矩阵及其初等变换PPT讲稿.ppt

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1、矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换1第1页，共140页，编辑于2022年，星期一2.1 矩阵的概念矩阵的概念二、矩阵的定义与记号二、矩阵的定义与记号一、关于矩阵一、关于矩阵三、特殊矩阵三、特殊矩阵四、矩阵举例四、矩阵举例2第2页，共140页，编辑于2022年，星期一一、一、关于矩阵关于矩阵v1850年由西尔维斯特（年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概首先提出矩阵的概念念.v1858年卡莱（年卡莱（A.Cayley）建立了矩阵运算规则建立了矩阵运算规则.v矩阵的应用十分广泛：自然科学、工程技术、社会科矩阵的应用十分广泛：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域学等许多领域.如在观测、

2、导航、机器人的位移、化学如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析算机层析X射线照相术等方面，都有广泛的应用射线照相术等方面，都有广泛的应用.3第3页，共140页，编辑于2022年，星期一二、矩阵的定义与记号二、矩阵的定义与记号Def2.1 由由 个数个数 排成排成的的m行行n列的数表列的数表称为称为 行行 列矩阵列矩阵，简称，简称 矩阵矩阵.为表示这个数为表示这个数表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作示它，记作4第4页，共140

3、页，编辑于2022年，星期一这这 个数称为个数称为矩阵矩阵A的元素的元素，简称为，简称为元元，数，数 位于矩位于矩阵的第阵的第i行第行第j列，称为矩阵的列，称为矩阵的(i,j)元元.以数以数 为为(i,j)元的矩元的矩阵可简记作阵可简记作 或或 .矩阵矩阵A也记作也记作矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号(在在数表外加上双竖线数表外加上双竖线)是不同的，这是两个不同的概念是不同的，这是两个不同的概念.矩阵的行数和列数不一定相等矩阵的行数和列数不一定相等.元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵，元素是复数的矩阵称为，元素是复数的矩

4、阵称为复矩阵复矩阵.5第5页，共140页，编辑于2022年，星期一同型矩阵同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是是同型矩阵同型矩阵.矩阵相等矩阵相等：如果：如果 与与 是同型矩阵，并是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即且它们的对应元素相等，即那么就称那么就称矩阵矩阵A与矩阵与矩阵B相等相等，记作，记作6第6页，共140页，编辑于2022年，星期一三、特殊矩阵三、特殊矩阵行矩阵行矩阵(行向量行向量)：列矩阵列矩阵(列向量列向量)：只有一行的矩阵，记作只有一行的矩阵，记作 矩阵矩阵只有一列的矩阵，记作只有一列的矩阵，记作 矩阵矩阵方阵：方

5、阵：行数与列数都等于行数与列数都等于n的矩阵称的矩阵称为为n阶矩阵阶矩阵或或n阶方阵阶方阵.n阶矩阵阶矩阵A也记作也记作7第7页，共140页，编辑于2022年，星期一零矩阵：零矩阵：对角矩阵对角矩阵(对角阵对角阵)：单位矩阵单位矩阵(单位阵单位阵)：上三角矩阵：上三角矩阵：下三角矩阵：下三角矩阵：数量矩阵数量矩阵(纯量矩阵纯量矩阵)：元素都是零的矩阵，记作元素都是零的矩阵，记作0.不同型的零矩阵是不同的，不同型的零矩阵是不同的，例如例如不在对角线上的元素都是不在对角线上的元素都是0.这这种方阵称为种方阵称为对角矩阵对角矩阵，简称，简称对对角阵角阵，用，用 表示，即表示，即从左上角到右下角的直线

6、从左上角到右下角的直线(叫叫做做(主主)对角线对角线)上的元素都是上的元素都是1，其它元素都是，其它元素都是0，这种矩阵，这种矩阵称为称为单位矩阵单位矩阵，简称，简称单位阵单位阵，用用 E表示，即，表示，即，在在 n 阶方阵中，若主对角线左阶方阵中，若主对角线左下方所有元素全为零，这样的下方所有元素全为零，这样的方阵称为方阵称为上三角形矩阵上三角形矩阵，简称，简称为为上三角阵上三角阵.在在 n 阶方阵中，若主对角线左阶方阵中，若主对角线左上方所有元素全为零，这样的上方所有元素全为零，这样的方阵称为方阵称为下三角形矩阵下三角形矩阵，简称，简称为为下三角阵下三角阵.不在对角线上的元素都不在对角线上

