河海大学弹性力学徐芝纶版-第八章.ppt

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1、第八章 空间问题的解答,第五节 等截面直杆的扭转,第四节 按应力求解空间问题,第三节 半空间体在边界上受法向集中力,第二节 半空间体受重力及均布压力,第一节 按位移求解空间问题,第六节 扭转问题的薄膜比拟,第七节 椭圆截面杆的扭转,第八节 矩形截面杆的扭转,例题,1. 取u,v,w为基本未知函数。,按位移求解,2. 将应变用位移来表示，可以引用几何方程。,在直角坐标系中，按位移求解空间问题，与平面问题相似，即,81 按位移求解空间问题,将应力先用应变表示（应用物理方程），再代入几何方程，也用位移来表示：,其中体积应变,按位移求解,3. 将式 (a)代入平衡微分方程，得在V内求解位移的基本方程：

2、,其中拉普拉斯算子,V内基本方程,4. 将式 代入应力边界条件，得用位 移表示的应力边界条件：,边界条件,位移边界条件仍为:,（2） 上的应力边界条件(c) ；,（3） 上的位移边界条件(d) 。,归结：按位移求解空间问题，位移 必须满足：,按位移求解,这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。,（1）V内的平衡微分方程(b) ；,优点,在空间问题中，按位移求解方法尤为重要：,3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的 应用。,2.未知函数及方程的数目少。而按应力求 解时，没有普遍性的应力函数存在。,1.能适用于各种边界条件。,按位移求解空间轴对称问题: 在柱坐标 中，可以相似地导出： 位移 应满足

3、：,轴对称问题,（1）V内的平衡微分方程，,轴对称的拉普拉斯算子为,其中体积应变,轴对称问题,（2） 上的应力边界条件。,（3） 上的位移边界条件。,1、试导出空间问题中上的应力边界条件 （8-4）。 2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的 平衡微分方程（书中式（8-4），并将 上的应力边界条件 用位移来 表示。,思考题,设有半空间体，受自重体力 及边界的均布压力q。,82 半空间体受重力 及均布压力,问题,采用按位移求解：,考虑对称性：本题的任何x面和y面均为对称面，可设,位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界条件。,求解方法,（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式 自然满足，第三式成为

4、常微分方程，,求解方程,积分两次, 得,相应的应力为,求解方程,（2）在z=0的负z面，应力边界条件为,边界条件,由式(d)求出A，得应力解为,位移解为,其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。,若z=h为刚性层，则由 可以确 定 B 。,若为半无限大空间体，则没有约束条 件可以确定 B ；,侧面压力与铅直压力之比，称为侧压力系数。即,侧压力系数,当 时， 侧向变形最大，侧向压力也最大 , 说明物体的刚度极小，接近于流体。 当 时，正应力不引起侧向变形。 说明物体的刚度极大，接近于刚体。,讨论：,思考题,1、如果图中的问题改为平面应力问题， 或平面应变问题，试考虑应如何按位 移求解？,本题为空

5、间轴对称问题。 应用柱坐标求解， 位移 而 和 应满足:,8-3半空间体在边界上受 法向集中力,问题,设有半空间体,在o点受有法向集中力F。,（1）平衡微分方程（书中（8-4）,求解条件,其中,（2）在 z=0 的边界上，除原点o以外的应力 边界条件为,（3）由于 z=0 边界上o点有集中力F的作用， 取出 z=0至 z=z的平板脱离体，应用圣 维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：,布西内斯克得出满足上述全部条件的解答为,由于轴对称，其余的5个平衡条件均为自然满足。,其中,应力特征：,（3）水平截面上的全应力，指向F作用点O。,（2）水平截面上的应力 与弹性常 数无关。,（1）当 当,边界面上任

6、一点的沉陷：,若单位力均匀分布在 的矩形面积上，其沉陷解为： 将F代之为 ，对 积分，便得到书上公式。,分布力,84按应力求解空间问题,按应力求解空间问题的方法：,按应力求解,形变可以通过物理方程用应力表示。位移要通过对几何方程的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。,2. 其他未知函数用应力表示:,1. 取x yz为基本未知函数。,因此 , 位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。所以按应力求解通常只解 全部为 应力边界条件 的问题,3. 在V内导出求应力的方程 :,从几何方程消去位移，导出6个相容方程：,（2）相容方程（6个）:,（1）平衡微分方程（3个）。,V内方程

