河海大学弹性力学徐芝纶版-第四章ppt.ppt

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1、第四章 平面问题的极坐标解答,第一节 极坐标中的平衡微分方程,第二节 极坐标中的几何方程及物理方程,第三节 极坐标中的应力函数与相容方程,第四节 应力分量的坐标变换式,第五节 轴对称应力和相应的位移,第四章 平面问题的极坐标解答,第六节 圆环或圆筒受均布压力,第八节 圆孔的孔口应力集中,第九节 半平面体在边界上受集中力,第十节 半平面体在边界上受分布力,例题,第七节 压力隧洞,区别:直角坐标中, x和y坐标线都是直线,有 固定的方向, x 和y 的量纲均为L。 极坐标中, 坐标线（ =常数）和 坐标线（ =常数）在不同点有不同的方向;,相同:两者都是正交坐标系。,直角坐标(x,y)与极坐标 比

2、较：,坐标线为直线, 坐标线为圆弧曲线; 的量纲为L, 的量纲为1。这些区别将引 起弹性力学基本方程的区别。,对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。,应用,41 极坐标中的平衡微分方程,在A内任一点（ ， ）取出一个微分体，考虑其平衡条件。,微分体-由夹角为 的两径向线和距离 为 的两环向线围成。,D,两 面不平行，夹角为 ； 两 面面积不等，分别为 ， 。 从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向 转动为正。,注意：,微分体上的作用力有：,体力- ， 以坐标正向为正。 应力- 面， 面分别表示应力及其 增量。,作用力,应力同样

3、以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负 。,应用假定:（1）连续性，（2）小变形。,平衡条件：,平衡条件,考虑通过微分体形心 D的 向及矩的平衡，列出3个平衡条件:,其中可取,-通过形心D的 向合力为0，,上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得,式(a)中第1、第2、第4项与直角坐标的方向相似;,-是由于 面面积大于 面面 积而引起的，,-是由于 面上的 在D点的 向有 投影。,式(a)中第3项与直角坐标的不同。,D,略去三阶微量，保留到二阶微量，得,-通过形心D的 向合力为0，,式(b)中第1、第2、第4项与直角坐标的方程相似。,式(b)中第3项与直角坐标的方程不同。,-是由于 面的面

4、积大于 面引起的，,-是由于 面上的切应力 在D点,的 向有投影。,D,-通过形心D的力矩为0，当 考虑到二阶微量时，得,思考题,1、试说明在导出上述平衡微分方程中，同样 应用了连续性和小变形的基本假定，因而 适用的条件也是这两个。,2、试对微分体上的不同点列出平衡条件；或 者考虑每一面上的应力为非均匀分布时列 出平衡条件，证明式（41）在二阶微量 的精度内总是相同的。,几何方程-表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式 。,42 极坐标中的几何方程 及物理方程,过任一点 作两个沿正标向的微分线段 ,1.只有径向位移 ，求形变。,P,A,B变形后为 ，各点的位移如图。,几何方程,PA线应变,在

5、小变形假定 下，,几何方程,此项表示，径向位移会引起环向线段的伸长。,所以切应变为,几何方程,2. 只有环向位移 ,求形变。,P,A,B变形后为 ， 各点的位移如图,几何方程,几何方程,切应变为,几何方程,此项表示，环向位移会引起的环向线段的转角（极坐标中才有）。,3.当 和 同时存在时，几何方程为,几何方程,极坐标中的物理方程,直角坐标中的物理方程是代数方程，且 x 与 y 为正交，,故物理方程形式相似。,物理方程,极坐标中的物理方程也是代数方程,且,与 为正交，,平面应力问题的物理方程：,物理方程,对于平面应变问题，只须作如下同样变换，,边界条件-应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面