7、的元素都 0，主，主对角线上的元素相同，这种矩对角线上的元素相同，这种矩阵称为阵称为数量矩阵数量矩阵，又称，又称纯量矩纯量矩阵，阵，用用kE表示，表示，即即8第8页，共140页，编辑于2022年，星期一四、矩阵举例四、矩阵举例例例1.1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵其中其中 为工厂向第为工厂向第i店发送第店发送第j种产品的数量种产品的数量.这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵其中其中 为第为第 种产品的单价，种产品的单价，为第为第 种产品单件重量种产品单件重量.从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信

8、息从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息.9第9页，共140页，编辑于2022年，星期一例例1.2 四个城市间的单向航线如下图所示，若令四个城市间的单向航线如下图所示，若令 1234则这个图可以用矩阵表示为则这个图可以用矩阵表示为用矩阵表示这个图后，就可以用计算机对这个图进行分析和计算用矩阵表示这个图后，就可以用计算机对这个图进行分析和计算.10第10页，共140页，编辑于2022年，星期一例例1.3 n个变量个变量 与与m个变量之间的个变量之间的关系式关系式 称为从变量称为从变量 到变量到变量 的的线性变换线性变换.线性变换线性变换(1)的系数的系数 构成矩阵构成矩阵 称为称为线性线性变换

9、的系数矩阵变换的系数矩阵，线性变换与矩阵是一一对应的，线性变换与矩阵是一一对应的.11第11页，共140页，编辑于2022年，星期一2.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算一、矩阵的加法一、矩阵的加法二、数与矩阵的乘法二、数与矩阵的乘法三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法四、矩阵的转置四、矩阵的转置五、方阵的行列式五、方阵的行列式六、矩阵的共轭六、矩阵的共轭12第12页，共140页，编辑于2022年，星期一一、矩阵的加法一、矩阵的加法Def2.2 两个同为两个同为 的矩阵相加后得一的矩阵相加后得一 矩阵，其矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和元素为两矩阵对应元素的和.即即只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才

10、能进行加法只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法.13第13页，共140页，编辑于2022年，星期一14第14页，共140页，编辑于2022年，星期一矩阵的加法运算规则矩阵的加法运算规则交换律：交换律：结合律：结合律：设矩阵设矩阵 记记称为矩阵称为矩阵 的的负矩阵负矩阵.15第15页，共140页，编辑于2022年，星期一二、数与矩阵的乘法（矩阵的数乘）二、数与矩阵的乘法（矩阵的数乘）Def2.3 阶矩阵阶矩阵A与一个数与一个数k相乘后得一相乘后得一 矩阵，矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数其元素为原矩阵对应元素乘以这个数.记作记作矩阵矩阵A的负矩阵的负矩阵；纯量矩阵纯量矩阵.16

11、第16页，共140页，编辑于2022年，星期一17第17页，共140页，编辑于2022年，星期一数与矩阵的乘法运算规则数与矩阵的乘法运算规则 矩阵的加法、数与矩阵的乘法合起来，统称为矩阵的矩阵的加法、数与矩阵的乘法合起来，统称为矩阵的线性线性运算运算.18第18页，共140页，编辑于2022年，星期一三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法某家电公司向三个商店发送四种产品的数量如下表：某家电公司向三个商店发送四种产品的数量如下表：空调空调冰箱冰箱29彩电彩电25彩电彩电甲商店甲商店30205020乙商店乙商店07100丙商店丙商店5040505019第19页，共140页，编辑于2022年，星期一 这四种产

12、品的售价这四种产品的售价(单位：百元单位：百元)及重量及重量(单位：千克单位：千克)如下如下:售价售价重量重量空调空调3040冰箱冰箱163029彩电彩电223025彩电彩电1820问：该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量分别是问：该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量分别是多少？多少？20第20页，共140页，编辑于2022年，星期一甲商店甲商店乙商店乙商店丙商店丙商店售价售价 重量重量21第21页，共140页，编辑于2022年，星期一Def 2.4 设设 ，若定义一个新的若定义一个新的 矩阵矩阵 其中其中则称矩阵则称矩阵C为矩阵为矩阵A与矩阵与矩阵B之积，记作之积，记作只有当左矩阵的

13、列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才有意义有意义.乘积矩阵的第乘积矩阵的第i行第行第j列元素等于左矩阵的第列元素等于左矩阵的第i行元素与右矩行元素与右矩阵的第阵的第j列对应元素乘积之和列对应元素乘积之和.两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数.22第22页，共140页，编辑于2022年，星期一特别注意特别注意-乘积不可交换乘积不可交换AB乘积一般不可以交换，乘积一般不可以交换，(1)AB为为 矩阵