7、,再代入物理方程，导出用应力表示的相容方程。(书中（8-12）。,4. 假设全部为应力边界条件，在 上，应满足书中式（7-5）。,应力边界条件,（1）V内的3个平衡微分方程；,其中：(1),(3) 是静力平衡条件； (2),(4)是位移连续条件。,按应力求解归纳为, 应力分量应满足：,按应力求解归纳,（4）对于多连体，还应满足位移单值条件。,（3） 上的3个应力边界条件（假设 全部为应力边界条件）；,（2）V内的6个相容方程；,（2）形变满足相容方程 , 对应的位移存 在且连续物体保持连续； 形变不满足相容方程, 对应的位移 不存在 , 物体不保持连续。,（1）物体满足连续性条件, 导出形变和

8、 位移之间的几何方程, 导出相容方 程。,对于相容方程说明如下：,相容方程说明,所以相容方程是位移的连续性条件。,（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可参见 有关书籍。,例如：,（4）相容方程必须为6个。相容方程和平衡微 分方程的数目大于未知函数的数目，是 由于微分方程提高阶数所需要的。,式 是由方程 提高阶数得出的，但式 增加的解 不是原式 的解。,几何 方程中，形变为 0 阶导数；但在相容方程中形变以 2 阶导数出现。因为微分方程提高阶数会增加解答，所以增加的方程数目正好用来消去增加的解答。,在按应力求解空间问题中，力学家提出了几种应力函数，用来表示应力并简化求解的方程。,应力函数,应用

9、这些应力函数，也已求出了一些空问题之解。但这些应力函数不具有普遍性（不是普遍存在的）。,思考题 1、试考虑：从空间问题的相容方程，可以导出平 面应变问题的相容方程，却不能直接导出平面 应力问题的相容方程，为什么？(见例题4讲解) 2、在表面均受到法向压力 q 作用的任意形状的 空间体，其应力分量是 试证明这些应力分量是该 问题之解 （对于多连体还应满足位移单值条 件）。,扭转问题也是空间问题的一个特例。,8-5等截面直杆的扭转,根据扭转问题的特性来简化空间问题，就建立了扭转问题的基本理论（1854-1856年，圣维南）。,扭转问题,（1）等截面柱体； （2）无体力作用， （3）柱体侧面无面力作

10、用， 柱体上,下端面的面力，合成一对力 矩 M。,扭转问题的提出:,引用按应力求解空间问题的方法应力应满足3个平衡微分方程，6个相容方程及 上的应力边界条件。,按应力求解,因此, 只有 ，代入3个平衡微分方程得,1. 由扭转问题特性, 因上下端面（ ）上无面力 可设 因侧面无任何面力， 可设,由式(a)前两式，得出 仅为（x,y）的函数；第三式成为,又由偏导数的相容性，存在一个应力函数,对比式(b)和(c)，两个切应力均可用一个扭转应力函数 表示为,由此得出扭转应力函数 应满足的方程：,2. 将式 代入6个相容方程，前三式和第六式自然满足，其余两式成为,代入式（d），得,C为待定常数。,相容方

11、程,而 (见86面) 得,3. 考察侧面边界条件 前两式自然满足，第三式成为,边界条件,因 在S上为常数。又由于 中的常数不影响应力，所以得 的侧面边界条件为,考察上端面（z=0）的边界条件。在小边界z=0上，应用圣维南原理，有,在z=0负面上， 只有 。其中 条件自然满足，而其余3个条件为,将式(d)代入，并应用条件(f)，经 过运算（见书P.168），式(h)的前两式 自然满足，而由后一式得出关于 的端 面边界条件为,(h),（1）A内方程 （2）侧面S上边界条件 （3）端面上边界条件,扭转问题归纳为求一个扭转应力函数 ， 应满足：,归纳,注解：,（3）扭转问题中 的变量为 x, y,仍属

