河海大学弹性力学徐芝纶版-张量分析ppt(本科).ppt

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1、第十章 张量分析,第一节 问题的提出,第二节 矢量的基本运算,第三节 坐标变换及张量的定义,问题的提出,自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便分析，但也掩盖了物理本质；,坐标系引入后的相关表达式冗长,如何解决?,引入张量方法,A1 指标符号,下标符号 i 称为指标；n 为维数 指标 i 可以是下标，如 xi 也可以是上标，如 xi,记作,指标的取值范围如不作说明，均表示从13,定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标,xi（ i=1,2,3） x1，x2，x3 x, y, z ui（ i=1,2,3） u1，u2，u3 u, v, w,一若干约定 哑标和自由标,1. Einstein求和约定,凡

2、在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为哑指标。如：,又如：,重复不止一次的指标，求和约定失败,求和约定仅对字母指标有效，如,同一项内二对哑标应使用不同指标，如,注意：,1,2,3,4,哑标可以换用不同的字母指标,2.求导记号的缩写约定,k,3.自由标,定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如,j 为自由标,j=1,注意：,同一个方程中各项自由标必须相同,不能改变某一项的自由标，但所有项的自由标可以改变,1,2,wrong,right,如：,二克罗内克（Kronecker-）符号,定义：,由定义,性质：,A2 张量的定义和 代数运算,说明,任意矢

3、量可以表示为基矢量的线性组合,1,2,基矢量不是唯一的,1. 矢量的基本运算,基矢量点积,任意两矢量的点积,1,2,3,矢量的基本运算还有叉积 、混合积等,点积,并矢（并乘）,定义：,展开共9项， 可视为并矢的基,为并矢的分解系数或分量,2. 平面笛卡儿坐标系旋转变换,为正交矩阵,引用指标符号：,由,又,讨论:上式的几何意义,说明,1,基矢量具有与坐标分量相同的变换规律,2,矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律,3. 三维情况,考虑一位置矢量,同理,同二维问题，可得,（正交性）,可试证：,4. 张量定义,定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量,自由标数目n张量的阶数；对于三维空间

4、，张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。,采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）,可写成上式的量也称为张量（第二种定义）,讨论,1,2,上述表达式具有不变性特征；,张量分量 与坐标系有关；,3,在坐标变换时遵循相同的变换规律,5.矢量与张量的点积,1,2,左点乘：,右点乘 :,点乘得到的新张量比原张量低一阶,A3 张量分析,一 .梯度、散度、旋度,力学中：,几何方程与位移场的梯度有关,转动量与位移场的旋度有关,平衡方程与应力场的散度有关,1、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子),梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子,可以表示为:,可以证明, Hamilton算子具有张量的属性,相当于一阶张量。,2、梯度,1,标量场,为一阶张量矢量,2,张量场,（1）左梯度,（2）右梯度,3、散度,1,矢量场,为一标量,2,张量场,（1）左散度,（2）右散度,4、旋度,1,矢量场,2,张量场,（1）左旋度,（2）右旋度,二. 高斯Gauss公式,式中，S是空间体积的封闭边界面，ni为边界面S的外法向方向余弦。,讨论：,1、标量场,2、矢量场,推广到任意阶张量的情形：,其不变性记法为 :,称为广义高斯公式，或称散度定理。,3,