人教版高一数学《平面与平面垂直的性质》课件.ppt

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1、2.3.4 平面与平面平面与平面垂直的性质垂直的性质复习两个平面垂直的定义，判定复习两个平面垂直的定义，判定 什么是两个平面互相垂直？什么是两个平面互相垂直？两个平面相交，如果所成的二面角是直二面两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直角，就说这两个平面互相垂直 如何判定两个平面互相垂直？如何判定两个平面互相垂直？第一种方法根据定义，判定两个平面所成第一种方法根据定义，判定两个平面所成的二面角是直二面角；的二面角是直二面角；第二种方法是根据判定定理，判定其中一第二种方法是根据判定定理，判定其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面个平面内有一条直线垂直于另一个平面 1、平

2、面与平面垂直的、平面与平面垂直的定义定义2、平面与平面垂直的、平面与平面垂直的判定定理判定定理 一个平面过另一个平面一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。的垂线，则这两个平面垂直。符号表示：符号表示：b 两个平面相交，如果它们所成的二面两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。提出问题：提出问题：该命题正确吗？该命题正确吗？1.黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直在黑板上画一条直线与地面垂直?2.长方体长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面中，平面A1

3、ADD1与与平面平面ABCD垂直，平面垂直，平面A1ADD1内的直线内的直线A1A与与平面平面ABCD垂直吗垂直吗?ADCBD1A1B1C1探索思考探索思考?1.1.观察实验观察实验 观察两垂直平面观察两垂直平面中中,一个平面内的直线一个平面内的直线与另一个平面的有哪与另一个平面的有哪些位置关系些位置关系?2.概括结论概括结论平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理b 两个平面垂直两个平面垂直,则一则一个平面内垂直于交线的直个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直线与另一个平面垂直.简述为：简述为：面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直该命题正确吗？该命题正确吗？符号表示：符号表示：bCAD

4、EB理论证明理论证明:两个平面垂直的结论两个平面垂直的结论:如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 3.知识应用：知识应用：练习：判断正误练习：判断正误.已知平面已知平面平面平面,l下列命题下列命题(2)垂直于交线垂直于交线l的直线必垂直于平面的直线必垂直于平面 （）(3)过平面过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面线必垂直于平面（）(1)平面平面内的任意一条直线必垂直于平面内的任意一条直线必垂直于平面（）例：如图，例：

5、如图，AB是是 O的直径，的直径，C是圆周上不同是圆周上不同于于A，B的任意一点，平面的任意一点，平面PAC平面平面ABC，BOPAC(2)判断平面判断平面PBC与平面与平面PAC的位置关系。的位置关系。(1)判断判断BC与平面与平面PAC的位置关系，并证明；的位置关系，并证明；例题分析例题分析:(1)证明：证明：AB是是 O的直径，的直径，C是圆周上不同于是圆周上不同于A，B的任意一点的任意一点BC平面平面PAC(2)BC平面平面PAC,又又BC 平面平面PBC，平面平面PBC平面平面PAC 例：如图，例：如图，AB是是 O的直径，的直径，C是圆周上不同于是圆周上不同于A，B的任意一点，平面

6、的任意一点，平面PAC平面平面ABC，(1)判断判断BC与平面与平面PAC的位置关系，并证明。的位置关系，并证明。(2)判断平面判断平面PBC与平面与平面PAC的位置关系。的位置关系。ACB=90即即BCAC又又平面平面PAC平面平面ABC，平面平面PAC平面平面ABCAC,BC 平面平面ABCBOPAC2、本题充分地体现了面面垂直与、本题充分地体现了面面垂直与 线面线面垂直之间的相互转化关系。垂直之间的相互转化关系。1、面面垂直的性质定理给我们提供了一、面面垂直的性质定理给我们提供了一种种证明线面垂直证明线面垂直的方法的方法面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直性质定理性质定理判定定理判定定理解题

7、反思解题反思:abc 1.如图如图,已知平面已知平面 ，直线，直线a满足满足 ,试判断直线试判断直线a与平面与平面 的位置关系。的位置关系。解解:在在 内作垂直于内作垂直于 与与 交线的直线交线的直线b,因为因为 ,所以所以 .因为因为 ,所以所以 .又因为又因为 ,所以所以 .即直线即直线a与平面与平面 平行平行巩固提升巩固提升:A1、下列命题中、下列命题中错误错误的是（的是（）(A)如果平面如果平面 平面平面 ,那么平面那么平面 内所有直内所有直线都垂直于平面线都垂直于平面 (B)如果平面如果平面 平面平面 ,那么平面那么平面 内一定存内一定存在直线平行于平面在直线平行于平面 (C)如果平