14、，但矩阵，但BA无意义；无意义；若若 则称矩阵则称矩阵 乘积乘积可交换可交换.(2)AB和和BA均有意义，但均有意义，但AB为为2阶矩阵，阶矩阵，BA为为3阶矩阵阶矩阵.(3)由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.23第23页，共140页，编辑于2022年，星期一解解:例例2.1 求矩阵求矩阵(教材教材P36 例例2)的乘积的乘积AB.与与A是是 矩阵，矩阵，B是是 矩阵，矩阵，A的列数等于的列数等于B的行数，的行数，所以矩阵所以矩阵A与与B可以相乘可以相乘.乘积矩阵是乘积矩阵是 矩阵矩阵.24第24页，共140页，编辑于2022年，星期一解

15、解:与与的乘积的乘积AB及及BA.例例2.2 求矩阵求矩阵(教材教材P37 例例3)此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩阵的此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即乘法不满足消去律，即1）若若不能推出不能推出2）若若不能推出不能推出25第25页，共140页，编辑于2022年，星期一例例2.3 计算矩阵计算矩阵的乘积的乘积AB.解解：上三角矩阵与上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵，下三上三角矩阵与上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵，下三角矩阵与下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵角矩阵与下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵.26第26页，共140页，编辑于2022年，星期

16、一矩阵的乘法矩阵的乘法-运算规则运算规则 或简写成或简写成 纯量矩阵与方阵的乘积纯量矩阵与方阵的乘积 第五条规则表明，纯量矩阵与方阵都是可交换的第五条规则表明，纯量矩阵与方阵都是可交换的27第27页，共140页，编辑于2022年，星期一方阵的幂方阵的幂定义定义设设A是是n阶方阵，定义阶方阵，定义此定义表明，此定义表明，就是就是k个个A连乘，并且显然，只有方阵，连乘，并且显然，只有方阵，它的幂才有意义它的幂才有意义.运算规则运算规则 特别注意特别注意 一般来说，一般来说，与与 不相等不相等.28第28页，共140页，编辑于2022年，星期一称为称为方阵方阵 的的 次多项式次多项式.设设 为数为数

17、 的的 次多项式，次多项式，记记同一个方阵的两个矩阵多项式是可交换的同一个方阵的两个矩阵多项式是可交换的:设设是是A的两个多项式，则的两个多项式，则由此可知，方阵的多项式可以像数的多项式一样分解因式由此可知，方阵的多项式可以像数的多项式一样分解因式.如如方阵的多项式方阵的多项式29第29页，共140页，编辑于2022年，星期一当当A与与B可交换时，有与数类似的乘法公式可交换时，有与数类似的乘法公式.30第30页，共140页，编辑于2022年，星期一例例2.4 计算矩阵乘积计算矩阵乘积31第31页，共140页，编辑于2022年，星期一例例2.5 求与矩阵求与矩阵A可交换的所有矩阵可交换的所有矩阵

18、.(教材教材P44,Ex.4)解：设与设与A可交换的矩阵为可交换的矩阵为32第32页，共140页，编辑于2022年，星期一例例2.6 求矩阵求矩阵A的幂的幂 .(教材教材P42,例例9)解：33第33页，共140页，编辑于2022年，星期一例例2.7 求矩阵求矩阵AB的幂的幂 .(教材教材P42,例例10)解：34第34页，共140页，编辑于2022年，星期一例例2.8 求矩阵求矩阵A的幂的幂 .(教材教材P44,Ex.5-(3)解：解：35第35页，共140页，编辑于2022年，星期一2.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算(续续)一、矩阵的加法一、矩阵的加法二、数与矩阵的乘法二、数与矩阵的乘法

19、三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法四、矩阵的转置四、矩阵的转置五、方阵的行列式五、方阵的行列式六、矩阵的共轭六、矩阵的共轭36第36页，共140页，编辑于2022年，星期一Def2.5 把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做叫做A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .即即若若则则其中其中则它的转置矩阵为则它的转置矩阵为设矩阵设矩阵 四、矩阵的转置四、矩阵的转置37第37页，共140页，编辑于2022年，星期一对称矩阵和反对称矩阵对称矩阵和反对称矩阵设设 为为n阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那么那么A称为称为对称矩阵对称矩阵，简称对称阵，简称对

20、称阵.对称阵的特点是对称阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴，对应相等它的元素以对角线为对称轴，对应相等.38第38页，共140页，编辑于2022年，星期一设设 为为n阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那么那么A称为称为反对称矩阵反对称矩阵，简称反对称阵，简称反对称阵.反对称阵的特点是反对称阵的特点是:它的主对角线上的元素全为零，其它的元素以对它的主对角线上的元素全为零，其它的元素以对角线为对称轴，对应互为相反数角线为对称轴，对应互为相反数.39第39页，共140页，编辑于2022年，星期一 矩阵的转置矩阵的转置-运算规则运算规则40第40页，共140页，编辑于2022年，星期一例例2

