A。【考点】二次函数图象上点的坐标特征。【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系：二次函数，此函数的对称轴为：。0x1x2x3，三点都在对称轴右侧，a0，对称轴右侧y随x的增大而减小。y1y2y3。故选A。3. （2012浙江义乌3分）如图，已知抛物线y1=2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2若

3、y1y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1y2，此时M=0下列判断：当x0时，y1y2； 当x0时，x值越大，M值越小；使得M大于2的x值不存在； 使得M=1的x值是或其中正确的是【 】ABCD【答案】D。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】当x0时，利用函数图象可以得出y2y1。此判断错误。抛物线y1=2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1y2，取y1、y2中的较小值记为M。当x0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。此判断错误。抛物线y1=2x2+2，直线y2=2x

4、+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；此判断正确。 使得M=1时，若y1=2x2+2=1，解得：x1=，x2=；若y2=2x+2=1，解得：x=。由图象可得出：当x=0，此时对应y1=M。抛物线y1=2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（1，0），当1x0，此时对应y2=M， M=1时，x=或x=。此判断正确。因此正确的有：。故选D。4. （2012江苏常州2分）已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】A. B. C. D. 【答案】 B。【考点】二次函数的图象和性质。

5、【分析】由二次函数知，它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等。由于二次函数在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而01，因此，。故选B。5. （2012江苏镇江3分）关于x的二次函数，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是【 】A. B. C. D. 【答案】D。【考点】二次函数的性质。【分析】，它的对称轴为。 又对称轴在y轴的右侧，。故选D。5. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）对于下列命题：b2a=0；abc0；a2b

6、+4c0；8a+c0其中正确的有【 】A3个 B2个 C1个 D0个【答案】A。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】根据图象可得：a0，c0，对称轴：。它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0），对称轴是x=1，。b+2a=0。故命题错误。a0，b0。 又c0，abc0。故命题正确。b+2a=0，a2b+4c=a+2b4b+4c=4b+4c。ab+c=0，4a4b+4c=0。4b+4c=4a。a0，a2b+4c=4b+4c=4a0。故命题正确。根据图示知，当x=4时，y0，16a+4b+c0。由知，b=2a，8a+c0。故命题正确。正确的命题为：三个。故选A。6. （2012湖北宜昌

7、3分）已知抛物线y=ax22x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限【答案】D。【考点】抛物线与x轴的交点与对应的一元二次方程的解之间的关系，二次函数的性质。1419956【分析】抛物线y=ax22x+1与x轴没有交点，=44a0，解得：a1。抛物线的开口向上。又b=2，抛物线的对称轴在y轴的右侧。抛物线的顶点在第一象限。故选D。7. （2012湖南郴州3分）抛物线的顶点坐标是【 】A（1，2） B（1，2） C（1，2） D（1，2）【答案】D。【考点】二次函数的性质。【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标：顶点式y=a（x

8、h）2k，顶点坐标是（h，k），抛物线的顶点坐标是（1，2）。故选D。8. （2012湖南衡阳3分）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象，则下列说法：a0 2a+b=0 a+b+c0 当1x3时，y0其中正确的个数为【 】A1 B2 C3 D4【答案】C。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断1x3时，y的符号：图象开口向下，a0。说法错误。对称轴为x=，即2a+b=0。说法正确。当x=1时，y0，则a+b+c0。说法正确。由图可知，当1x3时，y0。说法正

9、确。说法正确的有3个。故选C。9. （2012湖南株洲3分）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】A（3，0）B（2，0）Cx=3Dx=2【答案】A。【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性。【分析】设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=1，=1，解得b=3。B（3，0）。故选A。10. （2012四川乐山3分）二次函数y=ax2+bx+1（a0）的图象的顶点在第一象限，且过点（1，0）设t=a+b+1，则t值的变化范围是【 】A0t1B0t2C1t2D1t1【答案】B。【考点

10、】二次函数图象与系数的关系。【分析】二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（1，0），ab+1=0，a0，b0，由a=b10得b1，0b1，由b=a+10得a1，1a0。由得：1a+b1。0a+b+12，即0t2。故选B。11. （2012四川广元3分） 若二次函数（a，b为常数）的图象如图，则a的值为【 】A. 1 B. C. D. -2【答案】C。【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】由图可知，函数图象开口向下，a0，又函数图象经过坐标原点（0，0），a22=0，解得a1= （舍去），a2=。故选C。12. （2012四川德阳3分）设二次函数，当时，总有，当时，总有，那

11、么c的取值范围是【 】A. B. C. D.【答案】B。【考点】二次函数的性质。【分析】当x1时，总有y0，当1x3时，总有y0，当x=1时，y=0，即1+b+c=0。当1x3时，总有y0，当x=3时，y=9+3b+c0。联立解得：c3。故选B。13. （2012四川巴中3分） 对于二次函数，下列说法正确的是【 】A. 图象的开口向下 B. 当x1时，y随x的增大而减小C. 当x0； 2ab0 b24ac0 c0，则其中正确结论的个数是【 】A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】由抛物线的开口向下，得到a0，0，b0。又抛物线与y轴交于正半轴，c0

