河海大学弹性力学徐芝纶版-第五章.ppt

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1、,例题,第一节 差分公式的推导,第二节 应力函数的差分解,第三节 应力函数差分解的实例,第四节 弹性体的形变势能和外力势能,第五节 位移变分方程,第六节 位移变分法,第五章 用差分法和变分法解平面问题,第七节 位移变分法例题,弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。,近似解法,因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解，得出函数表示的精确解答。,5-1 差分公式的推导,对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要有变分法，差分法和有限单元法。,近似解法

2、,差分法是微分方程的一种数值解法。 它不是去求解函数 ，而是求函数在一些结点上的值 。,f,x,o,差分法,差分法的内容是：,差分法,将微分方程用差分方程（代数方程）代替， 于是，求解微分方程的问题化为求解差分 方程的问题。,将导数用有限差商来代替，,将微分用有限差分来代替，,导数差分公式的导出：,导数差分公式,在平面弹性体上划分等间距h 的两组网格，分别x ，y 轴。网格交点称为结点，h称为步长。,应用泰勒级数公式 将 在 点展开，,(a),抛物线差分公式-略去式(a)中 以上项，分别用于结点1，3，,抛物线差分公式,结点3，,结点1，,抛物线差分公式,式(b)又称为中心差分公式，并由此可导

3、出高阶导数公式。,从上两式解出o点的导数公式，,应用泰勒级数导出差分公式，可得出统一的格式，避免任意性，并可估计其误差量级，式(b)的误差为 。,抛物线差分公式,线性差分公式在式(a)中仅取一，二项时，误差量级为 。,线性差分公式,式(c)称为向前差分公式。,对结点1，,得：,对结点3， 得：,线性的向前或向后差分公式，主要用于对时间导数的公式中。,式(d)称为向后差分公式。,例1,稳定温度场中的温度场函数T(x，y)应满足下列方程和边界条件： （在 A 中）,(a) （在 上）, (b) （在 上）. (c),稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一类边界条件是已知边界上的温度值

4、；在 上的第二类边界条件是已知热流密度值，其中是导热系数。,现在我们将式(a)，(b)，(c)转化为差分形式。应用图51网格，和抛物线差分公式，,（1）将化为差分公式，得 （2）若x边界516上为第一类边界条件，则 已知。 （3）若y边界627上为第二类边界条件，已 知，则,(d),由于 所以得 这时，边界点2的是未知的，对2点 须列出式（d）的方程。此方程涉及到 值，可将式（e）代入。,(e),例2,稳定温度场问题的 差分解。设图中的矩 形域为6m4m ，取 网格间距为h=2m，布 置网格如图，各边界 点的已知温度值如图 所示，试求内结点a， b的稳定温度值。,a,b,40,35,30,25

5、,32,22,24,22,20,17,解出,解,（度）。,思考题,1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分公式的区别。 2.应用抛物线差分公式(5-2)，试导出3阶导数 的差分公式。,对于单连体，按应力函数 求解时， 应满足:,5-2 应力函数的差分解,按 求解,（3）求出 后，由下式求应力（假设无体力）:,按 求解,差分法求解,1.应力公式(c)的差分表示。对于O点，,差分法求解：,相容方程,化为：,对每一内结点， 为未知，均应列出式(e)的方程 。,2.相容方程(a)的差分表示,对边界内一行结点列式(e)方程时，需要求出边界点和边界外一行结点（虚结点）的 值。 为了求虚结点的 值，需要求出边

6、界点的 ， 值。,相容方程,3.应用应力边界条件(b)，求出边界点的 ， ， 值。,边界条件, 应力边界条件用 表示 取出坐标 的正方向作为边界线s 的正向（图中为顺时针向），当移动 时， 为正，而 为负，所以外法线的方向余弦为,边界条件,( f ),边界条件,即,将上式和式(d)代入式(b)，得,边界条件,式( f )，(g)分别是应力边界条件的微分，积分形式。,再将式(f )对s 积分，从固定的基点A到边界任一点B，得,通过分部积分 从A到B积分，得,边界条件,(h),由全微分 求边界点的,因为A为定点， ， 和 ， ， ，均为常数，而式(h)中，加减x，y的一次式不影响应力，所以可取 故

