河海大学弹性力学徐芝纶版-第九章ppt.ppt

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1、,小 结,基本方程与边界条件,1,平衡微分方程（3个）,2,几何方程（6个）,应变协调方程：（由几何方程导出，不作为基本方程）,第九章 空间问题的解答,3,物理方程（6个）,共15个方程，15个未知函数，在适当的边界条件下可求出,4,边界条件,1,位移边界条件（第一类边值问题）,2,应力边界条件（第二类边值问题）,3,混合边界条件（第三类边值问题）,边界,fi,平衡方程,本构关系,几何方程,静力学方面,几何学方面,相应的解法有：,1,按位移求解：,2,按应力求解：,3,混合解法：,9-1 按位移求解空间问题,物理方程,直角坐标：,代入平衡方程,拉梅(Lam)方程,边界条件(在直角坐标系),对于

2、轴对称问题，求解方程成为,对于球对称问题，求解方程成为,如图：,9-2 半空间体受重力及均布压力,由于对称（任一铅直平面都是对称面），故可假设：,按位移 求解,1,2,3,在z=0的表面，有：,常数B的决定要利用位移边界条件。假定,这个比值在土力学中称为侧压力系数,球对称问题，体力不计,9-3 空心圆球受均布压力,积分：,应力分量,边界条件(先考虑内外所受的均布压力),求解A和B，得,径向位移解答为:,应力解答为:,讨 论：,只受有内压力q，,1,当趋于无限大,2、孔边将发生q/2的切向拉应力，它可能引起脆性材料的开裂。可比较平面问题的lame解答。,1、当 r 趋于无限大，验证了S-V原理,

3、2,ba，受有内外压力,再次验证了S-V原理,3,局部应力集中，与平面孔口应力集中问题比较，集中程度降低。,仅受外压,9-4 位移势函数,当不计体力时，Lam方程成为,如何求解？,引入位移函数,使方程变得简单,假设位移是有势的,从而有：,特别的，取，则,如果找到适当的调和函数 ,使得,能够满足边界条件，就得到该问题的,正确解答。,问题归结为,此时,轴对称问题,代入无体力的平衡方程中，得到：,取,应为调和函数,此时：,问题归结为,如果找到适当的调和函数 ,使得 给出的,能够满足边界条件，就得到该问题的,正确解答。,应当指出：并不是所有问题中的位移都是有势的，,如果位移势函数存在，,表示体积应变在

4、整个弹性体是常量，这种情况非常特殊，因而位移势函数所能解决的问题极其有限。,9-5 伽辽金位移函数,代入无体力的平衡方程中,于是，对于一般的空间问题，只须找到三个恰当的重调和函数 , 使得按上式给出的位移和应力能够满足边界条件，就得到该问题的正确解答。,特殊形式,在直角坐标系可表示为,应力分量表达式为,在圆柱坐标系中的位移分量和应力分量的 表达式为(轴对称问题为其中的特例),伽辽金位移函数不要求有势，求解范围广。,体力不计,1,坐标选择,z 轴沿荷载F作用线,空间轴对称问题,9-6 半空间体在边界上受法向集中力,应力边界条件要求,2,转化过来之后，空间有6个条件，其中5个自然满足。,3,选择位

5、移函数,考虑采用乐甫位移函数,(1)由因次分析,要求:,力长,(2) 满足:,选择:,长含r、z二个变量，并且,4,求出位移和应力分量,6,检验应力边界条件,但,5,补选lame位移势函数,考虑到：,（1) 应当是 ，等长度坐标的零次幂 力,(2) 满足：,要求,Aln(),故取：,求得：,7,叠加后，检验应力边界条件,满足,再代入：,联立求得,Boussinesq 解答,表面沉陷,体力不计,1,坐标选择,非空间轴对称问题,9-7 半空间体在边界上受切向集中力,应力边界条件,2,选择位移函数,3,(1) 伽辽金位移函数,，,，,(2) lame位移势函数：,满足：,满足：,4,求出应力分量,检

6、验应力边界条件,5,求出：,6,Cerruti 解答,讨 论：,半空间体在边界上受集中力作用应力分布特征,(1) 当时，各应力分量都趋于零； 当时，各应力分量都趋于无限大。,(2) 水平截面上的应力都与弹性常数无关，其它 截面上的应力，一般都随泊松系数而变。,(3) 水平截面上的全应力指向集中力的作用点。,9-10 空间问题的应力解法,应力解法以应力张量，即以6个应力分量为基本未知函数。除了满足平衡微分方程和应力边界条件以外，为了保证位移唯一存在，应力(或应变)必须满足应变协调方程。,关于应变协调方程,数学上：,1,2,这些条件称为变形协调条件或应变协调方程或相容方程,物理上：,微元体变形后应

7、保持连续，,要求 不能任意，应保持连续，不然则会产生错开、嵌入等现象， 不是单值。,直角坐标系中分量形式的相容方程,进一步可以证明，应变分量满足应变协调方程是存在单值连续位移场的必要条件。 对于单连体，也是充分条件； 对于多连体，加上位移单值条件，才是充分的。,将物理方程代入，并利用平衡微分方程简化得到：,称为密切尔（Michell）方程。,在体力为常量的情况下， 简化为拜尔特拉密(Beltrami)方程,补充： 应力函数,按应力求解：当不计体力时，应力分量应满足：,仿照按位移求解引入位移函数的思路，引进应力函数，把应力用应力函数表示，并使得平衡方程能自动满足。 按应力解法的弹性力学问题就转变

8、为求解以应力函数表示的相容方程。当然，解得的应力还须满足应力边界条件和多连域的位移单值条件。,1.麦克斯威尔(Maxwel）应力函数,则平衡方程恒满足，代入相容方程得到,2.莫勒(Morera)应力函数,则平衡方程恒满足，代入相容方程得到,3.拜尔特拉密应力函数（一般形式）,自然满足平衡方程,1,特例,2,Maxwell应力函数,3,Morera应力函数,补充： 叠加原理,应用,同一弹性体,1,2,描述,如弹性体存在齐次约束条件,证明,和 满足如下方程和条件,和 满足如下方程和条件,将两式相对应的方程和条件相加，得,由上式可见， 和 满足在体力 和面力 共同作用下的所有方程和条件，因此它们是两组荷载共同作用下的解答。,11-9 解答的唯一性,弹性体处于平衡时，体内各点的应力、应变和位移时唯一的。,反证,设在给定的荷载和位移边界条件下，解答不唯一，即存在两组解,考虑这两组解的差,考虑到上式中的平衡方程，下式积分为零，即,只要存在位移边界, 则有:,