2021七年级数学下册 5.3 平行线的性质深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+误区警醒+知能提升训练+探究创新+迷你数学世界pdf） （新版）新人教版.pdf

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1、 平行线的性质学 习 目 标 导 航通过探索实践(用坐标纸上的直线或用直尺和三角板画平行线),体会平行线的性质,理解平行线性质在实际问题中的应用,学会判定一个命题的题设和结论利用三角板和直尺等理解平行线的性质,通过探索平行线的性质,丰富对现实空间及图形的认识,培养识图能力,从而在头脑中建立初步的几何空间教 材 知 识 详 析要点平行线的性质(重点)()两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;()两条平行线被第三条直线所截,内错角相等;()两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补简记为:两直线平行,内错角相等;两直线平行,内错角相等;两条直线平行,同旁内角互补推理格式:A BC D(已知),(两

2、直线平行,同位角相等)A BC D(已知),(两直线平行,内错角相等)A BC D(已知),(两直线平行,同旁内角互补)图 根据平行线的性质,可以确定两个角之间的相等或互补关系,进而得到其他角之间的关系归纳整理:()同位角相等、内错角相等和同旁内角互补是由平行线的性质所得的结论,所以它们成立的前提是“两直线平行”()要注意正确区分平行线的性质与判定,由角的数量关系得到两条直线平行,是平行线的判定;由两条直线平行得到角的数量关系,是平行线的性质()要特别注意没有两条直线平行这个条件,同位角和内错角不相等,同旁内角也不互补例如图(),将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,则为()A B C

3、D ()()图 精析:如图(),由直尺对边平行,所以(两直线平行,同位角相等),再由 ,得 ,故选B解答:B本题考查了平行线的性质,角度的计算,本题以学具为背景,解题的关键是从中挖掘直尺的对边互相平行,三角板中的直角,运用互余及平行线的性质(可以推导等角或互补),熟练进行有关角的数量关系的转换图 例如图,ADB C于点D,E FB C于点F,且E,问B AD和C AD相等吗?并说明理由精析:由ADB C,E FB C可知E FAD,再根据平行线的有关性质,尽量发挥图中某些充当“桥”角色的角的作用,即可得到B AD和C AD的关系解答:B AD和C AD相等理由如下:ADB C,E FB C(已

4、知),E F DAD C (垂直的定义)E FAD(同位角相等,两直线平行)EC AD(两直线平行,同位角相等),B AD(两直线平行,内错角相等)又E(已知),B ADC AD(等量代换)平行线的判定是利用角的关系(如同位角相等、内错角相等,同旁内角互补)推出两直线平行,而平行线的性质是指由两条直线的平行推出角之间关系在实际解题过程中,两者的运用并非是孤立的,复杂的图形中分析出基本图形是学习数学的一大基本功,在分析与解题过程中“桥”的作用也是不可忽视的,即等量代换,本题中E就起到一个过渡的作用例如图(),已知ll,A B C ,lA B,求的度数()()图 精析:平 行线 有一 个非 常 重

5、要 的作 用,就 是角 的 传 递,在 本 题 中 虽 然 知 道ll,但却与A B C无法建立联系,因此我们可以过点B作一条与l平行的直线l,根据“平行于同一条直线的两条直线平行”的性质可得到ll,进而可以建立起A B C与的联系解答:如图(),过点B作lllA B(已知),lA B(两直线平行,同位角相等)(垂直的定义)A B C (已知),又ll,ll(已知),ll(平行公理推论)(两直线平行,同位角相等)本题辅助线的作法还可以叙述为:过点B作lA B适当添加辅助线是解数学题的重要手段这里过直线外一点作已知直线的平行线,是常用的辅助线之一辅助线在解题过程中起铺路架桥的作用,有化难为易之功

6、效,是解数学图形题常用的技巧作辅助线要注意作法的叙述,辅助线要画成虚线要点命题、定理(重点)命题:判断一件事情的语句,叫命题它必须对某件事情作出判断,要么肯定,要么否定,而像“你回家了吗”“画A BC D”等等就不是命题命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项它通常可以写成“如果那么”的形式,“如果”后面接的是题设,“那么”后面接的是结论如果一个命题是正确的,那么它就是真命题,反之就是假命题定理:经过推理证实而得到的真命题叫做定理关键提醒:理解命题的概念时要注意两点:()命题必须是一个完整的句子;()这个句子必须对某件事情给出明确的判断(如肯定或否定的判断)例