6、，即：,边界条件,故边界条件形式简单。,思考题,1、试考虑在导出几何方程时，考虑到哪一 阶微量，略去了哪些更高阶的微量？,2、试比较极坐标中和直角坐标中的基本方 程和边界条件，有哪些相似之处和不同 之处，为什么会有这些差别？,以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：,43 极坐标中的应力函数 与相容方程,1、 物理量的转换;,2、从直角坐标系中的方程导出极坐标 系中的方程。,函数的变换：将式 或 代入，,坐标变量的变换：,反之,1.从直角坐标系到极坐标系的变换,坐标变换,或,矢量的变换：位移,坐标变换,将对 的导数，变换为对 的导数：,可看成是 ，而 又是 的函数，即 是通过中间变量 ，

7、为 的复合函数。,有:,坐标变换,导数的变换：,而,代入，即得一阶导数的变换公式,一阶导数,，,。,二阶导数的变换公式，可以从式(e) 导出。例如,二阶导数,注意：系数中也包含 和 ，展开即得。,拉普拉斯算子的变换：由式（f）得,二阶导数,3.极坐标中应力用应力函数 表示,可考虑几种导出方法：,2.极坐标中的相容方程,从平衡微分方程直接导出（类似于 直角坐标系中方法）。,相容方程应力公式,其中：,(2) 应用特殊关系式，即当x轴移动到与 轴重合时，有:,(3) 应用应力变换公式（下节）,应力公式,(4) 应用应力变换公式（下节），,而,代入式 ( f ) ，得出 的公式。,比较两式的 的系数，

8、便得出 的公式。,应力公式,4.极坐标系中按应力函数 求解，应满足：,(1) A 内相容方程,(2) 上的应力边界条件（设全部为应 力边界条件）。,(3) 多连体中的位移单值条件。,按 求解,应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。,应力分量的坐标变换关系：,44 应力分量的坐标变换式,1、已知 ，求 。,（含 ）的三角形微分体，厚度为1，如下图 A，考虑其平衡条件。,取出一个包含x面y(含 )和 面,得,同理，由,得,类似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条件，,得,应用相似的方法，可得到,2、已知 ，求,思考题,1、试导出法线与 轴夹角为 的面上的

9、 应力分量表达式。,2、试导出式(4-8)。,轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。,轴对称应力（Axisymmetrial stresses）问题：,45 轴对称应力和相应的位移,轴对称应力问题,应力数值轴对称- 仅为 的函数， 应力方向轴对称-,其中,相应的应力函数 ，所以 应力公式为：,（1）相容方程,相容方程成为常微分方程，积分4次得 的通解，,的通解,(2) 应力通解：将式 (c) 代入式 (a)，,将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，,应变通解：将应力(d)代入物理方程，得 对应的应变分量的通解。应变 也为轴对称。,(4)求对应的位移：,分开变量，两边均应等于同

10、一常量F,将 代入第三式，,由两个常微分方程，,其中,代入 ，得轴对称应力对应的位移通解，,I，K为x、y向的刚体平移， H 为绕o点的刚体转动角度。,位移通解,说明,（2）在轴对称应力条件下，形变也是轴对称 的,但位移不是轴对称的。,（3）实现轴对称应力的条件是，物体形状、 体力和面力应为轴对称。,（1）在轴对称应力条件下，式 (c),(d),(e) 为应力函数、应力和位移的通解，适用 于任何轴对称应力问题。,说明,(4) 轴对称应力及对应的位移的通解 (d) 、(e) 已满足相容方程，它们还必须满足边界 条件及多连体中的位移单值条件，并由 此求出其系数A、B及C。,说明,(5) 轴对称应力

11、及位移的通解(d) 、 (e) ， 可以用于求解应力或位移边界条件下的 任何轴对称问题。,(6) 对于平面应变问题，只须将 换为,思考题,为什么在轴对称应力下，得出的位移是非轴对称的？如何从数学推导和物理概念上解释这种现象？,圆环(平面应力问题)和圆筒(平面应变问题)受内外均布压力，属于轴对称应力问题，可以引用轴对称应力问题的通解。,46 圆环或圆筒受均布压力,问题,问题,边界条件是,边界条件,考察多连体中的位移单值条件：,圆环或圆筒，是有两个连续边界的多连体。而在位移解答中，,式(b)中的 条件是自然满足的，而其余两个条件还不足以完全确定应力解答(a) 。,单值条件,是一个多值函数：对于 和