7、边界结点的 和导数值，由式(g)，(h)简化为,边界条件,式(i)的物理意义是： 第一式表示从A到B边界上x向面力的主矢量； 第二式表示从A到B边界上y向面力的主矢量 改号; 第三式表示从A到B边界上面力对B点的力距， 图中以顺时针向为正。 因此，可以按物理意义直接求 和 。,边界条件, 由式(i)的第三式，可求出边界点的 值; 由式(i)的前两式，可求出边界点 的 ， 值，然后再求出边 界外一行虚结点的 值。,边界条件,（2）由边界结点的 ， 值，求出边界 外一行虚结点的 值；,（1）在边界上选定基点A， 令 ， 然后计算边界上各结点的 ， ， ；,求解步骤,4.应力函数差分解的步骤,（4）

8、求出边界外一行虚结点的 值；,（3）对边界内所有结点列式(e)的方程， 联立求各结点的 值；,求解步骤,（5）按式(d)求各结点的应力。,思考题,1，将应力函数看成是覆盖于区域A和边 界s上的一个曲面，则在边界上，各点 的值与从 A（基点）到B面力的合力 距有关， 的一阶导数值与A到B的面力 的合力（主矢量）有关；而在区域内， 应力分量与曲面的曲率，扭率有关。,53 应力函数差分解的实例,问题,此题无函数式解答。应用差分法求解。,正方形深梁,上边受均布荷载 ，下边两角点处有支承反力维持平衡，试求其应力。,1.本题具有对称性，取y轴如图，并取 以反映对称性。,取网格如图。,首先考虑对称性，可以减

9、少未知值数目，并大量减少计算工作量。 按照物理意义，求出边界点上的 和其导数值（如书中所示）：,AB间y向面力主矢量号， AB间x向面力主矢量， AB间面力对B点力矩,以,注意符号,为正.,5. 求出应力，如AM线上各点应力，并绘 出分布图。,4. 求出边界外一行虚结点的 值。,3. 对每一内点列差分方程 ，求 出 。,2. 由边界点 的导数值，求出边界外一行 虚结点的 值。,比较：,材料力学解AM上 为直线分布， 弹性力学解AM上 为曲线分布， 由此又说明，材料力学解法只适用于杆件。,比较,（1）差分法是解微分方程边值问题和弹性 力学问题的有效方法。 （2）差分法简便易行，且总能求出解答。

10、（3）差分法可配合材料力学，结构力学解 法，精确地分析结构的局部应力状态。,差分法优点：,差分法评价,（3）凡是近似解，在求导运算时会降低精度。 如 的误差为 ，则应力的误差为 。,缺点：,差分法评价,（1）对于曲线边界和不等间距网格的计算较麻烦。,（2）差分法比较适用于平面问题或二维问题。,思考题: 1.试用线性向前或向后差分公式，导出 的 差分方程。,a,（Z向厚度 ）,A,y,B,2F,F,F,x,a,a,a,2.用差分法计算 图中A点的应 力分量。,54 弹性体的形变势能 外力势能,弹性力学变分法，又称为能量法。因其中的泛函就是弹性体的能量。,泛函是以函数为自变量（宗量）的一 种函数。

11、,变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。,应力变分法取应力函数为自变量，并以 余能极小值条件导出变分方程。 本章只介绍位移变分法。,位移变分法取位移函数为自变量，并以 势能极小值条件导出变分方程。,弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法。其中分为：,外力势能外力做了功，必然消耗了相同 值的势能。当取 时的外力功和能为零，则：,(b),外力功和外力势能,1.弹性体上的外力功和外力势能 外力功：,形变势能,（2）因为应力和应变均从0增长到 ， 故单位体积上，应力所做的功是 非线性 关系 线 性 关系,（1）作用于微小单元上的应力，是邻近 部分物体对它的作用力，可看成是 作用于微小

12、单元上的“外力”。,2.应力的功和形变势能（内力势能）,线性的应力与应变关系,非线性的应力与应变关系,（3）对于平面应力问题 或平面应变问题 单位体积上应力所做的功都是,(c),形变势能,（4）假设没有转化为非机械能和动能，则 应力所做的功全部转化为弹性体的 内力势能，又称为形变势能，或应变 能， 存贮于物体内部。 -单位体积的形变势能（形变势能密度）。,形变势能,（5）整个弹性体的形变势能是,(d),形变势能,（6）将物理方程代入，平面应力问题的形 变势能密度 ，可用形变表示为,对于平面应变问题， 将,形变势能,再将几何方程代入， 可用位移表示为,3.形变势能 的性质 （1） 是应变或位移的

