九年级数学专题：线段最值《胡不归》题目.doc

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1、浅谈线段之和“胡不归”【背景知识】有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。 但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路

2、面的状况和在其上行走的速度值，可以在AC上选定一点D，小伙子从A走到D，然后从D折往B，可望最早到达B。用现代的科学语言表达，就是： 若在驿道上行走的速度为，在沙地上行走的速度为，即求的最小值.ABCDP例题1、如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB2，则APBPCP的最小值为_解析：正方形ABCD为轴对称图形 AP=PC AP+BP+CP=2AP+BP= 即求的最小值 接下去就是套路 我们要构造一个出来 连接AE，作DBE=30，交AC于E，过A作AFBE，垂足为F 在RtPBF中， PBF=30 由此我们把构造出来了 的最小值即为AF线段的长 BAE=45，AEB=60 解直角

3、ABE，得AO=BO=，OE=，OB= 根据面积法，= 求出AF=（此外本题费马点亦可）例题2 图1 图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（1）第二步：在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度，使得sin=第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经 小时可到达居民点B.

4、(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.) 练习2练习3练习4如图，ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为ADC，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_练习5如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，ABC=150，则线段AP+BP+PD的最小值为练习6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则P

5、B+PD的最小值为；练习7如图，在ACE中，CA=CE，CAE=30，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上（1）试说明CE是O的切线；（2）若ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求O的直径AB的长练习8如图，已知抛物线y=（x+2）（x4）（k为常数，且k0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=x+b与抛物线的另一交点为D（1）若点D的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发

6、，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？附加（阿氏圆问题）阿氏圆也是形如的形式（1）最终还是化分为整。概念：又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。例1. 在ABC中，ABC=90，BC=8,AC=6,以C为圆心，4为半径的圆上有一个动点D,连接AD、BD、CD，则12BD+AD最小值解析：根据阿氏圆定义CD/BC=1/2为定值，不妨设BC与圆C交与E点取EC中点F,由已知FCCD=CDBC=12,且FCD=DCB 所以FCD相似于DCB FD=12BD 所以12BD+AD= FD+ADAF 由勾股定理可得AF=210 图1 图2阿氏圆本质与胡不归不同，构造的关键是利用相似三角形的判定：对应线段成比例夹角相等从而化分为整，最后转化为两点之间线段最短问题练习1 练习2如图，在RtABC中，ACB=90，CB=4，CA=6，C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）练习3如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值练习4