2021七年级数学下册 3.3 探索三角形全等的条件深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+误区警醒+知能提升训练+探究创新+迷你数学世界pdf） （新版）北师大版.pdf

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1、 探索三角形全等的条件学 习 目 标 导 航能说出三角形全等的条件能用三角形的稳定性解释自然现象会用三角形全等的判定方法判定三角形全等教 材 知 识 详 析要点三角形全等的条件(重点)三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“S S S”)两角和它们 的夹 边对 应 相等 的两 个三 角 形全 等(可 以简 写成“角边 角”或“A S A”)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AA S”)两边和它们 的夹 角对 应 相等 的两 个三 角 形全 等(可 以简 写成“边角 边”或“S A S”)例分析下列结论:()有两角和一边对应相等的两个三角形全等;

2、()有两边和一角对应相等的两个三角形全等;()判定两个三角形全等,至少需要一对对应边相等;()三个角对应相等的两个三角形全等;()三条边对应相等的两个三角形全等其中,正确的个数是()A B C D 精析:本题考查的是三角形全等的条件,首先对书本出现的三角形全等的判定定理要熟悉,再对不是定理的进行识别,特别是典型的情况应能熟练地作出反例图,以加深理解解答:C三角形全等一般均要三个元素相等,而且其中一个元素至少是边要点三角形的稳定性只要三角形的三边长度确定,那么它的大小和形状是固定不变的四边形不具有稳定性例如图,木工师傅在钉好门框后,又斜钉两根木条来加固门框,他这样做的道理是图 精析:根据三角形的

3、性质“三角形的三边确定,它的大小和形状是固定不变的”,可以推理出本题的答案解答:三角形具有稳定性三角形的稳定性、四边形的不稳定性在生活中均有运用要点三角形全等的判定(难点)两个三角形中对应相等的边或角是否全等简写形式三条边是边边边(S S S)两边一角两边夹角是边角边(S A S)两边与一边对角否两角一边两角夹边是角边角(A S A)两角与一角对边是角角边(AA S)三个角否图 例如图,点B、F、C、E在同一条直线上,点A、D在直线B E的两侧,A BD E,B FC E,请添加一个适当的条件:,使得A CD F精析:要使A CD F,只需证明A B CD E F,由已知可推出一组边、一对角分

4、别对应相等,所以可以添加一对角对应相等或相等角的另一边对应相等即可解答:A BD E或AD等本题为开放性试题,答案不唯一,主要考查三角形全等的条件与性质,易错点是添加的角或边不对应要点判定方法的选择选择哪种判定方法,要根据具体已知条件而定例如图,点A、F、C、D在同一直线上,A BB C,D EE F,B CF E,A FD C,问A B C和D E F能全等吗?如果全等请说明理由图 精析:在A B C和D E F中,由A BB C,D EE F,可知A B CD E F ;由B CF E,可知A C BD F E;而由A FD C,可知A CD F,所以根据AA S,可得A B CD E F

5、解答:A B CD E F理由如下:因为A BB C,D EE F,所以A B CD E F 又B CF E,所以A C BD F E因为A FD C,所以A CA FF CD CF CD F所以根据AA S,得A B CD E F三角形全等的判定中无“角角角”和“边边角”要点用全等证两线段(角)相等其思路如下(重点):()观察线段或角在哪两个可能全等的三角形中;()分析要证全等的两个三角形,已知什么条件,还缺什么条件;()设法得证所缺条件;()当待证线段和角不分布在两个三角形中时,可考虑添加辅助线;()两条相等的线段同时加上一条共同的线段后仍得两条相等的线段图 例如图,A C是D A B的角

6、平分线,且ADA B,试说明C DC B精析:要说明C DC B,只需说明AD CA B C,而A BAD,A CA C,D A C B A C,所 以AD CA B C解答:在AD C和A B C中,因为A DA B,A CA C,且A C是D A B的角平分线,所以DA CB A C所以AD CA B C根据S A S,得C DC B在两个三角形中,来判断两个三角形的两条边相等,经常用判断这两个三角形全等的办法来判断,但需注意要判断相等的线段必须是这两个三角形的对应边拉 分 典 例 探 究综合应用例(要点)分析下列结论:有两边和一个角对应相等的两个三角形全等;判断两个三角形全等,至少需要一