13、二次泛函， 故不能应用叠加原理。 （2）应变或位移发生时， 总是正的，即 （3） 的大小与受力次序无关。 （4） 对应变的导数，等于对应的应力：,(g),形变势能的性质,4.弹性体的总势能，是外力势能和内力 （形变）势能之和，,(h),1.试证明在线性的应力与应变关系， 2. 试由式(e)导出式(g)。 3. 试列出极坐标系中平面应力问题的形变势能公式，并与式(d)，(e)和(f)相比较。,思考题,55位移变分方程,在位移变分法中，所取泛函为总势能 ，其宗量为位移函数 ， 。,现在来导出位移变分方程。,1.实际平衡状态的位移 ， ，必须满足, 用位移表示的平衡微分方程（在A中）; 用位移表示的

14、应力边界条件（在 上); 位移边界条件（在上）。,实际位移,(a),其中，属于静力平衡条件，属于约束条件。 对于实际位移，可将看成是必要条件，而，是充分条件。,（在 上）。,2.虚位移状态 虚位移（数学上称为位移变分） ， 表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，如图所示。 虚位移应满足 上的约束边界条件，即,虚位移,(b),虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的。因此，虚位移状态 就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。,(c),虚位移,微分是在同一状态下，研究由于位 置(坐标)改变而引起函数的改 变。 其中的自变量为坐标变量x,y； 而因变量为函数，如位移，有,(

15、d), 变分与微分的比较,变分与微分,变分是在同一点位置上，由于状态改 变而引起泛函的改变。 其中的自变量为状态函数，如位移； 而因变量为泛函，如 ， ， ，有,变分与微分,(e),由于微分和变分都是微量，所以 a.它们的运算方式相同，如式(d)，(e)； b.变分和微分可以交换次序，如,变分与微分,( f ),当发生虚位移（位移变分） 时，,虚位移上功和能,由于虚位移引起虚应变，,外力势能的变分：,外力的虚功（外力功的变分）：,3.在虚位移上弹性体的功和能,形变势能的变分，即实际应力在虚应变上的虚功, 由于实际应力在虚应变之前已存在, 所以作为常力计算，故无 系数。,虚位移上功和能,( j

16、),（1）在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中形变势能的增加 应等于外力势能的减少（即等于外力所做的虚功 ）。所以,位移变分方程,4.弹性力学中位移变分方程的导出,（2）位移变分方程 将式(g)的 代入上 式，得,它表示，在实际平衡状态发生位移的变 分 时，所引起的形变势能的变 分 ，等于外力功的变分 。,位移变分方程,位移变分方程,它表示，在实际平衡状态发生虚位移时， 外力在虚位移上所做的虚功等于应力在 虚应变上所做的虚功。,（3）虚功方程 将式(j)的 代入上 式，得,其中 形变势能的变分，如式( j )所示， 外力功的变分, 如式(

17、g )所示。,位移变分方程,（4）最小势能原理式(k)可写成,其中U弹性体的形变势能，如5-4式(d), W弹性体的外力功， 如5-4式(a)。,可以证明，式(n)可以写成为,证明如下：,位移变分方程,由于弹性体的总势能为 故式(o)可以表示为 再将总势能 对其变量（位移或应变）作二次变分运算，可得 综合式(p)，(q)，即得,(p),(q),(r),位移变分方程,位移变分方程,这就是最小势能原理。它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能为极小值。,最小势能原理： 数学表示如图(a)，物理意义如图(b),u,u（实际位移）,(a),(b)

18、,（5）位移变分方程的又一形式 式(l) 中 可化为,又一形式,应用分部积分公式 和格林公式 （其中s为平面域A的边界，l，m为边界外法线的方向余弦），可将 进行转换。,又一形式,由在 上，虚位移 ，得 对 其余几项进行同样的转换，并代入式( l ) ,可得又一形式的位移变分方程：,又一形式,例如，对第一项计算，,(s),因 ， 都是任意的独立的变分，为了满足上式, 必须,（在A中）(v),（在 上）(w),又一形式,由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。,5.结论, 实际平衡状态的位移必须满足 a. 上的约束(位移)

