卡尔曼滤波算法与matlab实现.doc

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1、 . . . . 一个应用实例详解卡尔曼滤波与其算法实现标签：算法filtermatlabalgorithm优化工作2012-05-14 10:4875511人阅读评论(25)收藏举报分类：数据结构与其算法（4）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的

2、温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。假如我们要估算k

3、时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23 度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance（协方差）来判断。因为 Kg2=52

4、/(52+42)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入 k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56 度）的偏差。算法如下：(1-Kg)*52)0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入 k+1时刻以后k时刻估算出的最优

5、温度值的偏差（对应于上面的3）。就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把 covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。3 卡尔曼滤波器算法（The Kalman Filter Algorithm）在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉与一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（Random Variable），高斯或正态分配

6、（Gaussian Distribution）还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V

7、(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) . (1)式(1)中，X(

8、k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于 X(k|k-1)的covariance(协方差)还没更新。我们用P表示covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A+Q (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的 covariance，A表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统

9、的预测。现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1) (3)其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：Kg(k)= P(k|k-1) H / (H P(k|k-1) H + R) (4)到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值 X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程完毕，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) (5)其

10、中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。下面，用Matlab程序举一个实际运行的例子。4 简单例子（A Simple Example）这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型不需要非常地精确。我

11、们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。因此得出：X(k|k-1)=X(k-1|k-1) . (6)式子（2）可以改成：P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q (7)因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子 3，4，5可以改成以下：X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1) (8)Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) (9)P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) (10)现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25 度，我模拟了200个测量

12、值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对于 P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1 度，P(0|0)=10。该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。clearN=200;w(1)=0;w=rand

13、n(1,N)x(1)=0;a=1;for k=2:N;x(k)=a*x(k-1)+w(k-1);endV=randn(1,N);q1=std(V);Rvv=q1.2;q2=std(x);R#=q2.2;q3=std(w);Rww=q3.2;c=0.2;Y=c*x+V;p(1)=0;s(1)=0;for t=2:N;p1(t)=a.2*p(t-1)+Rww;b(t)=c*p1(t)/(c.2*p1(t)+Rvv);s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1);p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);endt=1:N;plot(t,s,r,t,Y,g,t,x,b)

14、;用matlab做的kalman滤波程序,已通过测试还有下面一个 Matlab源程序，显示效果更好。clearclc;N=300;CON = 25;%房间温度，假定温度是恒定的%kalman filter%x = zeros(1,N);y = 20.5 * randn(1,N) + CON;%加过程噪声的状态输出x(1) = 1;p = 10;Q = cov(randn(1,N);%过程噪声协方差R = cov(randn(1,N);%观测噪声协方差for k = 2 : Nx(k) = x(k - 1);%预估计k时刻状态变量的值p = p + Q;%对应于预估值的协方差kg = p / (

15、p + R);%kalman gainx(k) = x(k) + kg * (y(k) - x(k);p = (1 - kg) * p;end%Smoothness Filter%Filter_Wid = 10;smooth_res = zeros(1,N);for i = Filter_Wid + 1 : Ntempsum = 0;for j = i - Filter_Wid : i - 1tempsum = tempsum + y(j);endsmooth_res(i) = tempsum / Filter_Wid;end% figure(1);% hist(y);t=1:N;figure

16、(1);expValue = zeros(1,N);for i = 1: NexpValue(i) = CON;endplot(t,expValue,r,t,x,g,t,y,b,t,smooth_res,k);legend(expected,estimate,measure,smooth result);axis(0 N 20 30)xlabel(Sample time);ylabel(Room Temperature);title(Smooth filter VS kalman filter);卡尔曼滤波算法-核心公式推导导论再造红旗写在最前面：这是我第一篇专栏文章，感知乎提供这么一个平台，

17、让自己能和大家分享知识。本人会不定期的开始更新文章，文章的容应该集中在汽车动力学控制，整车软件架构，控制器等方面。作为一名在校硕士，很多理解都可能不全面，不正确，大家有不同意见欢迎讨论。 ！-卡尔曼滤波算法很牛逼，因为有一堆公式，有一堆符号，看起来就很牛逼啊，乍一看不懂的都很牛逼啊！本文针对卡尔曼滤波算法的核心公式进行推导，不让大家被它华丽的外表吓到。（之后计划写关于针对非线性情况的EKF和UKF，对卡尔曼滤波算法做一个全面一点的应用介绍。感兴趣的可以关注专栏。）-Okay，进入正题。这篇文章假设读者已经对卡尔曼滤波算法有初步的了解，知道它能做什么，知道它的优点，知道它很牛逼，并且你已经对它产