7、组对边对应相等;三个角对应相等的两个三角形全等;三条边对应相等的两个三角形全等其中,正确的个数为()A B C D 精析:()有两边和一个角对应相等的两个三角形未必全等,如图 所示,在A B C与A B D中,A BA B,A CAD,BB,但显然A B C与A B D不全等,故错误;()观察四个判定三角形全等的条件(包括后面将要学习的HL),每一个都至少要求一组对边对应相等,故正确;()三个角对应相等的两个三角形未必全等,如图 所示的两个三角形;()根据“S S S”,故正确图 图 解答:B技法规律:熟记三角形判定定理,找准对应角与边来判定两三角形是否全等不成立的结论只要能举出一个反例即可例

8、(要点)把两个含有 角的直角三角板如图 放置,点D在B C上,连接B E、AD,AD的延长线交B E于点F求证:A FB E图 精析:此题是对全等三角形及三角形内角和等知识的综合考查,巧用全等三角形对应边相等、对应角相等,可帮助我们顺利地解决一些与线段、角有关的问题解答:由两个含有 角的直角三角板得A CB C,A C DB C E ,D CE C,所 以A C D B C E(S A S),所 以D A C E B C又 因 为AD CB D F,所以E B CB D FD A CAD C 因而B F D ,即A FB E探究创新图 例(要点)如图,A C交B D于点O,请你从下面三项中选出

9、两个作为条件,另一个作为结论,写出一句正确的话,并说明理由O AO C,O BO D,A BD C精析:根据题意,在给出的三项中任意选两项作为条件,另一项作为结论写出的句子均正确解答:由题意,给出的三项中,任意选两项作为条件,另一项作为结论写出的句子都是正确的如“A C交B D于点O,若O AO C,O BO D,则A BD C”这是正确的又如“A C交B D于点O,若O AO C,A BD C,则O BO D”这也是正确的,理由如下因为A BD C(已知),所以AC(两直线平行,内错角相等)又O AO C(已知),A O B C O D(对 顶角 相等),所 以A O B C O D(A S

10、 A)所以O BO D(全等三角形的对应边相等)探索发现:条件和结论都开放的综合开放型试题,解题的方法是要充分利用所学的数学知识,通过观察、分析、综合、判断、推理等活动来探索、完善并进行证明误 区 警 醒【误区】利用“边边角”证明三角形全等例如图,D是A B C中B C边上一点,E是AD上一点,E BE C,图 A B EA C E求证:B A EC A E错解:在A E B和A E C中,E BE C,A B EA C E,A EA E,A E BA E CB A EC A E正解:在B E C中,B EC E,E B CE C BA B EA C E,A BA C在A E B和A E C中

11、,A EA E,B EC E,A BA C,A E BA E CB A EC A E警醒:两个三角形全等的判定中无“边边角”存在【误区】对“对应”二字认识不正确,导致全等判定失误例如图 ,A CB C,C DE C,A CB C,E CD C图 求证:AB错解:A CB C,C DE C,A C BD C E A CB C,E CD C,A C EB C DAB正解:A CB C,C DE C,A C BD C E A C BA C DD C EA C D即A C EB C DA CB C,E CD C,A C EB C DAB警醒:本题中,A C B与D C E并不是A C E与B C D的

12、一对对应角知 能 提 升 训 练夯基固本(要点、)如图,BD E F中,A BD E试说明A B CD E F(第题)()若以“S A S”为依据,还缺条件;()若以“A S A”为依据,还缺条件;()若以“AA S”为依据,还缺条件(要点、)如 图,如 果ADA E,B DC E,那 么 有A B D,理由是;A B E,理由是(第题)(第题)(要点、)如图,在A B C和D E F中,ADF C,A BD E,当添加条件时,就可得到A B CD E F(只需填写一个你认为正确的条件)(要点)具有下列条件的两个三角形,可以证明它们全等的是()A两角相等,且其对应角所对的边也相等B两角相等,且

13、有一边也相等C一边相等,且这边上的高也相等D两边相等,且其中一条对应边的对角相等(要点、)如图,A B、C D相交于点O,A BC D,试添加一个条件使得A O DC O B,你认为下面要添加的条件中不能使得A O DC O B的是()(第题)AA OC OBB OD OCACDADC B(要点)如图,如果A BA C,ADA E,B ADC A E,那么B E与C D相等吗?请说明理由(第题)(要点)如图,A B C是一个刚架,A BA C,AD是连接A与B C中点D的支架求证:A B DA C D(第题)综合应用(要点、)下列个论断:A BA C;ADA E;BC;B DC E请以其中个论