21、.9 已知已知求求解法解法1解法解法2 此例验证了矩阵的转此例验证了矩阵的转置运算规则置运算规则441第41页，共140页，编辑于2022年，星期一注注意意 和和 的的区区别别证证:所以所以H是对称阵是对称阵.例例2.10 设列矩阵设列矩阵 满足满足 ，E为为E为为n阶单位矩阵，阶单位矩阵，证明证明H是对称阵，且是对称阵，且要证明一个方阵是不是对称阵，就是验证它是否满足对要证明一个方阵是不是对称阵，就是验证它是否满足对称阵的条件称阵的条件 42第42页，共140页，编辑于2022年，星期一例例2.11 设设A与与B是同阶对称矩阵，证明是同阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的是对称矩阵的充分必要条件

22、是充分必要条件是A与与B是可交换矩阵是可交换矩阵.(教材教材P43,例例11)证：证：因为因为 ，所以有，所以有当当AB是对称矩阵即是对称矩阵即 时，有时，有AB=BA，所以此所以此时时A与与B是可交换矩阵；是可交换矩阵；当当A与与B是可交换矩阵即是可交换矩阵即AB=BA时，有时，有 所所 以此时以此时AB是对称矩阵是对称矩阵故，故，AB是对称矩阵的充分必要条件是是对称矩阵的充分必要条件是A与与B是可交换矩阵是可交换矩阵.43第43页，共140页，编辑于2022年，星期一五、方阵的行列式五、方阵的行列式Def01 由由n阶方阵阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位的元素所构成的行列式（各元素

23、的位置不变），称为置不变），称为方阵方阵A的行列式的行列式，记作，记作 或或特别注意特别注意方阵与行列式是两个不同的概念，方阵是一个方阵与行列式是两个不同的概念，方阵是一个数表数表，而，而行列式则是一个行列式则是一个数数.方阵与它的行列式又是紧密相关的，方阵的行列式是方阵按照方阵与它的行列式又是紧密相关的，方阵的行列式是方阵按照一定方式确定的一个数，所以方阵的行列式可看作方阵的函数；一定方式确定的一个数，所以方阵的行列式可看作方阵的函数；同时，方阵的行列式是方阵特性的重要标志同时，方阵的行列式是方阵特性的重要标志.44第44页，共140页，编辑于2022年，星期一由由A确定确定 -运算规则运算

24、规则注意注意但但但但45第45页，共140页，编辑于2022年，星期一设设记记 2n阶行列式阶行列式 一方面，根据公式有一方面，根据公式有另一方面，另一方面，46第46页，共140页，编辑于2022年，星期一47第47页，共140页，编辑于2022年，星期一48第48页，共140页，编辑于2022年，星期一49第49页，共140页，编辑于2022年，星期一Def02 当当 为复矩阵时，为复矩阵时，用用 表示表示 的共轭复的共轭复数，记数，记 称为称为 的的共轭矩阵共轭矩阵.由由A确定确定 -运算规则运算规则六、矩阵的共轭六、矩阵的共轭50第50页，共140页，编辑于2022年，星期一2.3 逆

25、矩阵逆矩阵一、逆矩阵的定义一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵的存在条件二、逆矩阵的存在条件四、逆矩阵的运算性质四、逆矩阵的运算性质三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法五、逆矩阵的应用举例五、逆矩阵的应用举例51第51页，共140页，编辑于2022年，星期一一、逆矩阵的定义一、逆矩阵的定义 Def2.6 对于对于n阶矩阵阶矩阵A，如果有一个如果有一个n阶矩阵阶矩阵B，使使则称矩阵则称矩阵A是是可逆矩阵可逆矩阵或者或者非奇异矩阵非奇异矩阵，并把矩阵并把矩阵B称为称为A的的逆矩阵逆矩阵，简称逆阵，简称逆阵.若不存在满足上式的矩阵若不存在满足上式的矩阵B，则则称称A是是不可逆矩阵不可逆矩阵或者或者奇异矩阵奇异矩

26、阵.此定义表明只有方阵才可能有逆阵此定义表明只有方阵才可能有逆阵.求逆矩阵运算可以看作矩阵乘法的逆运算求逆矩阵运算可以看作矩阵乘法的逆运算.但是能进行的但是能进行的条件十分苛刻的条件十分苛刻的.52第52页，共140页，编辑于2022年，星期一二、逆矩阵的存在条件二、逆矩阵的存在条件Thm2.1 如果矩阵如果矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵是唯一的是可逆的，那么它的逆矩阵是唯一的.因此，我们把矩阵因此，我们把矩阵A的逆矩阵记作的逆矩阵记作 .证证:假设矩阵假设矩阵A可逆，可逆，B、C都是它的逆矩阵都是它的逆矩阵,则则因此，因此，所以所以A的逆阵是唯一的的逆阵是唯一的.53第53页，共140页，编