12、 于二维问题。,（2）空间问题按应力求解的全部条件均已 考虑并满足。,（1）另一端面上的边界条件自然满足。,求位移分量： 根据上面的应力，代入物理方程，可以求出对应的形变；再代入几何方程，并进行积分，求出对应的位移为,其中 ，为单位杆件长度的扭角。,求位移,并且还得出,对比式 （e），得出常数 C 的物理意义，,思考题,试考虑：上面建立的分析方法是精确 的理论还是近似的理论，其中提出的 一些假设是否完全成立？,86扭转问题的薄膜比拟,对于物理现象不同，但数学描述相同的问题，可以应用数学比拟方法来求解。,薄膜问题 设有一薄膜，张在水平边界上，并受到气体的压力q。,薄膜斜率在 面分别为,薄膜斜率在

13、 面分别为,薄膜只能承受均匀拉力 ，不能承受弯矩，扭矩，剪力和压力。取出一个微小单元abcd, 各边上的作用力均为 ，但薄膜的斜率不同：,薄膜问题,平衡条件：,得出 薄膜垂度z的方程：,薄膜在x，y向斜率为,薄膜与边界平面（xy面）之间的2倍体积是,薄膜的 边界条件：,薄膜比拟,扭转问题 薄膜问题 未知函数 A内方程,从数学上看，薄膜问题和扭转问题的数学 方程相同，比较如下：,边界条件,边界条件 切应力/斜率,扭转问题 薄膜问题,于是求扭转应力函数 的问题，可以化为求 薄膜垂度z的问题：只要使M对应于2V，则,薄膜比拟的应用：,（3）通过薄膜比拟, 提出扭转应力函数的 假设。,（2）通过薄膜比

14、拟, 直接求解薄壁杆件的 扭转问题。,（1）通过薄膜比拟试验, 求解扭转问题。,扭转问题已归结为求扭转应力函数 ， 应满足： （1）A域中, （2）S上, （3）A域中,87 椭圆截面杆的扭转,求的条件,式 中的C为常数，其特解十分简单；而式 的通解为调和函数。C可以由式 求出。,椭圆截面杆受M的扭转，可以由式(a),(b),(c)求解。,1. 为了满足式(b) ，可取,在椭圆边界上,椭圆截面杆,2. 将式(d)代入(a) ，解出,3. 再将式(d)及(e)代入式 (c)，求出,从而得出,求出单位长度杆件的扭角：,z 向的位移为,可见横截面不保持为平面。只有当a=b 的圆截面时，w=0，才保持

15、为平面。,对于 的狭矩形截面，从薄膜比拟来看,在边界条件中，长边上应严格满足,88矩形截面杆的扭转,而短边(x=a/2)是 次要的，可忽略。,狭矩形截面杆,1. 狭矩形截面杆 的扭转,（2）在方程中，应主要考虑 y 向的导数， 而可忽略 x 向的导数，所以,由式 和 ，可得,可简化为,（3）将 代入 求出 所以狭矩形杆的解答为,矩形截面杆,2.一般矩形截面杆 的扭转 以狭矩形杆解答为基础，再迭加一个修正解的方法,进行求解：,应满足条件是,由上式可导出F应满足的条件:,从式（h）可解出F，再由式（g）得 ，然后求出应力等解答（用双曲函数和三角函数的级数表示）。书中列出了简化的结果，见式（8-34

16、）和（8-35）。,3. 薄壁杆件的扭转,（2）从薄膜比拟可见，当狭矩形的a,b相同 时，直线形和曲线形截面的薄膜是相 似的，它们的 相同。,（1）薄壁杆件截面都是狭矩形 可以直接引用式 的解答。,薄壁杆件,（3）对于若干个狭矩形组成的构件，,b.总扭矩是各个截面的扭矩之和，,由此解出,a.各个截面的扭角相同，,（4）闭口薄壁杆件的扭转 设闭口薄壁杆的厚度为 ，中心线长为s，中心线包围的面积为A.应用薄膜比拟，取外边界 上， 则内边界上的 不能再任意选择，应取 ，如图，相当于有一块无重钢板悬挂于边界上。由薄膜比拟：,扭矩,解出,切应力,y,x,oz,x,z,oy,q,h,s,(b)开口薄壁杆件