14、断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题(第题)(要点)尺规作图作A O B的平分线方法如下:以O为圆心,任意长为半径画弧交O A、O B于点C、D,再分别以点C、D为圆心,以大于C D长为半径画弧,两弧交于点P,作射线O P由作法得O C PO D P的根据是()A S A SBA S ACAA SD S S S(第题)(要点、)如图,C是线段A B的中点,C E平分A C D,C D平分B C E,C DC E()求证:A C EB C D;()若D ,求B的度数(第 题)(要点、)如图,两车从路段A、B的两端同时出发,以相同的速度行驶,相同的时间后分别到达C、D两地,两车行

15、进的路线平行,那么C、D两地到路段A B的距离相等吗?为什么?(第 题)(要点、)如图,公园有一条“Z”字形道路A B C D,其中A BC D,在E、M、F处各有一个小石凳,且B EC F,M为B C的中点,请问三个小石凳是否在一条直线上?说出你推断的理由(第 题)(要点、)如图,已知AB,C EA B,D FA B,垂足分别为E、F,ADB C,A E c m,求B F的长(第 题)(要点)如图,已知A BD C,A ED F,C EB F求证:A FD E(第 题)探究创新(要点)如图,已知M是A B C的边B C上一点,B EC FB EC F求证:AM是B C边上的中线(第 题)(要

16、点、)如图,给出五个等量关系:ADB C;A CB D;C ED E;DC;DA BC B A请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,写出一个正确命题(写出三种情况),并选一种情况加以证明(第 题)答案全析全解()B CE F或B EC F()AD()A C BD F EA C ES A SA C DS A SB CE F(答案不唯一)A C相等理由如下:B ADC A E,B A EC ADA BA C,ADA E,A B EA C DB EC DD是B C的中点,B DC D在A B D和A C D中,A BA C,ADAD,B DC D,A B DA C D条件:A BA C,ADA

17、 E,B DC E,结论:BC;或条件:A BA C,BC,B DC E,结论:ADA E D C是线段A B的中点,A CB C又C E平 分A C D,C D平 分B C E,在A C E和B C D中,C EC D,A CB C,A C EB C D(),D ,B D 因为A CB D,所以C A ED B F因为两车同时出发,同时到达,所以A CB D在R t A C E和R t B D F中,C A E D B F,A E C B F D ,A CB D,所以R t A C ER t B D F(AA S),所以C ED F即C、D两 地 到 路 段A B的 距 离相等 在一条直线上

18、提示:连接EM并延长交C D于点F,证C FC F C EA B,D FA B,A F DB E C 在A F D和B E C中,AB,A F DB E C,ADB C,A F DB E CA FB EA FE FB EE FB FA E(c m)C EB F,C EE FB FE FC FB EA BD C,A ED F,A B EC D FBCA BD C,C EB F,A B FC D EA FD E B EC F,MC FMB E在MC F和MB E中,BMECMF,MC FMB E,B EC F,MC FMB EBMCMAM是B C边上的中线 条件:结论:或或提示:证明A B DB

19、A C,条件:结论:或或提示:证明AD EB C E,条件:结论:或或提示:证明A B DB A C迷 你 数 学 世 界如图 (),在A B C中,CB,试说明A BA CC D()()图 解答:如图 (),在A B上截取A EA C,连接D EA EA C,ADAD,AD EAD CD EC D,A E DCA E DC,CB,A E DBA E DBE D B,BE D BB ED ED EC D,B EC DA BA EB EA CC D友情提醒:此类型题一般均采用“截长法”或“补短法”P 习题()三角形的形状不发生变化()四 边 形、五 边 形 的 形 状 发 生 了变化()三角形具

20、有稳定性,而四边形、五边形不具有稳定性不一定全等,如图所示,在A B C与D E F中,AD,C F,但A B C与D E F不全等(第题)略P 习题 全等,依据是“AA S”有三对相等的角,两三角形全等,依据是“AA S”或“A S A”B D CE D F,依据是“AA S”应该带含有两个角的那一块去,由“A S A”可知,利用这块可配出一个与原来全等的三角形模具P 随堂练习()A C BE D F,依据是“S A S”()AD CC B A,依据是“S A S”能,根据“S A S”可以得到E DHF DH,从而EHFHP 习题 A C EAD E,A C BAD B,依据都是“S A S”相等,理由略根据“S A S”可以作一个与原来完全一样的三角形EHJ F I H G J I,H I J的三边相等