12、。abc0。结论错误。又抛物线与x轴有2个交点，b24ac0。结论错误。又对称轴为直线x=1，即b=2a。结论正确。当x=2时，对应的函数值y0，4a2b+c0，即2b2b+c0，即c4b。结论正确。其中正确的结论有。故选B。29. （2012黑龙江牡丹江3分）抛物线与x轴的交点坐标是(l，0)和(3，0)，则这条抛物线的对称轴是【 】A直线x=1 8直线x=0 C直线x=1 D直线x= 3【答案】C。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。【分析】由抛物线与x轴的交点坐标是(l，0)和(3，0)，根据二次函数的性质，得这条抛物线的对称轴是x。故选C。二、填空题1. （2012广东

13、深圳3分）二次函数的最小值是 【答案】5。【考点】二次函数的性质。【分析】，当时，函数有最小值5。2. （2012江苏苏州3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x1）2+1的图象上，若x1x21，则y1 y2.【答案】。【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质。【分析】由二次函数y=（x1）2+1知，其对称轴为x=1。x1x21，两点均在对称轴的右侧。此函数图象开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大。x1x21，y1y2。3. （2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 【答案】y

14、=x2+4x3。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），可设抛物线的解析式为y=a（x2）2+1。 又抛物线y=a（x2）2+1经过点B（1，0），（1，0）满足y=a（x2）2+1。 将点B（1，0）代入y=a（x2）2得，0=a（12）2即a=1。 抛物线的函数关系式为y=（x2）2+1，即y=x2+4x3。4. （2012湖北咸宁3分）对于二次函数，有下列说法：它的图象与轴有两个公共点；如果当1时随的增大而减小，则；如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为其中正确的说法是

15、 （把你认为正确说法的序号都填上）【答案】。【考点】二次函数的性质，一元二次方程的判别式，平移的性质。【分析】由得， 方程有两不相等的实数根，即二次函数的图象与轴有两个公共点。故说法正确。 的对称轴为，而当1时随的增大而减小， 。故说法错误。 ，将它的图象向左平移3个单位后得。经过原点，解得。故说法错误。 由时的函数值与时的函数值相等，得， 解得， 当时的函数值为。故说法正确。 综上所述，正确的说法是。5. （2012湖北孝感3分）二次函数yax2bxc(a0)的图象的对称轴是直线x1，其图象的一部分如图所示下列说法正确的是 (填正确结论的序号)abc0；abc0；3ac0；当1x3时，y0【

16、答案】。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】由二次函数的图象可得：a0，b0，c0，对称轴x=1，则再结合图象判断正确的选项即可： 由a0，b0，c0得abc0，故结论正确。 由二次函数的图象可得x=2.5时，y=0，对称轴x=1，x=0.5时，y=0。 x=1时，y0，即abc0。故结论正确。 二次函数的图象的对称轴为x=1，即，。 代入abc0得3ac0。故结论正确。由二次函数的图象和可得，当0.5x2.5时，y0；当x0.5或 x2.5时，y0。当1x3时，y0不正确。故结论错误。综上所述，说法正确的是。6. （2012辽宁营口3分）二次函数的部分图像如图所示，若关于的一元二次方程

17、的一个解为，则另一个解= 【答案】5。【考点】二次函数的性质，二次函数与轴的交点和对应的一元二次方程的关系。【分析】二次函数的对称轴为关于的对称点是5。的另一个解=5。7. （2012山东枣庄4分）二次函数的图象如图所示当y0时，自变量x的取值范围是【答案】1x3。【考点】二次函数与不等式（组）【分析】根据二次函数的性质得出，y0，即是图象在x轴下方部分，从而得出x的取值范围：二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，图象与x轴交在（1，0），（3，0），当y0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：1x3。8. （2012新疆区5分）当x= 时，二次函数y=x2+2x2有最小值【答案

18、】1。【考点】二次函数的最值。【分析】用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解：二次函数y=x2+2x2可化为y=（x+1）23，当x=1时，二次函数y=x2+2x2有最小值。（或用公式求解）9. （2012吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且ABx轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 .【答案】18。【考点】二次函数的性质，等边三角形的性质。【分析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为x=3。 A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一 点，且ABx轴。 A，B关于x=3对称。AB=6。又ABC是等边三角形

19、，以AB为边的等边三角形ABC的周长为63=18。10. （2012黑龙江牡丹江3分）若抛物线经过点(1，10)，则= 【答案】10。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】由抛物线经过点(1，10)，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将(1，10)代入得，即。11. （2012黑龙江大庆3分）已知二次函数y=x2x3的图象上有两点A(7，)，B(8，)，则 .（用、=填空）【答案】。【考点】二次函数的性质和图象上点的坐标特征。119281【分析】根据已知条件求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系：二次函数y=x22x+3的对称轴是

