07全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题.doc

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1、2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2007年4月1日 下午1：003：00）得 分评卷人一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填均得零分）ADBC（第2题）KEFG1若，则+ + +的值是（ ）（A）1 （B）0 （C）-1 （D）22定义：定点A与O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与O之间的距离现有一矩形ABCD如图，AB=14cm，BC=12cm，K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，则点A与K的距离为（ ）（A）4cm （B

2、）8cm （C）10cm （D）12cm3某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，50老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”如果令 其中i=1，2，50；j=1，2，50则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为（ ）（A）+ + +（B）+ + +（C） + + +（D） + + +4若，则一次函数的图象必定经过的象限是（ ）（A）第一、二象限 （B）第一、二、三象限（C）第二、三、四象限 （D）第三、四象限5满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )(A)1个 (B) 2个 (C) 3个

3、 (D)无穷多个ABCEFO（第6题）6如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=，那么AC的长等于( )(A) 12 (B) 16 (C) (D) 得 分评卷人二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）（第9题）ABCD7函数，当x = 时，y有最小值，最小值等于 8以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为 9如图，ABC中，A的平分线交BC于D，若AB=6 cm，AC=4 cm，A=60，则AD的长为 cm10设 ，为实数，且满足=1，则的值是 11正六边形轨道ABCDEF 的周长为7

4、.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A，C 两点同时出发，均按ABCDEFA 方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米秒，乙的速度为8厘米秒，那么出发后经过 秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上12正整数M的个位上的数字与数的个位上的数字相同，把M的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N若N是M的4倍，T是M的最小值，则T的各位数字之和等于 三、解答题（共4小题，满分54分）得 分评卷人13（本题满分12分）已知二次函数的图象G和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0，4），且（1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y=x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的

5、图象为L，图象L与G的另一个交点为C，求ABC的面积得 分评卷人14（本题满分12分）BACMNPEFQDG如图，ABCD、ADCE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ=2PN得 分评卷人15（本题满分14分）2007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为，小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第个质点，则下次就涂第个质点后面的第个质点按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由得 分评卷人16（本题满分16分）从连续自然数1，2，3，2008中任意取n个不同的数，（1）求证：

6、当n=1007时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017（2）当n1006（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1答案：CADBC（第2题）KEFGH解：由，得，所以+ + +=-12答案：A解：连结AK、EK，设AK与O的交点为H，则AH即为所求，因为AK=10，所以AH = 43答案：C解：由题意得C正确4答案：A解：由已知可得，当时，直线过第一、二、三象限；当时，直线过第一、二、四象限综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限5答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为()，则（a,b,k均为正整数），化简，得

7、，所以或ABCEFOG（第6题）解得或或 即有3组解6答案：B解：在AC上取一点G，使CG=AB=4，连接OG，则OGCOAB，所以OG=OA=，AOG=90，所以AOG是等腰直角三角形，AG=，所以AC=16二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7答案：-2，2解：当x-3时，y= -3x-6；当-3x-2时，y= -x；当-2x-1时，y=x+4；当x-1时，y=3x+6； 所以当x=-2时，y的值最小，最小值为28答案：8个解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形9答案：解：由SABC=SABD + SADC ，得=解得AD=10答案：1，或解：由已知，=1，=

8、1，解得所以，或11答案：解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，乙走了厘米，于是解得因x是整数，所以x=8，即经过=秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上12答案：36解：的个位数字是7，所以可设，其中k是m位正整数，则由条件N=4M，得=，即当m=5时，k取得最小值17948所以T=179487，它的各位数字之和为36三、解答题（共4题，满分54分）13(12分)解：（1）由B（0，4）得，c=4 G与x轴的交点A（，0），由条件，得，所以=，即A（，0）所以解得所求二次函数的解析式为（2）设图象L的函数解析式为y=x+b，因图象L过点A

9、（，0），所以，即平移后所得一次函数的解析式为ABDCOxy（第13题）y= 令=，解得，将它们分别代入y=，得，所以图象L与G的另一个交点为C（，9）如图，过C作CDx轴于D，则SABC=S梯形BCDO-SACD -SABO =15 14(12分)证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形 F是AC的中点， DF的延长线必过O点，且 ABCD， BACMNPEFQDGO ADCE， =又 ， OQ=3DN CQ=OQ -OC=3DN -OC=3DN -AD，AN=AD -DN，于是，AN+CQ=2DN， =2，即 MN+PQ=2PN 15(14分)解：不能 理由：设继点涂

10、成红色后被涂到的点是第j号，则j= 若=2007，则j=2007，即除点涂成红色外，其余均没有涂到 若2007，则22007，且24014，即2-20072007，表明点永远涂不到红色 16(16分)解：（1）设，是1，2，3，2008中任意取出的1007个数首先，将1，2，3，2008分成1004对，每对数的和为2009，每对数记作(m，2009-m) ，其中m=1，2，3，1004 因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为 (互不相等)均为，中的6个数 其次，将这2008个数中的2006个数(除

11、1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作(k ，2008-k) ，其中k=1，2，10032006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是，中的4个数，不妨记其中的一对为 又在三对数，(互不相等)中至少存在1对数中的两个数与中的两个数互不相同，不妨设该对数为， 于是 （2）不成立当时，不妨从1，2，2008中取出后面的1006个数：1003 ，1004，2008，则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=40184017；当时，同样从1，2，2008中取出后面的n个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=40184017 所以时都不成立