27、辑于2022年，星期一为了讨论矩阵可逆的充分必要条件，先定义一个新矩阵为了讨论矩阵可逆的充分必要条件，先定义一个新矩阵54第54页，共140页，编辑于2022年，星期一Def2.7 设设 是是n 阶矩阵阶矩阵 的行列式的行列式 中元素中元素 的的代数余子式，则称矩阵代数余子式，则称矩阵为矩阵为矩阵A的的伴随矩阵伴随矩阵，记作，记作55第55页，共140页，编辑于2022年，星期一这是定理这是定理的充分条的充分条件，必要件，必要性是显然性是显然的的证证:根据伴随阵的性质，有根据伴随阵的性质，有当当 时，有时，有根据矩阵可逆的定义知，矩阵根据矩阵可逆的定义知，矩阵A可逆，且可逆，且Thm2.2 n

28、阶矩阵阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是为可逆矩阵的充分必要条件是 .且如果且如果A为可逆矩阵，则有为可逆矩阵，则有56第56页，共140页，编辑于2022年，星期一定理定理2给出了计算逆矩阵的一个方法：给出了计算逆矩阵的一个方法：1）计算）计算2）计算）计算3）写出）写出根据定理根据定理2，可以将定义中的条件，可以将定义中的条件AB=BA=E 改进一点改进一点.57第57页，共140页，编辑于2022年，星期一推论推论 设设A，B为为n 阶矩阵，若阶矩阵，若AB=E 或者或者BA=E，则矩阵则矩阵A，B都可逆，且都可逆，且此推论表明，要判断矩阵此推论表明，要判断矩阵B是否是是否是A的逆矩阵，

29、不必严格的逆矩阵，不必严格按照定义检验按照定义检验AB=BA=E，而只要检验而只要检验AB=E或或BA=E.58第58页，共140页，编辑于2022年，星期一例例3.1 设设n 阶方阵阶方阵A，B 满足满足A+B=AB，证明证明A E可逆可逆,并并给出给出 的表达式的表达式.(教材教材P51,Ex.8)解：解：依据推论，只需寻找到适当矩阵与依据推论，只需寻找到适当矩阵与A-B相乘的结果为相乘的结果为E.所以所以A E 可逆，且可逆，且59第59页，共140页，编辑于2022年，星期一三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法方法一：方法一：直接依据定义，将矩阵直接依据定义，将矩阵A的逆阵的每个元素作为的

30、逆阵的每个元素作为未知数，列出线性方程组，参看教材未知数，列出线性方程组，参看教材P45,例例1.方法二：方法二：依据定理依据定理2，根据公式，根据公式方法三：方法三：依据初等矩阵的性质，运用初等变换求逆依据初等矩阵的性质，运用初等变换求逆.(第五第五节将介绍节将介绍)60第60页，共140页，编辑于2022年，星期一例例3.2 求二阶矩阵求二阶矩阵 的逆矩阵的逆矩阵.解：解：所以，当所以，当 时，有时，有注意比较矩阵注意比较矩阵A与与 ，此例的结果应作为公式记住，此例的结果应作为公式记住.61第61页，共140页，编辑于2022年，星期一例例3.3 求方阵求方阵A的逆阵的逆阵.解：解：所以所

31、以 存在，再计算存在，再计算 的余子式，的余子式，62第62页，共140页，编辑于2022年，星期一四、逆矩阵的运算性质四、逆矩阵的运算性质若若A可逆，则可逆，则 亦可逆，且亦可逆，且若若A可逆，数可逆，数 ，则，则 亦可逆，且亦可逆，且若若A、B为同阶矩阵且均可逆，则为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，亦可逆，且且若若A可逆，则可逆，则 亦可逆，且亦可逆，且逆矩阵的行列式逆矩阵的行列式方阵的负幂次方：若方阵的负幂次方：若A可逆，规定可逆，规定63第63页，共140页，编辑于2022年，星期一五、逆矩阵的应用举例五、逆矩阵的应用举例-求解矩阵方程求解矩阵方程设设A、B 为可逆矩阵，为可逆矩阵，左

32、乘两边左乘两边右乘两边右乘两边左乘两边左乘两边右乘两边右乘两边64第64页，共140页，编辑于2022年，星期一例例3.4 设矩阵设矩阵X满足满足其中矩阵其中矩阵解：解：由由 得得由于由于 得得 故故 可逆，且可逆，且65第65页，共140页，编辑于2022年，星期一于是，于是，用用 左乘、右乘左乘、右乘 的两的两边，得边，得66第66页，共140页，编辑于2022年，星期一例例3.5 设矩阵设矩阵求矩阵求矩阵X，使之满足使之满足AXB=C.(教材教材P49,例例5)解：解：由由 知知A，B都是可逆矩阵，且都是可逆矩阵，且用用 左乘，以左乘，以 右乘右乘AXB=C，得得67第67页，共140页