20、x=1，开口向下， 在对称轴的左侧y随x的增大而增大。点A（7，y1），B（8，y2）是二次函数y=x22x+3的图象上的两点，且78，y1y2。三、解答题1. （2012北京市7分）已知二次函数在和时的函数值相等。（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A，求m和k的值；（3） 设二次函数的图象与x轴交于点B,C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B,C间的部分（含点B和点C）向左平移个单位后得到的图象记为C，同时将（2）中得到的直线向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。【答案】解：（1）二次函数在和时的函

21、数值相等，二次函数图象的对称轴为。，解得。二次函数解析式为。（2）二次函数图象经过A点，A（3，6）。又一次函数的图象经过A点，解得。（3）由题意可知，二次函数在点B，C间的部分图象的解析式为，则向左平移后得到的图象C的解析式为，。此时一次函数的图象平移后的解析式为。平移后的直线与图象C有公共点，两个临界的交点为与。当时，即；当时，即。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。【分析】（1）由二次函数在和时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为，从而由对称轴公式可求得，从而求得二次函数的解析式。 （2）由二次函数图象经过A点代入可求得，从而由一次函数的图

22、象经过A点，代入可求得。（3）根据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，根据平移后的直线与图象C有公共点，求得公共点的坐标即可。2. （2012广东佛山8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2bxc的解析式； y随x变化的部分数值规律如下表：x10123y03430 有序数对（1，0），（1，4），（3，0）满足y=ax2bxc； 已知函数y=ax2bxc的图象的一部分（如图） (2)直接写出二次函数y=ax2bxc的三个性质 3. （2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p24q0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=p，x1x2=

23、q（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（1，1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值【答案】（1）证明：a=1，b=p，c=q，p24q0，。（2）解：把（1，1）代入y=x2+px+q得pq=2，即q=p2。 设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。d=|x1x2|，d2=（x1x2）2=（x1+x2）24 x1x2=p24q=p24p+8=（p2）2+4。当p=2时，d 2的最小值是4。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值

24、。【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。 【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】（2）把点（1，1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。4. （2012浙江杭州8分）当k分别取1，1，2时，函数y=（k1）x24x+5k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值【答案】解：当开口向下时函数y=（k1）x24x+5k取最大值k10，解得k1。当k=1时函数y=（k1）x24x+5k有最大值，当k=1，2时函数没有最大值。当k=1时，函数

25、y=2x24x+6=2（x+1）2+8。最大值为8。【考点】二次函数的最值。【分析】首先根据函数有最大值得到k的取值范围，然后判断即可。求最大值时将函数解析式化为顶点式或用公式即可。5. （2012江苏徐州8分）二次函数的图象经过点（4，3），（3，0）。 （1）求b、c的值； （2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （3）在所给坐标系中画出二次函数的图象。【答案】解：（1）二次函数的图象经过点（4，3），（3，0）， ，解得。 （2）该二次函数为。 该二次函数图象的顶点坐标为（2，1），对称轴为x=1。 （3）列表如下：x01234y30103 描点作图如下：【考点】曲线上点的坐标与方

26、程的关系，二次函数的性质，描点作图。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（4，3），（3，0）代入得关于b、c的方程组，解之即得。 （2）求出二次函数的顶点式（或用公式法）即可求得该二次函数图象的顶点坐标和对称轴。 （3）描点作图。6. （2012湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y=（k1）x22kx+k+2的图象与x轴有交点（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2求k的值；当kxk+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=2x+3，其图

27、象与x轴有一个交点。当k1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y=0得（k1）x22kx+k+2=0=（2k）24（k1）（k+2）0，解得k2即k2且k1。综上所述，k的取值范围是k2。（2）x1x2，由（1）知k2且k1。由题意得（k1）x12+（k+2）=2kx1（*），将（*）代入（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。又x1+x2=，x1x2=，2k=4，解得：k1=1，k2=2（不合题意，舍去）。所求k值为1。如图，k1=1，y=2x2+2x+1=2（x）2+，且1x1，由图象知：当x=1时，y最小=3；当x=时，y最大=。

28、y的最大值为，最小值为3。【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则0。（2）根据（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。7. （2012山东淄博8分）已知：抛物线（1）写出抛物线的对称轴；（2）完成下表；x7313y91（3）在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象【答案】解：（1）抛物线的对称轴为x=1。 （2）填表如下：x7531135y9410149 （3）描点作图如下：【考点】二次函数的图象和性质。【分析】（1）直接根据顶点式写出抛物线的对称轴。 （2）根据抛物线的对称填表。 （3）描点作图。8. （2012黑龙江牡丹江6分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，4）和（2，5），请解答下列问题： (1)求抛物线的解析