19、边界条件； b. 上的应力边界条件； c.域A中的平衡微分方程。,结论, 位移变分方程可以等价地代替静力条 件b,c。,结论,由此得出一种变分解法,即预先使位 移函数满足 上的位移边界条件，再 满足位移变分方程，必然也可以找出 对应于实际平衡状态的位解答。,1.微分和变分各是由什么原因引起的？ 2.试导出式(u)。 3.试比较4.中变分方程 (1)-(5)的不同的 物理解释。 4.试证明二阶变分 。,思考题,位移变分法是取位移为基本未知函数的。 位移函数应预先满足 上的位移边界条件，然后再满足位移变分方程。,5-6 位移变分法,(a),瑞利-里茨法,（1）因位移函数是未知的，在变分法中采用设定

20、位移试函数的方法，令,1.瑞利-里茨法,其中 和 均为设定的x，y的函数，并在边界 上，令,（在 上）,（在 上）,(c),(b),瑞利-里茨法,所以 已满足了 上的位移边界条件。而 ， 用来反映位移状态的变化，故位移的变分为,瑞利-里茨法,(d),瑞利-里茨法,位移的变分通过 ， 的变分来反映，故形变势能的变分为,（2）位移(a)还必须满足位移变分方程,将式(d)，( f )代入(e)得,因虚位移（位移变分）中的 ， 是完全任意的，独立的，为了满足上式，必须:,瑞利-里茨法,式(g)是瑞利-里茨变分方程。它是关于 ， 的线性代数方程组，由上式可解出 ， ,从而得到位移的解答。,2.伽辽金法

21、（1）设定位移试函数如式(a)所示，但令 u,v 不仅满足 上的位移边界条件， 而且也满足 上的应力边界条件 （用u,v表示）。,伽辽金法,将位移的变分 ， （式(d )）代入，同样由于 ， 为完全任意的和独立的变分，得到,伽辽金法,（2）于是，由5-5中式(u)可见，由于 上的应力边界条件已满足，设定的位移只需满足下列变分方程,将上式括号内的应力用位移来表示，得伽辽金变分方程:,伽辽金法,式( j )也是关于 ， 的线性代数方程 组，从上式解出 ， ，便得到位移的解答。,伽辽金法,思考题,试从位移函数的设定，应满足的变 分方程和求解的计算工作量等方面对瑞 利-里茨法和伽辽金法进行比较。,例1

22、 图示矩形板ab，在上边及右边受有均布压力 及 ，而左边和下边受有法向连杆的约束。,5-7 位移变分法例题,应用瑞利-里茨法 ，设定位移 满足两个约束边界条件,例题,(a),(b),其余的应力边界条件及平衡微分方程由下列变分方程代替（其中 ）：,(c),对式(c)右边的积分，应包含所有的应力边界条件（当 或 处积分为0），,例题,且其中的 ， 应代入相应的边界方程。将式(a)代入 U ，计算式(c)的左边项。 共建立两个方程，求出 和 ，得位移解答：,例题,(d),对于图示的简单问题，式(d)正好是其精确解。,例题,(e),例2,本题全部为位移边界条件：,本题以y轴为对称轴，所以 u应为x的奇

23、函数, v应为x的偶函数。,例题,(f),设定位移势函数为,位移(g)已满足对称性条件(f)和全部边界条件(e)。 因 全部为位移边界条件且均已满足，所以从55 式(u)可见，也可应用伽辽金变分法。,例题,将位移(g)代入上式，求出 得出的位移解答与书中用瑞利-里茨法 给出的结果相同。,因 ，故伽辽金变分方程为,例题,(h),第五章例题,例题1,例题2,例题3,例题4,例题5,例题7,例题6,例题,例题1,设图中的矩形域为 ，取网格间距为h=2m,布置网格如图，各边界点的已知温度值（度）如图所示，试求内结点a,b的稳定温度值。,a,b,40,35,30,25,32,22,24,22,20,17

24、,解：对结点a, b列出方程如下：,解出,例题2 用差分法计算图中A和B点的应力分量。,F,a,B,x,y,3,a,a,a,A,.,7,1,（Z向厚度 ）,F,6,5,解：为反映对称性，取A为基点。令 边界点的应力函数值： 边界点的导数值： 由上式及 . 求出边界外一行虚结点的 值：,对1点列差分方程： 代入各 值，解出 。 再求出应力分量：,例题3 正方形 的板块，厚度 ，受一对集中力F的作用，如图。试 取 ，应用差分法求解该问题的应力分量。,10,9,8,H,G,E,D,I,J,B,A,C,h,h,h,h,3,2,3,4,1,4,3,2,3,11,12,7,6,x,y,h=l/4,F,F,