12、 是同一点，但式(c)却得出两个位移值。由于同一点的位移只能为单值，因此,B = 0。,单值条件,由B=0 和边界条件 (b) ，便可得出拉梅解答，,单值条件,解答（d）的应用：,（1）只有内压力,（2）只有内压力 且 ，成为 具有圆孔的无限大薄板（弹性体）。,（3）只有外压力,单值条件,单值条件的说明：,（1）多连体中的位移单值条件，实质上就 是物体的连续性条件（即位移连续性 条件）。,（2）在连续体中，应力、形变和位移都 应为单值。,单值条件,按位移求解时：取位移为单值，求形变（几何方程）也为单值，求应力（物理方程）也为单值。,按应力求解时：取应力为单值，求形变（物理方程）也为单值，求位移

13、（由几何方程积分），常常会出现多值项。,所以，按应力求解时，对于多连体须要校核位移的单值条件。,单值条件,对于单连体，通过校核边界条件等，位移单值条件往往已自然满足；,对于多连体，应校核位移单值条件，并使之满足。,思考题,轴对称应力条件下的通解，可以应用于各种应力和位移边界条件的情形。试考虑下列圆环或圆弧的问题应如何求解：,(1) 内边界受均匀压力 ，而外边界为固定边； (2) 外边界受均匀压力 ，而内边界为固定边； (3) 外边界受到强迫均匀位移 ，而内边界为 自由(如车辆的轮箍作用)； (4) 内边界受到强迫均匀位移 ，而外边界为 自由。,如图所示，圆轴的半径为 ，厚壁圆筒的内半径为 和外

14、半径为 ，其中 。现将圆轴放入圆筒（两圆心重合），在圆筒外边界作用有均布压力 ，试求出使圆轴产生应力时，圆筒外边界的临界压力值 。,厚壁圆筒公式为：,47 压力隧洞,本题是两个圆筒的接触问题，两个均为轴对称问题（平面应变问题）。,1.压力隧洞(Pressure tunnel)-圆筒埋在无限大弹性体中，受有均布内压力。圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为,压力隧洞,因为不符合均匀性假定，必须分别采用两个轴对称解答：,圆筒,无限大弹性体,压力隧洞,应考虑的条件：,（1）位移单值条件：,（2）圆筒内边界条件：,（3）无限远处条件，由圣维南原理,压力隧洞,由（1）（4）条件，解出解答（书中式（4 -16

15、）。,（4） 的接触条件，当变形后两弹性体 保持连续时，有,压力隧洞,2.一般的接触问题。,(1) 完全接触：变形后两弹性体在s上仍然保持连续。这时的接触条件为：在s上,当两个弹性体 ，变形前在s上互相接触，变形后的接触条件可分为几种情况：,接触问题,(2) 有摩阻力的滑动接触：变形后在S上法向保持连续，而切向产生有摩阻力的相对滑移，则在S上的接触条件为,其中C为凝聚力。,接触问题,(4) 局部脱离：变形后某一部分边界上两弹性体脱开，则原接触面成了自由面。在此部分脱开的边界上，有,(3) 光滑接触：变形后法向保持连续，但切向产生无摩阻力的光滑移动，则在s上的接触条件为,接触问题,在工程上，有许

