多元向量值函数积分课件.ppt
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1、第八章第八章 多元向量值函数积分多元向量值函数积分1-1 第二型曲线积分与向量场的环流量第二型曲线积分与向量场的环流量 第一节第一节 第二型曲线积分第二型曲线积分1-2 第二型曲线积分的计算法第二型曲线积分的计算法 2 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/241-1 第二型曲线积分与向量场的环流量第二型曲线积分与向量场的环流量一、变力沿曲线所作的功一、变力沿曲线所作的功1.分割分割 将有向曲线将有向曲线L任意分成任意分成n小弧段小弧段（2.近似代替近似代替（3.求和求和3 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/244.取极限
2、取极限所作的功所作的功二、第二型曲线积分二、第二型曲线积分定义定义8.3.1（上任取上任取和式和式4 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24为空间向量场为空间向量场,5 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24则则（所以所以其中其中P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)称为被积函数称为被积函数,L称为积分路径称为积分路径.6 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24说明说明:7 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24三、第二型曲线积分
3、的性质三、第二型曲线积分的性质性质性质1.性质性质2.8 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24四、两型曲线积分的关系四、两型曲线积分的关系若若L为空间有向曲线为空间有向曲线,则则9 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24于是于是即即若若L为平面有向曲线为平面有向曲线,则则例例110 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24解解(1)直线上指定方向的切向量直线上指定方向的切向量单位化得方向余弦单位化得方向余弦所以所以(2)圆弧上指定方向的切向量圆弧上指定方向的切向量所以所以11 高高
4、等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24五、向量场的环流量五、向量场的环流量称为向量场称为向量场12 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/241-2 第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算 设自身不相交的有向光滑的空间曲线设自身不相交的有向光滑的空间曲线L的的参数方程为参数方程为13 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24又又根据两型曲线积分的关系和第一型曲线积根据两型曲线积分的关系和第一型曲线积分的计算公式得分的计算公式得注意注意:第二型曲线积分化为定积分时第二型曲线积分化为定积分时,
5、下限下限下限不一定小于上限下限不一定小于上限,这是与第一型曲线积这是与第一型曲线积分的区别分的区别.14 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24对于平面有向曲线对于平面有向曲线L15 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/2416 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例2解解 L的参数方程的参数方程17 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例3解解另解另解 曲线曲线L由原点分成两部分由原点分成两部分,即即18 高高等等数数学学第第八八章章第
6、第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例4的曲线的曲线L为为解解(1)L:若用参数方程若用参数方程L19 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24(2)(3)此题表明积分与路径有关此题表明积分与路径有关.20 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例5解解21 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例5解解表明该积分与路径无关表明该积分与路径无关.22 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例6解解得截面圆在得截面圆在xoy面的投
7、影为面的投影为椭圆椭圆参数方程为参数方程为则则23 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24即即所以所以24 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24建立空间曲线参数方程的一般方法：建立空间曲线参数方程的一般方法：25 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24 第八章第八章1-3 格林格林(Green)公式公式 第一节第一节 第二型曲线积分第二型曲线积分26 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24一、格林一、格林(Green)公式公式定理定理8.1.
