数学新教材高一下人教A版 必修 第二册6.4.3　余弦定理、正弦定理第二课时　正弦定理.pptx

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1、 第六章第二课时正弦定理借借助助于于向向量量的的运运算算，探探索索三三角角形形边边长长与与角角度度的的关关系系，掌掌握握正正弦弦定定理理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题能用正弦定理解决简单的解三角形问题.课标要求素养要求通通过过对对任任意意三三角角形形边边角角关关系系的的探探索索，证证明明正正弦弦定定理理并并运运用用正正弦弦定定理理解解三角形，提升逻辑推理素养及数学运算素养三角形，提升逻辑推理素养及数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.正弦定理的表示正弦定理的表示(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的_的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径.正弦正弦

2、2.正弦定理的变形形式1.思考辨析，判断正误(1)正弦定理只适用于锐角三角形.()(2)在ABC中，等式asin Absin B总成立.()(3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值.()提示提示(1)正弦定理适用于任意三角形正弦定理适用于任意三角形.(2)只有只有AB时才能成立时才能成立.C解析解析由由B60，C75，得，得A180(BC)45.A解析解析由正弦定理得由正弦定理得sin Asin Cac75.课堂互动题型剖析2题型一利用正弦定理解三角形题型一利用正弦定理解三角形角度1已知两角及任意一边解三角形【例【例1】已知在ABC中，c10，A45，C30，求a，b和B.解

3、解根据正弦定理，得根据正弦定理，得又又B180(AC)180(4530)105.已已知知三三角角形形的的两两角角和和任任意意一一边边解解三三角角形形时时，可可以以先先由由三三角角形形的的内内角角和和定定理理，计计算出三角形的第三个角，然后由正弦定理求出另外两边算出三角形的第三个角，然后由正弦定理求出另外两边.思维升华ba，A60或或A120.当当A60时，时，C180AB75，当当A120时，时，C180AB15，已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的步骤：已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的步骤：(1)求正弦求正弦.根据正弦定理求另外一边所对角的正弦根据正弦定理求另外一边所对角的正

4、弦.(2)求求角角.先先求求另另外外一一边边所所对对角角的的取取值值范范围围(根根据据大大边边对对大大角角)，再再根根据据其其正正弦弦求求角角，最后根据三角形的内角和定理求第三个角最后根据三角形的内角和定理求第三个角.(3)求边求边.根据正弦定理求第三条边根据正弦定理求第三条边.思维升华C75所以所以B45，从而，从而A180(4560)75.【例例3】在ABC中，若sin A2sin Bcos C，sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状.题型二判断三角形的形状题型二判断三角形的形状解解在在ABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得即即a2b2c2，A90，BC180A90.又又sin

5、 A2sin Bcos C，sin 902sin Bcos(90B)，B45，C45.ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形.利用正弦定理判断三角形形状的方法：利用正弦定理判断三角形形状的方法：(1)化化边边为为角角：根根据据正正弦弦定定理理把把已已知知条条件件中中边边和和角角的的混混合合关关系系转转化化为为角角的的关关系系，再再进进行行三三角角恒恒等等变变换换，得得到到角角的的三三角角函函数数值值或或角角的的三三角角函函数数值值之之间间的的关关系系，进进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状；而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状；(2)化化角角为为边边：根根据据正正弦弦

6、定定理理把把已已知知条条件件中中边边和和角角的的混混合合关关系系转转化化为为边边的的关关系系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状.思维升华【训练【训练2】在ABC中，若acos Abcos B，试判断ABC的形状.所以所以2sin Acos A2sin Bcos B，即，即sin 2Asin 2B，因为因为A，B为三角形内角，为三角形内角，所以所以ABC是等腰三角形或直角三角形是等腰三角形或直角三角形.解解由已知得由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得故由正弦定理得b2c2a2

7、bc.题型三正弦定理和余弦定理的综合应用题型三正弦定理和余弦定理的综合应用因为因为0Ab，所以，所以AB，即，即B30.B60或或120ba，BA，且，且0B180，B60或或120.三、解答题三、解答题9.在ABC中，已知a10，B75，C60，试求c及ABC的外接圆半径R.解解ABC180，A180756045.10.在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断ABC的形状.解解设三角形外接圆半径为设三角形外接圆半径为R，所以所以ABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形.A由正弦定理得由正弦定理得2sin Csin Bsin B，所以所以sin B(2sin C1)0.因为因为sin B0，AB又因为又因为ABsin 30ACAB，所以，所以BC，所以，所以C有两解，有两解，所以所以C60或或C120.由三角形内角和定理得由三角形内角和定理得A90或或A30.