33、，编辑于2022年，星期一例例3.6 已知可逆矩阵已知可逆矩阵求其伴随矩阵求其伴随矩阵 的逆矩阵的逆矩阵.(教材教材P50,例例6)解：解：若按照常规方法，若按照常规方法，计算量较大计算量较大68第68页，共140页，编辑于2022年，星期一例例3.7 设设n阶方阵阶方阵A的伴随矩阵为的伴随矩阵为 ，证明，证明(教材教材P48,例例4)证证：(1)当当 时时,(2)当当 时时,下面用反证法，证明下面用反证法，证明若若 ，则，则 可逆，可逆，又因为又因为所以所以从而得从而得这这 与矛盾！故与矛盾！故当当 时时,69第69页，共140页，编辑于2022年，星期一2.4 分块矩阵分块矩阵在处理较高阶

34、数的矩阵时，对于求逆矩阵或者其他需要，在处理较高阶数的矩阵时，对于求逆矩阵或者其他需要，常把一个大矩阵看成是由若干个小矩阵组合而成，这些常把一个大矩阵看成是由若干个小矩阵组合而成，这些小矩阵可称为大矩阵的子块或者子阵小矩阵可称为大矩阵的子块或者子阵.用子阵来表示矩用子阵来表示矩阵的方法称为矩阵的分块表示，这样不仅使原矩阵显得阵的方法称为矩阵的分块表示，这样不仅使原矩阵显得结构简单又清晰，而且可以简化运算过程结构简单又清晰，而且可以简化运算过程.一、分块矩阵一、分块矩阵二、分块矩阵的运算二、分块矩阵的运算三、常用的分块法三、常用的分块法70第70页，共140页，编辑于2022年，星期一一、分块矩

35、阵一、分块矩阵Def2.8 一个一个 矩阵矩阵A被纵线和横线按一定需要分成若被纵线和横线按一定需要分成若干个低阶矩阵，每一个低阶矩阵称为矩阵干个低阶矩阵，每一个低阶矩阵称为矩阵A的的子块子块，以所，以所生成的子块为元素的矩阵称为矩阵生成的子块为元素的矩阵称为矩阵A的的分块矩阵分块矩阵.以这些子块为元素，于是，得到以这些子块为元素，于是，得到A的按照这种分法的分块矩阵：的按照这种分法的分块矩阵：得到得到4个子块：个子块：一个矩阵可以按照不同的方法进行分块，不同的场合采一个矩阵可以按照不同的方法进行分块，不同的场合采用不同的分块方法用不同的分块方法;一个以数为元素的矩阵也可以看作其本身的分块矩阵一

36、个以数为元素的矩阵也可以看作其本身的分块矩阵.矩阵分块后，能够使得运算变得简洁矩阵分块后，能够使得运算变得简洁.71第71页，共140页，编辑于2022年，星期一二、分块矩阵的运算二、分块矩阵的运算1.分块矩阵的加法分块矩阵的加法设矩阵设矩阵A与与B为同型矩阵，采用相同的分法，有为同型矩阵，采用相同的分法，有那么那么分块矩阵的加法，采用相同分法，对应子块相加分块矩阵的加法，采用相同分法，对应子块相加.72第72页，共140页，编辑于2022年，星期一2.分块矩阵的数乘分块矩阵的数乘设设 为数，对矩阵为数，对矩阵A分块后，得分块矩阵为分块后，得分块矩阵为那么那么分块矩阵的数乘，数乘每一个子块分块

37、矩阵的数乘，数乘每一个子块.73第73页，共140页，编辑于2022年，星期一3.分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法设设A为为 矩阵，矩阵，B为为 矩阵，矩阵，对对A的列的分法与对的列的分法与对B的行的分法相同，分块成的行的分法相同，分块成则则的列数分别等于的列数分别等于 的行的行数，那么数，那么74第74页，共140页，编辑于2022年，星期一其中其中分块矩阵的乘法，对左矩阵的列的分法与对右矩阵的行的分块矩阵的乘法，对左矩阵的列的分法与对右矩阵的行的分法相同，再按普通矩阵的乘法分法相同，再按普通矩阵的乘法.75第75页，共140页，编辑于2022年，星期一例例4.1 设设 求求AB.解解:把把A、