17、,(a)闭口薄壁杆件,由此得出切应力,其中 ，代入得,为了求扭角K, 可考虑内边界 上无重钢板的平衡条件：,由薄膜比拟， 代入上式，求出,当薄壁杆厚度 为常量时，,思考题,试比较：矩形中心线的边长为ab，厚度为的矩形的闭口薄壁杆件,和矩形开口薄壁件的切应力和扭角。,第八章例题,例题1,例题2,例题3,例题4,例题,解： 引用“弹性力学简明教程学习指导” 8-2中关于空间位移势函数 的解法。,应满足泊松方程,例题1 试证明位移势函数 能解任意弹性体受均布压力 q 的问题。,及边界条件。,取 满足泊松方程。由式（8-8）从 求出应力分量, 在边界面上，设法线的方向余弦为l,m,n, 则面力分量是

18、将应力代入3个边界条件，并求出,由此，得解答 对于多连体，还应从应力求出位移，并校核多连体中的位移单值条件是否满足。显然，位移单值条件是满足的。,设有无限大弹性体（空间体），在体内一小洞中受有集中力F 的作用，如图(a)， 试用拉甫位移函数 求解应力分量， 其中,例题2,及边界条件。 将代入方程，显然是满足的。再将代入应力公式（8-16），求出应力分量。,解：引用“弹性力学简明教程学习指导” 8- 3中关于拉甫位移函数 的 解法，应满足重调和方程,为了校核小洞中受集中力的边界条件，在点 o 附近切出 一薄板，图(b)，应用圣维南原理来考虑此薄板的平衡条件。由于应力分量都是轴对称的，且 对于z=

19、0的面又是反对称的，只须考虑下列平衡条件：,而,从而得出各应力分量为,代入后得,其中 而 均为调和函数， 满足,例题3 用代入法证明，下列的位移表达式是无体力时平衡微分方程的解答，,由于 都是调和函数，代入无体力的平衡方程均能满足。H.Neuber 等曾用这一形式的解答求出一批回转体的解。,解：当无体力时，平衡微分方程是,其中体积应变,例题4 平面应力解答的近似性试从空间问题按应力求解的方法，来导出和考察平面应变问题和平面应力问题的基本理论。,解： （1）对于平面应变问题，在常截面的很长柱体（可以假设为无限长），只有x,y方向的体力、面力和约束且沿z方向不变的条件下，由于任一横截面（z面）均为

20、对称面，可以推论出，,从式 可以得出， 在式 中， 表示等式左边的物理量仅为 x, y 的函数。,将式 代入空间问题的平衡微分方程、相容方程、应力和位移边界条件，可以得出平面应变问题的全部方程和条件，而其余的方程和条件均为自然满足。例如，将式 代入空间问题的相容方程（书中式（8-10）、（8-11）得出,而其余5式全部自然满足。,因此，从空间问题的基本理论，可以导出平面应变问题的理论。 （2）对于平面应力问题，在很薄的板中,只受 x, y 方向的体力、面力和约束， 且不沿板厚方向（z向）变化；又在板面上无任何面力的条件下，由板面的边界条件,及板很薄的条件，假设在弹性体内 因此，只有平面应力 和

21、 存在；并进一步假设 这就是平面应力问题。由上两式，还可得出,将式 代入空间问题的相容方程（书中式 ），除了得出式 外，还得出,在一般的情况下，由式 得出的 显然不能满足相容方程 。 由此可见，平面应力问题的假设 不能保证所有的相容条件都得到满足。因此，平面应力问题的理论是近似的。,但是Clebsch,A.证明，在条件 下从空间问题理论得出满足所有相容方程的精确解答，是一般平面应力问题（假设 的解答，再补充一个沿板厚抛物线变化的修正解（与 成正比）。对于充分薄的板，,因此，平面应力问题的解答，显然不能满足所有的相容条件，但对薄板却仍是一个很好的近似解。读者可参阅 8-4的详细证明。,修正解远小于第一部分平面应力问题的解，且只影响边界附近的局部区域。,