7、判断下列语句是不是命题,是命题的指出命题的题设和结论,并判断此命题是否为真命题()画射线A C;()同位角相等吗?()两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两直线平行;()任意两个直角都相等;()如果两条直线相交,那么它们只有一个交点;()若|x|y|,则xy精析:看一句话是不是命题,关键是看它是不是作出了明确的判断,是不是一个完整的句子要写出题设和结论,可以先将命题写成“如果 那么”的形式解答:()()不是命题,()题设是两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补,结论是这两直线平行,是真命题,()题设是两个是直角,结论是这两个角相等,是真命题,()题设是两条直线相交,结论是它们只有

8、一个交点,是真命题,()题设是|x|y|,结论是xy,是假命题确定一个命题的题设和结论时,若命题直接写成“如果那么”的形式,则前面的为题设,后面的为结论;若没有写成这种形式,则先写成“如果那么”的形式,再确定题设和结论拉 分 典 例 探 究综合应用例(要点)如图(),C岛在A岛的北偏东 方向,在B岛的北偏西 方向,则从C岛看A、B两岛的视角A C B()()图 精析:如图(),过点C作正北方向的平行线,借助平行公理的推论构建三线平行,利用平行线的性质(两直线平行,内错角相等),进而可得A C B 解答:探索发现:本题是以测量方位角为载体,关键是将实际问题(方位)转化为数学问题(平行),进而考查

9、平行线的辅助线作法,性质及分析推理,取材自然,构思巧妙例(要点)如图(),A BC DA F、C F分别是E A B、E C D的角平分线,F是两条角平分线的交点求证:FA E C()()图 精析:作辅助线,可以探究:A E C与B A E及D C E之间的关系,结合角的平分线的性质,可以探究出F与A E C之间的关系解答:如图(),过点E作EMA B,过点F作FNA B,A BC D,EMC DME AB A E,ME CD C EME AME CB A ED C E,即A E CB A ED C E同理可得A F CB A FD C FA F、C F分别是E A B、E C D的平分线,B

10、 A FB A E,D C FD C EA F CB A ED C EA F CA E C,即FA E C探究创新例(要点)如图 所示,两平面镜,的夹角为,入射光线A O平行于入射到上,经过两次反射后的反射光线O A 平行于,求的度数图 精析:本题目涉及到物理中的光的入射和反射的知识,可以根据平行线的性质与光的反射的知识联合解决问题解答:A O,O A,O A,A O 又入射角等于反射角,O A,A O 根据三角形内角和定理可以知道 ,即 技法规律:本题与物理光学知识综合,关键是能运用物理学中的入射角等于反射角与条件中有关角及平行线联系起来,注意全面分析问题,针对具体问题或现象灵活应用不同的学

11、科知识和技能进行综合分析和解决问题误 区 警 醒【误区】忽视两直线平行的前提条件例判断:如 图 所 示,已 知 ,则 ()图 错解:正解:警醒:已知同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来判定两直线平行时,找对截线和被截线是准确判定两直线平行的关键,两直线平行是同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的前提条件【误区】不理解命题的概念例判断下列语句是否是命题如果是,请写出它的题设和结论()内错角相等;()对顶角相等;()画一个 的角错解:()()不是命题,()是命题正解:()是命题这个命题的题设是:两条直线被第三条直线所截;结论是:内错角相等这个命题是一个错误的命题,即假命题()是命题这个命题的题设

12、是:两个角是对顶角;结论是:这两个角相等这个命题是一个正确的命题,即真命题()不是命题,它不是判断一件事情的语句警醒:对于命题的理解不透彻,往往认为只有存在因果关系的关联词才是命题,正确认识命题这一概念,关键要注意两点,其一必须是一个语句,是一句话;其二必须存在判断关系,即“是”或“不是”知 能 提 升 训 练夯基固本(要点)下列语句中,真命题的个数为()所有的直角都相等;画两条互相垂直的直线;在同一平面内,两条直线的位置关系有两种:相交和平行;经过 一点,有且 只有 一条 直 线与 这条 直 线平行;你完成作业了吗?难道你忘了昨天说的话了吗?A B C D(要点、)下列命题中,真命题的个数为

13、()在同一平面内,两条直线被第三条直线所截,同位角相等;两条平行线被第三条直线所截,同位角的平分线平行;两条平行线被第三条直线所截,内错角的平分线平行;两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的平分线平行;两条直线被第三条直线所截,形成对同位角、对内错角和对同旁内角A B C D(要点)如图,已知A BC D,B CD E,则BD的度数为()A B C D不确定(第题)(第题)(要点)如图,已知A BC D,A,C,则E等于()ABC D(要点)两边分别平行的两角()A相等B互补C相等或互补D不确定(要点)如图,C DA B,则E的度数是()A B C D (第题)(第题)(要点、)把命题“两直线