16、多接触问题的实际例子。如机械中轴与轴承的接触，基础结构与地基的接触，坝体分缝处的接触等等。一般在接触边界的各部分，常常有不同的接触条件，难以用理论解表示。我们可以应用有限单元法进行仔细和深入的分析。,接触问题,3. 有限值条件,图（a）,设图（a）中半径为r的圆盘受法向均布压力q作用，试求其解答。,有限值条件,引用轴对称问题的解答，并考虑边界 上的条件，上述问题还是难以得出解答。这时，我们可以考虑所谓有限值条件，即除了应力集中点外，弹性体上的应力应为有限值。而书中式(4-11)的应力表达式中，当 时， 和 中的第一、二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件， 当 时，必须有A=B=0。,

17、有限值条件,在弹性力学问题中，我们是在区域内和边界上分别考虑静力条件、几何条件和物理条件后，建立基本方程及其边界条件来进行求解的。一般地说，单值条件和有限值条件也是应该满足的，但是这些条件常常是自然满足的。而在下列的情形下须要进行校核：,(1)按应力求解时，多连体中的位移单值条件。,有限值条件,在弹性力学的复变函数解法中，首先排除不符合单值条件和有限值条件的复变函数，从而缩小求解函数的范围，然后再根据其他条件进行求解。,(2)无应力集中现象时， 和 ，或 处的应力的有限值条件(因为正、负幂函数在这些点会成为无限大)。,有限值条件,思考题,1、试考虑有两套筒或三套筒互相接触时，如何求解？,2、如

18、下图所示的结构（薄板）由两种不同材料组成，其中 均为常数，体力不计，且接触面CD光滑，在上表面受竖向均布荷载作用。试求其位移和应力解答。,工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔。,本节研究小孔口问题，应符合,（1）孔口尺寸弹性体尺寸，,孔口引起的应力扰动局限于小范围内。,48 圆孔的孔口应力集中,小孔口问题,（2）孔边距边界较远（1.5倍孔口尺寸）,孔口与边界不相互干扰。,当弹性体开孔时，在小孔口附近，将 发生应力集中现象(Phenomenon of stress concentration)。,小孔口问题,1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q， 图(a)。,双向受拉,内边界条件为，,将外边界改

19、造成为圆边界，作 则有,利用圆环的轴对称解答，取,且Rr，得应力解答：,双向受拉,最大应力发生在孔边，,2. 带小圆孔的矩形板， x, y向分别受拉压力 ，图(b)。,双向受拉压,内边界条件为,作 圆，求出外边界条件为,应用半逆解法求解（非轴对称问题）:,由边界条件， 假设,代入相容方程，,由 关系，假设 ，所以设,双向受拉压,除去 ，为欧拉方程，得解,由式 (d)，(e) 得 ，并求出应力。,双向受拉压,校核边界条件 (b) , (c) ，求出 A, B, C, D， 得应力解答：,在孔边 ， ，最大、最小应力为 。,双向受拉压,3.带小圆孔的矩形板，只受x向均布拉力q。,单向受拉,应用图示

20、叠加原理（此时令 ） 得应力解答:,单向受拉,讨论：,（1）孔边应力，,最大应力 3q ，最小应力-q。,单向受拉,（2) y轴 上应力，,可见，距孔边1.5D处 ，由于孔口引起的应力扰动5%。,单向受拉,（3） x 轴 上应力，,同样，距孔边1.5D处 ，由于孔口引起的应力扰动5%。,单向受拉,4.小孔口的应力集中现象,（1）集中性(concentricity )-孔口附近应力远处的应力，,孔口附近应力无孔时的应力。,（2）局部性(Locality)-应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径（D）范围内。此区域外的应力扰动，一般5%。,应力集中现象,（3）凹角的角点应力高度集中，曲率半径愈小