38、B分块成分块成 76第76页，共140页，编辑于2022年，星期一则则因此因此 在计算两个分块乘积时，可以把子块看作在计算两个分块乘积时，可以把子块看作“数数”；此例把；此例把4阶矩阵的乘积化为了阶矩阵的乘积化为了2阶矩阵的乘积，简化了计算阶矩阵的乘积，简化了计算.77第77页，共140页，编辑于2022年，星期一例例4.2 设设A为为n阶矩阵，阶矩阵，矩阵矩阵 ，(1)求证求证 为矩阵为矩阵 A 的第的第j列；列；(2)若若 ，求证，求证 .(教材教材P55,例例2)证证:(1)将将A按列分块，设按列分块，设 为为A的第的第j列，则列，则(2)将将A按列分块，则按列分块，则 ,于是于是如此类

39、推，可得如此类推，可得78第78页，共140页，编辑于2022年，星期一4.分块矩阵的转置分块矩阵的转置设对矩阵设对矩阵A分块后，得分块矩阵为分块后，得分块矩阵为那么那么分块矩阵的转置，把行写成同序号的列，并且每个子块转分块矩阵的转置，把行写成同序号的列，并且每个子块转置置.79第79页，共140页，编辑于2022年，星期一5.分块矩阵的行列式分块矩阵的行列式(只能考虑特殊矩阵只能考虑特殊矩阵)(1)设设A为为n阶矩阵，可分块成为阶矩阵，可分块成为 都是方阵，都是方阵，这样的分块矩阵称为这样的分块矩阵称为分块对角阵分块对角阵.则有则有80第80页，共140页，编辑于2022年，星期一(2)设设

40、A为为n阶矩阵，可分块成为阶矩阵，可分块成为 都是方阵，都是方阵，这样的分块矩阵称为这样的分块矩阵称为分块上三角阵分块上三角阵.则有则有81第81页，共140页，编辑于2022年，星期一(3)设设A为为n阶矩阵，可分块成为阶矩阵，可分块成为 都是方阵，都是方阵，这样的分块矩阵称为这样的分块矩阵称为分块下三角阵分块下三角阵.则有则有82第82页，共140页，编辑于2022年，星期一特别注意用分块法求方阵的行列式只能针对特殊矩阵：特别注意用分块法求方阵的行列式只能针对特殊矩阵：设设则则83第83页，共140页，编辑于2022年，星期一6.分块矩阵的逆阵分块矩阵的逆阵(也只能考虑特殊矩阵也只能考虑特

41、殊矩阵)(1)设设A为为n阶矩阵，可分块成为阶矩阵，可分块成为 都是方阵，都是方阵，若若 ，则有，则有84第84页，共140页，编辑于2022年，星期一(2)设设A为为n阶矩阵，可分块成为阶矩阵，可分块成为 都是方阵，都是方阵，若若 则有则有(3)设设A为为n阶矩阵，可分块成为阶矩阵，可分块成为 都是方阵，都是方阵，若若 则有则有85第85页，共140页，编辑于2022年，星期一(4)设设A为为n阶矩阵，可分块成为阶矩阵，可分块成为 都是方阵，都是方阵，若若 ，则有，则有注意注意 中中 的排列顺序的排列顺序.分块副对角阵分块副对角阵86第86页，共140页，编辑于2022年，星期一例例4.3

42、设设求求解解:87第87页，共140页，编辑于2022年，星期一例例4.4 设设求求解解:因此因此88第88页，共140页，编辑于2022年，星期一例例4.5 求矩阵求矩阵A的逆矩阵，其中的逆矩阵，其中(教材教材P58,例例5)89第89页，共140页，编辑于2022年，星期一三、常用的分块法三、常用的分块法1.按列分块按列分块称为称为A的列向量组的列向量组.2.按行分块按行分块称为称为A的行向量组的行向量组.90第90页，共140页，编辑于2022年，星期一3.“最粗最粗”的分块的分块一个矩阵本身看作一个子块，从形式上看就是一个矩阵本身看作一个子块，从形式上看就是 矩阵矩阵.4.“最细最细”

43、的分块的分块将矩阵中的每个元素看作一个子块将矩阵中的每个元素看作一个子块.91第91页，共140页，编辑于2022年，星期一矩阵矩阵A与对角阵的乘积：与对角阵的乘积：对角阵右对角阵右(左左)乘乘A的结果是的结果是A的每一列的每一列(行行)乘以对角阵中与该列乘以对角阵中与该列(行行)对应的对角元对应的对角元.92第92页，共140页，编辑于2022年，星期一证证:把把A按列分块为按列分块为 ，则则因为因为 所以所以例例4.6 设设 为实矩阵，为实矩阵，证明证明A=0.特别地，有特别地，有而而93第93页，共140页，编辑于2022年，星期一由由 和和 为实数，得为实数，得因此因此94第94页，共