8、1(格林公式格林公式)部分始终在其左侧部分始终在其左侧,此方向称为此方向称为L的正向的正向.27 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24证证 如图所示如图所示,不妨设不妨设先证先证设设于是于是28 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24又又所以所以同理可证同理可证故故29 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24特别地特别地,格林公式的应用格林公式的应用则闭曲线则闭曲线L所围成的区域所围成的区域 的面积的面积其中闭曲线其中闭曲线L取正方向取正方向.30 高高等等数数学学第第八八章章第
9、第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例1解解由对称性由对称性31 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例2解解令令则则由格林公式由格林公式设边界闭曲线为设边界闭曲线为L取正方向取正方向,另另32 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24注意注意:应用格林公式应满足的条件应用格林公式应满足的条件则则33 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例3解一解一 闭曲线闭曲线L分成三条线段分成三条线段34 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2
10、/24解二解二则则 由格林公式由格林公式若曲线若曲线L取顺时针方向取顺时针方向,则则35 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24由格林公式由格林公式,所求曲线积分所求曲线积分36 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例4解解由于由于37 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例5解解 由于由于补充补充由格林公式由格林公式38 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24否则否则,39 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1
11、1 2 2/24其中其中:特别地特别地,若若则则即包含奇点的任意闭曲线即包含奇点的任意闭曲线L上的积分转化为上的积分转化为特定闭曲线特定闭曲线l上的积分上的积分.40 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例6解一解一 积分曲线积分曲线L的参数方程为的参数方程为所以所以41 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24则则解二解二由于由于L所围区域含奇点所围区域含奇点(0,0),不能用格林公式不能用格林公式.但但L的方程可化简积分得的方程可化简积分得,由格林公式由格林公式42 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1
12、 1 1|1 1 2 2/24解解 因为因为由于由于L所围区域含奇点所围区域含奇点(0,0),补充以原点为补充以原点为则则43 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24解解 因为因为由于由于L所围区域含奇点所围区域含奇点(0,0),补充以原点为补充以原点为则则44 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24解解 因为因为L所围区域不所围区域不则由格林公式得则由格林公式得L所围区域含奇点所围区域含奇点(0,0),含奇点含奇点(0,0),补充圆补充圆l:则则45 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2
13、 2/24解解因为因为当当L所围区域不含奇点所围区域不含奇点(0,0)时时,则由格林公式得则由格林公式得当当L所围区域含奇点所围区域含奇点(0,0)时时,补充圆补充圆l:则则46 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例7解解则则由于偏导数在原点由于偏导数在原点(0,0)不连续不连续,则补充上半圆则补充上半圆取顺时针方向取顺时针方向.根据格林公式根据格林公式,47 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24其中其中48 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24另如图补充另如图补充:49
14、 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24将例将例6,例例7中的积分换为下列积分中的积分换为下列积分50 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24 第八章第八章第一节第一节 第二型曲线积分第二型曲线积分1-4 第二型曲线积分与路径无关的条件第二型曲线积分与路径无关的条件 51 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/241-4 第二型曲线积分与路径无关的条件第二型曲线积分与路径无关的条件若若有有只与起点只与起点A,终点终点B有关有关,记作记作52 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1
15、1 1 1|1 1 2 2/24定理定理8.1.2则下列四个命题互相等价则下列四个命题互相等价.(1)在在D内沿任意分段光滑内沿任意分段光滑闭曲线闭曲线L,都有都有(2)在在D内连接内连接A,B两点的任意分段光滑曲线两点的任意分段光滑曲线L,(3)在在D内存在连续可微函数内存在连续可微函数u(x,y),使得使得53 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24证证由由(1)知知所以所以即即54 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24先构造二元函数先构造二元函数则则55 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|
16、1 1 2 2/24取图示路径取图示路径所以所以同理同理56 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24由于由于则则而而又因为又因为故故由格林公式由格林公式57 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24由由则则得得所以所以即得类似于定积分计算的牛顿莱布尼茨公式即得类似于定积分计算的牛顿莱布尼茨公式58 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24问题问题:59 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例1（解解则则在全平面恒成立在全平面恒成立,即积分与路径
17、无关即积分与路径无关.取取:60 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例2解解 引力的方向引力的方向所以引力所以引力所作的功所作的功61 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24由于由于即积分与路径无关即积分与路径无关,取取:所作的功为所作的功为62 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例3求原函数求原函数u(x,y).解法一解法一(曲线积分法曲线积分法)则则所以所以63 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24解法二解法二(积分法积分法)
18、由已知得由已知得则则从而从而又又所以所以即即故故64 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24解法三解法三(凑全微分法凑全微分法)所以所以65 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例4解解则则依题意依题意,得得 a=2.66 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例5解解依题意依题意则则又又67 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24所以所以两边对两边对 t 求导求导即即故故68 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1
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