21、，应力愈大。,因此，工程上应尽量避免接近直交的凹角出现。,如正方孔 的角点，,角点曲率半径,应力集中现象,5.一般小孔口问题的分析：,（1）假设无孔，求出结构在孔心处的 、 、 。,（2）求出孔心处主应力,（3）在远处的均匀应力场 作用下， 求出孔口附近的应力。,小孔口解法,应用弹性力学问题的复变函数解法，已经 解出许多各种形状的小孔口问题的解答。复变 函数解法是一种求解弹性力学解答的解析方法， 它将复变函数的实部和虚部(均为实函数)分别 表示弹性力学的物理量，将弹性力学的相容方 程(重调和方程 )也化为复变函数方程，并结合 边界条件进行求解。,6. 其他小孔口问题的解答,为了了解小孔口应力集

22、中现象的特性和便 于工程上的应用，我们把远处为 (压应 力场)作用下，椭圆类孔口、矩形类孔口和廊道 孔口的应力解答表示在下图中，它们的应力分 布情况如下。,-4,3/2,b,a,1,1,-2.23,1,2/3,-1,1,0,1,-3,1,1.00,-2.5,-1.35,（1）在 (压应力场)下，孔口的最大 拉应力发生于孔顶和孔底。椭圆类孔口均为 ,矩形类孔口的 ,标准 廊道孔口为0.90和0.92q。,1.8r,-1.7,(c) 标准廊道孔口,r,0.90,0.92,（2）在 （压应力场）下，孔口的最大压应力发生在孔侧。椭圆类孔口（垂直半轴为b，水平半轴为a）中，当 成为一条裂 缝时， ；当

23、；当 ， 。矩形类孔口 从 ， 越小，则压应力集中系数越接近1。标准廊道 左右。,思考题,试从下列观点解释孔口应力集中现象：,(2) 根据圣维南原理，孔口应力集中现象是局部性的。,(1) 开孔后使主应力线发生间断(类似于流体的绕流现象)，因而产生孔口应力集中现象。,(3) 黄河上小浪底工程中的泄洪、输沙、发电、导流底孔等共有十八个孔口组成的洞群，在设计中孔口之间的净间距取为约大于23倍孔径，为什么？,半平面体在边界上受集中力。,用半逆解法求解。,（1）假设应力： F为单位宽度上的力，按量纲分析，应力 应为:,49 半平面体在边界上 受集中力,半逆解法,（2）推测 应为,（3）代入 ，得,求出

24、f 之解，代入 ，,其中前两项即Ax+By ，与应力无关，删去。,（5）考虑边界条件,因有集中力作用于原点，,故边界条件应考虑两部分：,（4）由 求应力,(b)在原点 O附近，我们可以看成是一段 小边界。在此小边界附近，有面力的作 用,而面力可以向原点o简化为作用于o 点的主矢量F，和主矩为0的情形。,(a) 不包含原点O，则在 显然这条件是满足的。,将小边界上的应力边界条件应用圣维南原理来进行处理。圣维南原理的应用可以有两种方式：,即 ,(1)在同一小边界上，使应力的主矢量和主矩,分别等于对应面力的主矢量和主矩 (数值相等，方向一致)，共有3个条件。,(2) 取出包含小边界的一部分脱离体，并

25、考虑此脱离体的平衡条件，,同样也得出3个条件。,本题中，由于已经将小边界上的面力简化到o点的主矢量和主矩，可以按后一种方式来处理。即取出oabc部分的弹性体，考虑 。由此，得出应力解答式(4-21)，即,当F垂直于边界时， ，应力解答为,相应的位移按下列步骤求出：,（2）代入几何方程，,位移,相应的直角坐标系中的应力 ， 如书中式(4-24)所示。,（1）由物理方程求形变,对第一式积分，求出 ，含 ；,对第二式积分，求出 ，含 ；,由对称条件，,代入第三式，分开变量，求出 和 ，得,（3）求刚体位移H , I , K。,x 向无约束条件, I 不能确定。,因刚体位移 不能确定，用相对沉陷表示：

