全国高中数学联赛试题及详细解析-1.docx

《全国高中数学联赛试题及详细解析-1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联赛试题及详细解析-1.docx（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一试题(10月11日上午800930)一选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分本题满分20分)：1对任意给定的自然数n，若n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，则( ) A这样的a有无穷多个 B这样的a存在，但只有有限个 C这样的a不存在 D以上A、B、C的结论都不正确(上海供题) 来源:Zxxk.Com2边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( ) A10 B14 C5 D12(天津供题) 3在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a为无理数，则过(a，0)的所有直线中( ) A有

2、无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 B恰有n(2n0 B=(x，y)| |xy|+1=|x|+|y|若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则的值为 (青海供题)3若k是大于1的整数，是x2kx+1=0的一个根，对于大于10的任意自然数n，+的个位数字总是7，则k的个位数字是 (河北供题)4现有边长为3，4，5的三角形两个，边长为4，5，的三角形四个，边长为，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成 个四面体(江西供题)来源:学*科*网Z*X*X*K5五对孪生兄妹参加k个组活动，若规定： 孪生兄妹不在同一组；非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，有一人只参加两

3、个组的活动，则k的最小值为 (命题组供题)1987年全国高中数学联赛二试题一如图，ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定ABC，而将ADE绕A点在平面上旋转，试证：不论ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使BMD为等腰直角三角形二在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点试证：存在一个同心圆的集合，使得 每个整点都在此集合的某个圆周上； 此集合的每个圆周上，有且只有一个整点(辛泽尔定理)三n(n3)名乒乓球选手单打若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同1987年全国高中

4、数学联赛解答一试题一选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分本题满分20分)：2边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( )【解析】若直线斜率为k，则当k=0时直线经过x轴上所有有理点当k0时，直线方程为y=k(xa)若k为有理数，则当x为有理数时，y为无理数；若k为无理数，若此时直线经过一个有理点A(x1，y1)，对于直线上与A不重合的点B(x2，y2)由y1=k(x1a)，y2=k(x2a)，由于a为无理数，故y10，x2a0，=m，当y2为有理数时，m为有理数，当y2y1时，m1，此时x2=mx1

5、+(1m)a为无理数即此直线上至多有一个有理点选C4如图，ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A、C在圆周上，ABC=2(00 B=(x，y)| |xy|+1=|x|+|y|若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则的值为 (青海供题) 【答案】=2或2+ 【解析】集合A的图形是依次连(，0)，(0，)，(，0)，(0，)四点的线段来源:学科网集合B的图形是直线x=1，x=1，y=1，y=1它们交得一个正八边形若此4条直线为图中的4条实线，则=tan22.5+1= 或此正八边形各边与原点距离相等，知直线x+y=与原点距离=1= 若此4条直线为图中的4条虚线，则=2+2，=2+ =2或2+ 4现有

6、边长为3，4，5的三角形两个，边长为4，5，的三角形四个，边长为，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成 个四面体(江西供题)若再取两个类三角形时，由于AD=，不满足(*)式，故不可以构成四面体情况：两个类，两个类此时取BC=5，AB=CD=3，于是斜边BC上的高AE=DF=h=且BE=CF=x=，则EF=52=于是AD2=AE2+EF2+FD22AEDFcos= (337288cos)(，25)由于AD=，不满足(*)式，故不可以构成四面体 只能构成1个四面体5五对孪生兄妹参加k个组活动，若规定： 孪生兄妹不在同一组；非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，有一人只参加两

7、个组的活动，则k的最小值为 (命题组供题)1987年全国高中数学联赛二试题一如图，ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定ABC，而将ADE绕A点在平面上旋转，试证：不论ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使BMD为等腰直角三角形来源:Zxxk.Com【解析】证明：以A为原点，AC为x轴正方向建立复平面设C表示复数c，点E表示复数e(c、eR)则点B表示复数b=c+ci，点D表示复数d=eei把ADE绕点A旋转角得到ADE，则点E表示复数e=e(cos+isin)点D表示复数d=d(cos+isin)表示EC中点M的复数m=(c+e) 表示向量的复数：z1=b(c+e)=c+

8、cice(cos+isin)=ecos+(cesin)i表示向量的复数：z2=dm=(eei)(cos+isin)ce(cos+isin)=(esinc)iecos显然：z2=z1i于是|MB|=|MD|，且BMD=90即BMD为等腰直角三角形故证二在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点试证：存在一个同心圆的集合，使得 每个整点都在此集合的某个圆周上； 此集合的每个圆周上，有且只有一个整点(辛泽尔定理)三n(n3)名乒乓球选手单打若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同又证：把这些选手编

9、为1至n号，以n个点表示这n个人，各点也相应编为1至n号反设去掉任何一各选手后都有两个选手的已赛过的对手完全相同于是先去掉1号选手，则有两个选手的已赛过的对手完全相同，设为第i号与第j号，在表示此二人的点间连一条线，并在线上注上“1号”这说明，此二人在去掉1号选手之前必是一人与1号赛过，另一人与1号没有赛过而且不可能在去掉1号后有三人都相同，否则，此三人与1号选手比赛的情况只有两种：赛过或没有赛过，如果去掉1号后，此三人的情况完全相同，则去掉1号之前必有2人赛过的对手完全相同如果去掉1号后有不止一对选手的已赛过对手完全相同，则只任取其中的一对连线，其余的对则不连线连线后把1号选手放回来，再依次去掉2号、3号，直至n号，每去掉1个选手，都会在某两点之间连出1条线这样，就在n个选手之间连了n条线且这些线上分别注了1至n号，每条线注了1个号码，每个号码只注在1条线上