25、解：本题具有的两个对称轴，为了反映对称性，在 y 向外荷载作用下，取 网格结点编号如图所示。, 计算各边界结点处的 ， ， 值。 在A点及J点，各取 布置于两侧，以 反映荷载的对称性，按公式 （其中 即AB之间面力对B点的力矩，图中以顺 时针方向为正）。,读者可检验，上述的值反映了边界结点和边界外一行虚结点上 值的对称性。,求出边界上各结点的值，如下图所示。 结点A B CDEGH I J 0 0 0 0,F/2,F/2,F/2,-Fh/2,-Fh/2,-Fh,0,0,0,0, 计算边界外一行结点的 值。,由 得到 由 得到, 对内结点1，2，3，4分别列出下列类型 的方程： 0点：,对结点1

26、， 对结点2，,对结点3， 对结点4，,解出,按照应力公式 及 ，求得AJ及EI截面上的应力分量：,例题4 试证明，在同样的应变分量 ， 和 下，平面应变情况下单位厚度的形变 势能大于平面应力情况下的形变势能。,例题,对于平面应变情况，只需将上式中 ， 变换为,解：平面应力情况下，单位厚度的形变 势能是：,例题,(a),代入，得 显然，方括号内 将式中的 ， 都作为式(b)的变换，整理后得平面应变情况下的形变势能公式，,例题,(c),从式可见，在平面应变情况下，形变势能 中的第1，2，3项均大于平面应力情况下的值，而第4项 不变。因此，平面应变的形变势能 大于平面应力的形变势能U 。,例题,例

27、题5 图中表示一板块，在铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形，并使之两端固定下来，若在其中切开一小口AB时，试说明板的形变势能将发生什么变化？,例题,C,D,E,F,A,B,解： 当AB线切开时，AB线上的应力趋于 0。而形变势能是正定的， ，当这部 应力 时，相应的形变势能也失去。因 此，板的总的形变势能减少。,例题, 当AB线切开后，边界CD和EF仍是固定的，我们可以比较两种状态：,(b) AB线张开，出现裂纹。这是稳定的平衡状态。由于系统的稳定平衡状态与邻近的状态相比，总势能处于极小值，而(a)，(b)两种状态的外力势能不变，因此，(b)的形变势能小于(a)，即形变势能将减少。,例题,(a

28、) AB切开后， AB线仍然处于闭合状态， 不发生张开。这是不稳定的平衡状态；,例题6 单位厚度 的深梁，两侧边固定，上下边受均布荷载q作用，如图所示。试用位移变分法求解其位移。 （取 ， 并设 ）。,例题,q,y,x,b,u,v,b,a,a,o,q,解：在图示荷载作用下，深梁的位移应对称于y轴，而反对称于x轴。,因此，位移分量u应为 ， 的奇函数，而v为 x ，y 的偶函数，,x,y,如图所示。可以设定位移势函数如下：,上式已满足两端的约束边界条件， 以及对称和反对称性条件。以下按瑞利- 里茨法进行计算。,例题,假设只取u，v中一项，即 将u和v代入形变势能公式（平面应力问题），得：,例题,

29、在本题中体力 ，在 边界上只有 的均布荷载， 。由此，瑞利-里茨方程成为,例题,再积分求U，,边界是 ，且 ，从 到 积分。再将U代入上式，得到两个求 的方程：,当取 ，且 时，上两式方程简化为 由此解出 , 位移分量的解答是,例题,例题7 图中所示的薄板，厚度 ，三边固定，一边受到均布压力q的作用。试用瑞利-里茨的位移变分法求解，其中取 ， 。,例题,a,a,b,x,y,q,解：在瑞利-里茨法中， 设定位移试函数应满 足位移边界条件，并 应反映图示问题的对称性。取,上式已反映了位移对称于y轴的要求：v为x的 偶函数，u为x的奇函数。 仅取各一项进行运算， 由于体力 ，面力只存在于AB边 （），因此求解 的位移变分方程 为：,例题,当 ，且取泊松系数 时，形变势能简化为 将u，v 代入,例题,（a）,（b）,形变势能U为,将U及 代入式(a)，(b)，得,(c),(d),从式(c)， (d)解出,例题,于是得到位移分量，,再求应力分量，取 ，得：,在对称轴上，x=0， , 在 边界， ,例题,本题中，由于u，v中各只取一项，且取 ，因此，求出的位移解的精度较低；而由近似解的位移求应力时，其应力精度要降低一阶，其精度更差些。对于实际问题，应取更多的项数进行计算。,