18、生兴趣，但不知道如何下手。首先给出一个控制理论中公式，别急着翻控制理论的书，没那么复杂：两个基本问题：1.卡尔曼滤波算法要做什么？对状态进行估计。2. 卡尔曼滤波算法怎么对状态进行估计？利用状态过程噪声和测量噪声对状态进行估计。一个状态在一个时刻点k的状态进入下一个时刻点k+1状态，会有很多外界因素的干扰，我们把干扰就叫做过程噪声，（这个词一看就是硬翻译过来的，别在意为什么叫噪声）用w表示。任何一个测量仪器，都会有误差，我们把这个误差叫做量测噪声，用v表示。回到上面那个公式，状态方程表示状态在不断的更新，从一个时刻点进入下一个时刻点，这个很好理解。关键是量测方程，它表示，我们不断更新的状态有几

19、个能用测量仪器测出来，比如，汽车运动状态参数有很多，比如速度，轮速，滑移率等，但是我们只能测量出轮速，因此量测方程要做的就是把状态参数中能量测的状态拿出来。我们始终要记得我们要做的事：我们要得到的是优化的状态量Xk。理解了上面之后就可以开始推导公式了。1.首先不考虑过程噪声对状态进行更新，很简单：举个例子，v(k)=v(k-1)+at，匀加速运动咯。2.不考虑测量噪声取出能测量的状态，也很简单：3.用测量仪器测量出来的状态值（大家可以考虑到：测量的值就是被各种噪声干扰后的真实值）减去上面不考虑噪声得到的测量值：这个值在数学上是一个定义值，叫做新息，有很多有趣的性质，感兴趣的可以自己谷歌。我们对

20、步骤暂且停一停。这个叫新息的值有什么用？由上面的过程我们可以明显看到，它反映了过程噪声和测量噪声综合对测量状态值的影响，也就是它包含了w和v的情况。回到数学层面，（不要害怕，很简单的数学应用和思考啦！）一个数值c由两部分容a和b组成，那么怎样用数学表达式来表达？一般有两种做法：I.直接相加：c=a+b;II. 用比例的方法：a=n*c,b=(1-n)*c卡尔曼采用了方法II，用比例的方法来做（其实这也是为什么叫做滤波的原因，因为滤波就是给权值之类的操作）。也就是说，过程噪声w=新息*一个比例。这样得到的过程噪声加上原来（第一步）不考虑过程噪声的状态值不就是优化值了吗？ 也就是：Okay，都写到

21、这里了，有必要做一下前提假设：a. 什么高斯噪声，均值为零一堆；b.Ak,Ck,wk的协方差Q,vk的协方差R，系统协方差初始值P0,状态初始值X0，都已知。为什么已知，你实际做项目就知道了。不过不懂的可以留言或者私信。那么到目前为止我们的思路就是清楚了，找到一个适宜的Hk值（卡尔曼增益），那么我们就能得到状态的最优值。（卡尔曼说的，不是我说的，所以你问为什么，你要问他，这么深层次的理论留给博士和学者们去做就好，我们就现学现用就行，哈哈哈，站在巨人的肩膀！）问题来了：怎么得到适宜的Hk？似乎不是随便一个参数。这是误差协方差矩阵。思路：使得误差协方差矩阵Pk最小的Hk。为什么？这里我从感观的角度

22、说明自己的理解，欢迎讨论。协方差表示什么，协方差表示两者之间的联系或者关系，关系越大，协方差越大。误差协方差越小说明过程噪声和量测噪声的关系越小。关系越小能做什么，这要回到我们第3步讨论的我们用比例的方法分开了w和v。用比例分开，到底多少属于w，多少是v，如果关系越小，分开的越精确，比如一堆白砂糖和盐，如果两种混合的很均匀，我们说它关系很大，也就越难用比例的方法将其分开。4.求的误差协方差矩阵Pk自然是把里面的Xk先得到，然后公式运算，通过上面的步骤我们也容易得到：然后复杂的数学计算，和之前假设的高斯噪声，新息的性质之类（至于过程，个人觉得你如果只做应用，不研究算法，就没必要深入去看了），就能