8、面如果平面 不垂直于平面不垂直于平面 ，则平面，则平面 内内一定不存在直线垂直于平面一定不存在直线垂直于平面(D)如果平面如果平面 、都垂直于平面都垂直于平面 ，且，且 与与 交于直线交于直线 a，则，则 a 平面平面知识巩固知识巩固:2、已知两个平面垂直，下列命题、已知两个平面垂直，下列命题一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；数条直线；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面

9、内的任意一点做交线的垂线，则此垂线过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面。必垂直于另一个平面。其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是()(A)3 (B)2 (C)1 (D)0B知识巩固知识巩固:例例2.矩形矩形ABCD中，中，AD=2,AB=1,现沿现沿对角线对角线AC折成直二面角折成直二面角D-AC-B，求，求折起后折起后BD长度长度.要点一要点一 平面与平面垂直的性质的应用平面与平面垂直的性质的应用 在运用面面垂直性质定理时必须注意：在运用面面垂直性质定理时必须注意：(1)线在线在面内；面内；(2)线垂直于两面的交线，由此才可以得出线线垂直于两面的交线，由此才可以

10、得出线面垂直在应用线面平行、垂直的判定和性质定理面垂直在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，在善于运用转化思想的同时，还证明有关问题时，在善于运用转化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件应注意寻找线面平行、垂直所需的条件例例1 如下图所示，如下图所示，P是四边形是四边形ABCD所在平面外的一点，所在平面外的一点，ABCD是是DAB60且边长为且边长为a的菱形侧面的菱形侧面PAD为正三角形，为正三角形，其所在平面垂直于底面其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若若G为为AD边的中点，求证：边的中点，求证：BG平面平面PAD；(2)求证：求证：ADPB.分析：分析：ABCD

11、是边长为是边长为a的菱形；的菱形；面面PAD面面ABCD.解答本题可先由面解答本题可先由面面得线面得线面，再进一步得出线面，再进一步得出线线线证明：证明：(1)连接连接PG，由题知，由题知PAD为正三角形，为正三角形，G是是AD的中点，的中点，PGAD.又平面又平面PAD平面平面ABCD，PG平面平面ABCD，PGBG.又又四边形四边形ABCD是菱形且是菱形且DAB60，ABD是正三角形，是正三角形，BGAD.又又ADPGG，BG平面平面PAD.(2)由由(1)可知可知BGAD，PGAD.所以所以AD平面平面PBG，所以，所以ADPB.规律方法：规律方法：证明线面垂直，一种方法是利证明线面垂直

12、，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理直，故可考虑面面垂直的性质定理变式式1如如图所示，所示，CD，CDAB，CE、EF，FEC90.求求证：面：面EFD面面DCE.证明：证明：，CD，CDAB，AB，CD.又又EF，CDEF.又又FEC90，EFEC.又又ECCDC，EF面面DCE.又又EF面面EFD，面面EFD面面DCE.例例2 已已知知：如如图，平平面面PAB平平面面ABC，平平面面PAC平面平面ABC，AE平面平面PBC，E为垂足垂足(1

13、)求求证：PA平面平面ABC；(2)当当E为PBC的的垂垂心心时，求求证：ABC是是直直角角三角形三角形分析：分析：由面面垂直向线面由面面垂直向线面垂直转化，一般要作一条垂直转化，一般要作一条垂直于交线的直线，才能垂直于交线的直线，才能应用性质定理应用性质定理证明明：(1)在在平平面面ABC内内取取一一点点D，作作DFAC于于F，平平面面PAC平平面面ABC，且且交交线为AC，DF平平面面PAC.又又PA平平面面PAC，DFPA.作作DGAB于于G，同理可证，同理可证DGPA.DGDFD，PA平面平面ABC.(2)连接连接BE并延长交并延长交PC于于H.E是是PBC的垂心，的垂心，PCBH，又