44、140页，编辑于2022年，星期一2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的一元运算，它矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的一元运算，它源于线性方程组消元过程中的同解变换源于线性方程组消元过程中的同解变换.很多问题很多问题的解的解决都需要运用这种运算，所以才说这是一种重要的运算决都需要运用这种运算，所以才说这是一种重要的运算.一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换二、初等矩阵二、初等矩阵1.1 矩阵的初等变换的定义和记号矩阵的初等变换的定义和记号1.3 矩阵的等价关系矩阵的等价关系1.2 初等变换的逆变换初等变换的逆变换1.4 阶梯形矩阵阶梯形矩

45、阵-矩阵初等变换的目标矩阵初等变换的目标2.1 初等矩阵的定义初等矩阵的定义2.2 初等矩阵的类型与记号初等矩阵的类型与记号 2.3 初等矩阵的性质初等矩阵的性质2.4 初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵2.5 初等变换求解矩阵方程初等变换求解矩阵方程95第95页，共140页，编辑于2022年，星期一一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换1.1 矩阵的初等变换的定义和记号矩阵的初等变换的定义和记号12342131234-2-2 96第96页，共140页，编辑于2022年，星期一(1)交换交换A的第的第i行与第行与第j行的位置，记为行的位置，记为把上述的定义中的把上述的定义中的“行行”换成换成“列列

46、”，即得到矩阵的，即得到矩阵的 初等列初等列变换的定义变换的定义.记号分别为记号分别为矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.(2)以数以数 乘以乘以A的某一行各元素的某一行各元素,记为记为(3)将将A的第的第i行各元素的行各元素的 k倍加到第倍加到第j 行对应的元素上，行对应的元素上，记为记为Def2.10 设设A是是 矩阵矩阵下面三种变换称为矩阵的初等下面三种变换称为矩阵的初等行变换行变换，记号记号 与与 是有区别的是有区别的.97第97页，共140页，编辑于2022年，星期一变换变换 的逆变换为的逆变换为变换变换 的逆变换为的逆变换为变换变换

47、 的逆变换为的逆变换为 (或记为或记为 ).1.2 初等变换的逆变换初等变换的逆变换98第98页，共140页，编辑于2022年，星期一1.3 矩阵的等价关系矩阵的等价关系如果矩阵如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵经有限次初等列变换变成矩阵B，那么称那么称矩阵矩阵A与与B列等价列等价，记作，记作A B.性质性质:(1)反身性反身性 A A;Def2.11 如果矩阵如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵经有限次初等变换变成矩阵B，那么那么称称矩阵矩阵A与与B等价等价，记作，记作A B.(2)对称性对称性 如果如果A B，那么那么B A;(3)传递性传递性 若若A B，B C，则则A C.如果矩阵如果

48、矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵经有限次初等行变换变成矩阵B，那么称那么称矩阵矩阵A与与B行等价行等价，记作，记作A B；99第99页，共140页，编辑于2022年，星期一Thm2.3 任意非零矩阵任意非零矩阵 都与形如都与形如 的矩的矩阵等价阵等价.矩阵矩阵 称为矩阵称为矩阵A的标准形的标准形.100第100页，共140页，编辑于2022年，星期一1.4 阶梯形矩阵阶梯形矩阵-矩阵初等变换的目标矩阵初等变换的目标行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵其特点是：可画出一条阶梯其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为线，线的下方全为0;每个台每个台阶只有一行，台阶数即是非阶只有一行，台阶数即是非非零行的行数；

49、阶梯线的竖非零行的行数；阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零线后面的第一个元素为非零元，称为元，称为首非零元首非零元.行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵:自上而下，每个非零行的首非零元前面的零的个数自上而下，每个非零行的首非零元前面的零的个数依次增加；依次增加；零行零行在最下方在最下方.101第101页，共140页，编辑于2022年，星期一行最简形矩阵行最简形矩阵其特点是其特点是:是阶梯形矩阵；非是阶梯形矩阵；非零行的第一个非零元（首非零行的第一个非零元（首非零元）为；首非零元所在零元）为；首非零元所在的列的其它元素都为的列的其它元素都为对于任何矩阵对于任何矩阵A，总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯总

50、可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵形矩阵和行最简形矩阵行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的(只用初等行变换只用初等行变换).102第102页，共140页，编辑于2022年，星期一例例5.1 下列四个矩阵中，哪些是行最简形？下列四个矩阵中，哪些是行最简形？解解:矩阵矩阵 和和 是行最简形矩阵是行最简形矩阵.103第103页，共140页，编辑于2022年，星期一例例5.2 设设 ，把，把 化成行最简形化成行最简形.解解:将将 元元化为化为1104第104页，共140页，编辑于