26、,此解答用于基础梁 问题。地基一般为平面 应变问题，故应取,（4）半平面体表面的沉陷,M点 为,为基点 ,s 。,思考题,1、试考虑书中的应力解答(4-22)具有下列特点：在图示直径为OA=D的圆上，如图，,y,x,o,F,D,A,B,都等于,3、试考虑在下图中，当 的边界上有均布压力q作用时，如何用量纲分析方法假设应力的函数形式？,2、试考虑在下图中，o点有外力偶M作用时，如何用量纲分析方法假设应力的函数形式？ （答案： ）,（答案： ）,4、试导出图4-9中，F为水平力( )时的应力解答。,M,410 半平面体在边界 上受分布力,当半平面体表面有分布荷载 作用,时，其应力和位移解答可从集中

27、力的解答得出。,F（原集中力）代之为微分集中力 （ 作用点为 ）。,x（原表示F作用点到M 的铅直距离）仍为x;,y（原表示F作用点到M 的水平距离） 应代之为,应力 （式（4-24）的推广：,然后对 积分，从 。,（原M点到F作用点的水平距离） 代之为,s（原B点到F作用点的水平距离） 代之为,然后对 积分，从,相对沉陷解答 的推广：,F （原集中力） 代之为,半平面体在边界上受有均布单位力作用,书中用上述方法，导出了基础梁计算中的公式。如点K在均布力之外，则沉陷为,若基点B取得很远 ，有,其中：,例题2,例题3,第四章例题,例题4,例题5,例题6,例题7,例题9,例题10,例题8,例题1,

28、例题1 （习题4-8）试考察应力函数 能解决图中所示弹性体的何种受力问题？,y,x,a,a,0,第四章例题,解：本题应按逆解法求解。,首先校核相容方程， 是满足的。 然后，代入应力公式（4-5），求出应力分量：,第四章例题,再求出边界上的面力：,读者可由此画出边界上的面力分布。,第四章例题,半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数 求解应力分量。,例题2（习题4-9）,第四章例题,解：首先检验 ，已满足 。由 求应力，代入应力公式得,第四章例题,再考察边界条件。注意本题有两个 面,即 ，分别为 面。在 面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有,代入公式，得应力解答，,第四章例题,设半

29、平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。,第四章例题,例题3（习题4-18）,（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与 有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即 ，应力只能以 形式组合。,解：应用半逆解法求解。,第四章例题,（3）将 代入相容方程，得,（2） 应比应力的长度量纲高2次幂，可假设 。,删去因子 ，得一个关于 的常微分方程。令其解为 ，代入上式，可得到一个关于 的特征方程，,第四章例题,其解为 于是得 的四个解 ；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得 本题中结构对称于 的 轴，而 是反对称荷载，因此，应力应反对称于 轴，为 的奇

30、函数，从而得,第四章例题,（5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶 作用，应分别考察大边界上的条件和 原点附近的条件。 在 的边界上，有,第四章例题,（4）由 求得应力分量，,为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，取出以o为中心， 为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件，,前一式自然满足，而第二式成为,第四章例题,(a),上式中前两式自然满足，而第三式成为,再由式（a）得出,第四章例题,(b),代入应力公式，得最后的应力解答，,设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下的应力函数求解，,第四章例题,例题4（习题4-19）,（1）经校核，上述 满足相容方程。,解：,（2）代入应力

31、公式，得,第四章例题,（3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在内的、半径为 的脱离体，列出其3个平衡条件：,第四章例题,将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出,第四章例题,(a),（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。,第四章例题,由物理方程求出应变分量，,第四章例题,代入几何方程，得,由前两式积分，得,第四章例题,将 代入第三式，并分开变量，得,第四章例题,为了使上式在区域内任意的 都成立，两边都必须等于同一常数G。这