23、得到下面的卡尔曼滤波递推公式：通过上面的解释，我们也就不难知道这些公式都在干嘛，知道干嘛就可以了。在知道A,C,P0,Q,R的情况下，整个公式的运算流程也都很清晰了。过程方程：X(k+1)=AX(k) +BU(k) + W(k) 式1量测方程：Z(k+1)=HX（k+1）+ V(k+1) 式2A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵；H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声，他们的协方差 分别是Q，R。为了不失一般性，下面的讨论中将X,Z都视为矩阵，其中X是m行的单列矩阵，Z是n行的单列矩阵。说明：下面的表达式中，不带

24、前缀的量都代表实际量，其小括号里面的“k”或“k+1”代表该量是第k或第k+1时刻的实际量，如“Z(k+1)”就代表第k+1时刻的实际测量值；带前缀“”的量都代表预测量，如果小括号里面是“k+1|k”，就代表k+1时刻的先验预测值，如果小括号里面是“k+1|k+1”，就代表k+1时刻的后验预测值；（测量值可以通过测量得到，所以只有先验预测，没有后验预测。而实际状态值无法得知，既有先验预测，又有后验预测）带前缀“”的量都代表与预测值对应的偏差值。实际状态值与先验预测状态值的偏差 = 实际状态值 先验预测状态值X(k+1|k) = X(k+1) - X(k+1|k) 式3实际测量值与先验预测测量值

25、的偏差 = 当前测量值 - 先验预测测量值Z(k+1|k) =Z(k+1) - Z(k+1|k) 式4并且先验预测测量值 = 转换矩阵H* 先验预测状态值Z(k+1|k)=HX(k+1|k) 式5得到测量值后，再对当前状态值X(k+1) 进行后验预测（设后验预测值为 Z(k+1|k+1) ） ，则后验预测值（同时也是最终预测值）的偏差为X(k+1|k+1) = X(k+1) - X(k+1|k+1) 式6为了得到当前状态值X(k+1)， 根据式3，需要：X(k+1)= X(k+1|k) +X(k+1|k) 式7上式中，我们可以通过卡尔曼公式1（见附注2）计算出X(k+1|k)，但我们无法得知实

26、际状态值X(k+1)，因而X(k+1|k) 也无法得知。我们最终的目的是得出一个比较接近实际状态值X(k+1)的滤波值X(k+1|k+1)，根据式7，只要能准确的估计出X(k+1|k)即可。X(k+1|k)本身虽无法得知，但Z(k+1|k) 却可以通过测量得到，而且它们二者存在一定的相关性。不妨再设存在一个矩阵K（m行n列矩阵），能使得X(k+1|k) = K * Z(k+1|k) 式8那么最终的预测任务其实就是找到K。由于X(k+1|k)和Z(k+1|k)都是单列矩阵，因此不难看出，满足式8的矩阵K应有无穷多个。矩阵K中第i行第j列反映了量测变量偏差矩阵Z(k+1|k)的第j个元素对状态变量

27、偏差矩阵X(k+1|k)的第i个元素的贡献。因此矩阵K的物理意义很明显，K的第i行第j列的元素表示：对于第i个待测的状态量来说，第j个测量仪器测到的偏差的可信度。某个测量值对应的可信度越高，滤波器越“相信”该测量值。既然满足条件的K有无穷多个，那应该使用哪个K呢？实际上，我们并不知道X(k+1|k)的值，所以也就无法直接计算出K，而只能通过某种方法找到一个Kg，使得将Kg带入式8后，等号两边的差（的平方）的期望尽可能小。我们最终的预测值或滤波值是后验预测值X(k+1|k+1)，因此最后的预测也应使 X(k+1|k+1) 的期望为0且方差最小（这与让8式两端的差最小是一致的，下面的式9表达了这一