14、平行,同位角互补”改成“如果那么”的形式是,原命题是(“真”或“假”)命题(要点)如图,A BC E,则A,B(要点)指出命题的题设和结论:()两直线平行,同旁内角互补;()同旁内角互补,两直线平行综合应用(要点、)如图,A BC D,A B与D E交于点F,B ,D ,E(第 题)(第 题)(要点)如图,A CB D,A E平分B A C交B D于点E,若 ,则(要点)如图,A BC D,直线MN分别交A B、C D于点E、F,E G平分A E F,E GF G于点G,若B EM ,则C F G(第 题)(第 题)(要点)如图,直线ab,点B在直线b上,且A BB C,则(要点、)如图,已知

15、B EC F,试说明A BC D(第 题)探究创新(要点)如图,CD,试说明AF(第 题)(要点)在同一平面内有 条直线,若aa,aa,aa,aa,则a与a 的位置关系是什么?答案全析全解 B BAA CA如果两直线平行,那么同位角互补假 ()题设是“两直线平行”,结论是“同旁内角互补”()题设是“同旁内角互补”,结论是“两直线平行”B EC F,E B CF C B,E B CF C B又 E B C A B C,F C BB C D,A B CB C DA BC D,D BC E(同位角相等,两直线平行)D B AC(两直线平行,同位角相等)又DC,D B ADD FA C(内错角相等,两

16、直线平行)A F(两直线平行,内错角相等)aa aa,aa,aa,aa,aa,aa,aaaa每四条直线为一组,每组中,第一条和第四条平行,第条又和下一组的第一条平行 条直线被分成 组,aa 迷 你 数 学 世 界命题的自述我的名字叫命题,就是判断一件事情的句子要想构成我,首先必须是一个完整的句子,其次这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断,如“延长线段A B到点C”“两直线垂直吗”都不表示判断,所以它们都不是我;而“同角的余角相等”“a一定是负数”就是我每一个我都是由两部分组成的,即题设和结论题设就是已知条件,结论就是判断的结果,如“同角的余角相等”这个命题中,题设是“两个角是同一个角的余

17、角”,结论是“这两个角相等”我常常以简略的形式出现,实际上,我的完整形式是“如果那么”,比如前面所提到的第一个命题,其完整形式是“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”我还有“真”“假”之分呢!所谓“真”“假”,就指根据题设能否推出结论如果能够推出,那么我便是“真”我,反之我便是“假”我比如:“同角的余角相等”就是真命题,“a一定是负数”就是假命题判断我的“真”“假”,千万要小心哟!怎么样,了解我了吗?以后我们经常见面,不如交个朋友吧!P 探究和,和,和,和是同位角,如果ab,那么同位角相等,由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角相等再任意画一条截线d,猜想也成立P 思考“两条平行

18、线被等三条直线截得的内错角之间相等”P 问题命题():如果两条平行线被第三条直线所截,那么它们所形成的同旁内角互补;命题():如果在某个等式两边加同一个数,那么所得的结果仍是一个等式P 练习 ,()D EB CAD E ,B ,AD EBD EB C(同位角相等,两直线平行)()C D EB C,A E DC又A E D ,C P 练习()题设是“A BC D,垂足为O”,结论是“A O C ”()题设是“,”,结论是“”()题 设 是“两 直 线 平 行”,结 论 是“同位角相等”略P 练习同旁内角互补,两直线平行两直线平行,同旁内角互补是假命题,反例略P 习题 根据“两直线平行,内错角相等

19、”,可知第二次的拐角也是 由ADB C,A ,根据“两直线平行,同旁内角互补”,可知B ;不用度量的方法,仅根据平行线的性质,不能求得D的度数()由 ,根据“两直线平行,内错角相等”,可知 ()由 ,根据“两直线平行,同位角相等”,可知 ()由 ,根据“两直线平行,同旁内角互补”,可知 因为ab,根据“两直线平行,内错角相等”,可得 ;根据“两直线平行,同旁内角互补”,可得 ;与互为邻补角,因此 根据“同旁内角互补,两直线平行”,为了使管道对接,另一侧应以 的角度铺设内错角相等,两直线平行两直线平行,内错角相等()C()C利用平行线的性质,可得 ,(),A BE F(内错角相等,两直线平行)()D EB C,B,C(两直线平行,同位角相等)略 略()()是假命题,反例略()是真命题()C两直线平行,内错角相等两直线平行,同旁内角互补()A B C 角平分线定义等式性质 因为D EB C,根据“两直线平行,内错角相等”,可得DA BB ,E A CC 而DA E是 平 角,从 而B A C DA BE A C 利用这种方法,也就说明了三角形的内角和等于 由于两面镜子是平行放置的,因此和是内错角,而 ,所以 再 根据“内错 角 相等,两直线平行”,可以得到进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的