14、又AE平面平面PBC，故故AEPC，且，且AEBEE，PC平面平面ABE.PCAB.又又PA平面平面ABC，PAAB，且且PAPCP，AB平面平面PAC，ABAC，即，即ABC是直角三角形是直角三角形规律方法：规律方法：已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直直，由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面

15、，则它们的交线也垂直于第三个平面证明于第三个平面证明(2)(2)题的关键是要灵活利用题的关键是要灵活利用(1)(1)题的结论题的结论变式式2如如图，已知平面，已知平面平面平面，平面，平面平面平面，a，b，且，且ab.求求证：.证明：证明：如图，在平面如图，在平面内作直线内作直线PQa，在平面，在平面内作直线内作直线MNb，垂足分别为垂足分别为Q、N.，a，PQ.同理同理MN.PQMN.PQ，MN，PQ.同理同理a.PQ，a，PQaQ，.要点二要点二 线线、线面、面面垂直的综合应用线线、线面、面面垂直的综合应用 在关于垂直问题的论证中要注意线线在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面

16、垂直的相互转化，垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：如下：例例3 如如图，在四棱，在四棱锥PABCD中，中，侧面面PAD是是正三角形，且与底面正三角形，且与底面ABCD垂直，底面垂直，底面ABCD是是边长为2的菱形，的菱形，BAD60，N是是PB的的中点，中点，过A、D、N三点的平面交三点的平面交PC于于M，E为AD的中点求的中点求证：(1)EN平面平面PDC；(2)BC平面平面PEB；(3)平面平面PBC平面平面ADMN.分分析析：(1)利利用

17、用线面面平平行行的的判判定定定定理理证明明，证ENDM.(2)先先证AD平面平面PEB，再由，再由ADBC证明明(3)转化化为证明明PB平面平面ADMN.证明：证明：(1)ADBC，BC平面平面PBC，AD 平面平面PBC，AD平面平面PBC.又平面又平面ADMN平面平面PBCMN，ADMN.又又BCAD，MNBC.又又N是是PB的中点，的中点，点点M为为PC的中点的中点(2)四边形四边形ABCD是边长为是边长为2的菱形，且的菱形，且BAD60BEAD.又又侧面侧面PAD是正三角形，且是正三角形，且E为中点，为中点，PEAD，AD平面平面PBE.又又ADBC，BC平面平面PEB.(3)由由(2

18、)知知AD平面平面PBE.又又PB平面平面PBE，ADPB.又又PAAB，N为为PB的中点，的中点，ANPB.且且ANADA，PB平面平面ADMN.又又PB平面平面PBC.平面平面PBC平面平面ADMN.规律方法规律方法:运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直化为线面垂直或线线垂直变式式3如如图所示，在四棱所示，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是是DAB60且且边长为a的菱形，的菱形，侧面面PAD为

19、正三角正三角形，其所在平面垂直于底面形，其所在平面垂直于底面ABCD，(1)求证：求证：ADPB；(2)若若E为为BC边的中点，能否在棱边的中点，能否在棱上找到一点上找到一点F，使平面，使平面DEF平面平面ABCD，并证明你的结论，并证明你的结论证明：证明：(1)设设G为为AD的中点，的中点，连接连接PG，PAD为正三角形，为正三角形，PGAD.在菱形在菱形ABCD中，中，DAB60，G为为AD的中点，的中点，BGAD.又又BGPGG，AD平面平面PGB.PB平面平面PGB，ADPB.(2)当当F为PC的的中中点点时，满足足平平面面DEF平平面面ABCD.取取PC的中点的中点F，连接接DE、E

20、F、DF，在在 PBC中中，FEPB.在在 菱菱 形形 ABCD中中，GBDE，而而FE平平面面DEF，DE平平面面DEF，EFDEE.平面平面DEF平面平面PGB.由由(1)得得PG平面平面ABCD，而，而PG平面平面PGB，平面平面PGB平面平面ABCD，平面平面DEF平面平面ABCD.1、平面与平面垂直的性质定理：、平面与平面垂直的性质定理：两个平面两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。一个平面垂直。2、证明线面垂直的两种方法：、证明线面垂直的两种方法：线线垂直线线垂直线面垂直；面面垂直线面垂直；面面垂直线面垂直线面垂直3、线线、线面、面面之间的平行与垂直关系、线线、线面、面面之间的平行与垂直关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。三、课堂小结：三、课堂小结：