32、样，得到两个常微分方程，,由式（b）解出,第四章例题,(b),将式（c）对 求导一次，再求出,再将上式的 代入 ，得,显然，式（d）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须,第四章例题,(d),(e),将式（a）代入上式，得,将式（a）、（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答：,第四章例题,试由书中式（4-21）的解答，导出半平面体（平面应力问题）在边界上受一水平集中力F作用下的应力和位移的解答。,第四章例题,例题5,解： 由书中式（4-21），当 时，,用直角坐标系的应力分量表示，,第四章例题,第四章例题,以下来求位移解答。将应力代入物理方程得应变分量，,再代入几何方程

33、，分别积分求出位移分量：,第四章例题,两边对 积分，得,得,由几何方程第一式，,由几何方程第二式，,第四章例题,再将式（a）和（b）代入几何方程的第三式，,分开变量后，两边分别为 的函数，各应等于同一常数G，即,两边对 积分，得,第四章例题,于是得两个常微分方程。式（c）中的前一式为,对式（c）的后一式再求一次导数，,得,第四章例题,将 和 代入 的表达式；并由式（c）得,第四章例题,得解 为,代入后，得出位移的解答如下，,第四章例题,由反对称条件，当 时，,而另两个刚体位移分量H和K，因未有约束条件不能求出。,第四章例题,代入，得最后的位移解，,水平位移是,在半平面体的左半表面，铅直沉陷是,

34、取B点 为参考点，则M点 的相对水平位移 是,第四章例题,圆盘的直径为d，在一直径AB的两端点受到一对大小相同，方向相反的集中力F的作用，试求其应力。,第四章例题,例题6,解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出。 （a）假设GH以下为半平面体，在A点的F作用下，引用书中式（4-22）之解，,第四章例题,（b）假设IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类似地得出,（c）对于圆周上的点M，分别作用 且 ，并有,显然，在圆周上有,第四章例题,因此，圆盘在对径受压时，其应力解是 (a),(b),(c)三部分解答之和。,两者合成为圆周上的法向分布压力 为了消除圆周上的分布压力，应在圆周

35、上施加分布拉力 其对应的应力分量为,第四章例题,由于,最大压应力发生在圆盘的中心，,得到CD线上的应力分量,第四章例题,现在来计算水平直径CD线上的 值。对于N点，设 则有,读者试求出CD线和AB线上的水平正应力 值，并证明在中心线AB上， 为常量的拉应力。AB线上的常量拉应力，便是劈裂试验的参考解答。,第四章例题,图示的曲杆，其截面为狭矩形，内外半径分别为r和R，在两端受有力矩M的作用，试求其应力。,第四章例题,例题7,解：本题中每一个截面上，内力都是M，因而也属于轴对称问题，可以引用轴对称应力解：,在主要边界 上，边界条件是,由于 ，后两式自然满足，而其余两式为,在两端部，或者任一截面 上

36、，有边界条件,第四章例题,上式中第一式自然满足。对于后两式，注意有积分式,得到,第四章例题,注意式 (c)实际上是式(a)和(b) 的组合。由式 (a)、(b)、(d) 解出,第四章例题,其中,曲杆中的应力分量为,第四章例题,例题8 图示的三角形悬臂梁，在上边界 受到均布压力q的作用，试用下列应力的函数,求出其应力分量。,第四章例题,解：应力函数 应满足相容方程和边界条件，从中可解出常数,第四章例题,得出的应力解答是,第四章例题,在截面 mn 上，正应力和切应力为,第四章例题,例题9 图中所示的半平面体，在 的边界上受到均布压力q的作用，也可以应用下列用极坐标 表示的应力函数,进行求解，试求其应力分量。,第四章例题,解：将上述的应力函数代入相容方程，并校核边界条件，若两者均满足，就可以求出应力分量。,第四章例题,本题的应力分量用极坐标表示的解答为,第四章例题,图中所示的半平面体，在 的边界上受到均布切力q的作用，也可以应用下列用极坐标 表示的 应力函数,进行求解，试求其应力分量。,第四章例题,例题10,解：校核相容方程和边界条件，若上述应力函数均能满足，就可以求出应力分量。,第四章例题,本题的应力解答是,第四章例题,