28、点），这样预测值才最可靠。下面详细说明。X(k+1|k+1) = X(k+1|k) +Kg * Z(k+1|k) （后验预测的状态值）X(k+1|k+1) = X(k+1) - X(k+1|k+1) （后验预测的偏差）X(k+1|k+1) = X(k+1) - X(k+1|k+1) = (X(k+1|k) + X(k+1|k) - ( X(k+1|k) +Kg * Z(k+1|k) ) = X(k+1|k) - Kg * Z(k+1|k) 式9Z(k+1|k) = Z(k+1) - Z(k+1|k) = (HX（k+1）+ V(k+1) ) - (HX(k+1|k) ) =H( X（k+1）-

29、X(k+1|k) ) +V(k+1) =H X(k+1|k) +V(k+1) 式10接下来的分析中，为了更直观的说明卡尔曼滤波的原理，我们用几何方法来解释。这时，X和Z矩阵中的每个元素应看做向量空间中的一个向量而不再是一个单纯的数。这个向量空间（统计测试空间）可以看成无穷多维的，每一个维对应一个可能的状态。X和Z矩阵中的每个元素向量都是由所有可能的状态按照各自出现的概率组合而成（在测量之前，X和Z 的实际值都是不可知的）。X和Z中的每个元素向量都应是0均值的，他们与自己的积就是他们的协方差矩阵。我们无法给出X和Z中每个元素向量的具体表达，但我们通过协方差矩阵就可以知道所有元素向量的模长，以与相

30、互之间的夹角（从积计算）。为了方便用几何方法解释，我们假设状态变量X是一个1行1列的矩阵（即只有一个待测状态量），而量测变量Z是一个2行1列的矩阵（即有两个测量仪器，共同测量同一个状态量X），也就是说，m=1，n=2。矩阵X中只有X1一项，矩阵Z中有Z1和Z2两项。Kg此时应是一个1行2列的矩阵，两个元素分别记作Kg1 和 Kg2 。H和V此时应是一个2行1列的矩阵。将矩阵表达式9和10按元素展开：X(k+1|k+1)1 = X(k+1|k)1 - (Kg1 * Z(k+1|k)1 + Kg2 * Z(k+1|k)2 ) 式9iZ(k+1|k)i =Hi X(k+1|k) + V(k+1)i

31、式10iX(k+1|k) 中各个元素（向量）的线性组合可以产生一个m维或更低维的向量子空间Vx，这里，按照我们的假设，m=1，所以Vx应是一维的； 同时V(k+1)中的各个元素（向量）的线性组合也可以产生一个n维或更低维的向量子空间Vv，这里，按照我们的假设，n=2，所以Vv应是二维的。由于V(k+1)中的每一项与X(k+1|k)中的每一项都不相关（见附注1），故这两个子空间相互垂直。如以下图所示。式10i所表达的Z(k+1|k)i、Hi X(k+1|k)、V(k+1)i 三者之间的几何关系，也在以下图中描绘了出来。从上图中可以看出，Z(k+1|k)中各个元素（向量）的线性组合也可以产生一个n

32、维或更低维的向量子空间Vz，这里已假设n=2，所以Vz是一个二维的平面，就是上图中两条红色的线所构成的平面。图2中（注意此图中的椭圆代表的是Vz空间，而图1中则代表Vv空间，二者不一样），粉色的向量就是Kg1 * Z(k+1|k)1 + Kg2 * Z(k+1|k)2 ， 记此粉色向量为Y，Y为Z(k+1|k)1和Z(k+1|k)2线性组合而成，它始终在子空间Vz中。根据式9i，X(k+1|k+1)1 等于X(k+1|k)1和Y的差向量，为使X(k+1|k+1)1长度最短（协方差最小），Kg的选取应使得X(k+1|k+1)1垂直于Vz空间。通过先验预测的协方差矩阵（见卡尔曼公式2），可以得到X

33、(k+1|k)中各个元素的模长以与彼此间的夹角。这是因为协方差矩阵中的第i行第j列其实就代表了X(k+1|k)中第i个元素向量与第j个元素向量的积。通过测量可以得到新息协方差（见卡尔曼公式3的分母部分），进而可以知道Z(k+1|k)中各个元素的模长以与彼此间的夹角。通过已知的量测噪声协方差矩阵R，可以得出V(k+1) 中各个元素的模长以与彼此间的夹角。最后根据X(k+1|k+1)1与Y垂直以与图1中所示的几何关系，用高中学的立体几何和向量知识就可以求得两个Kg的值了。如果将向量的积都用协方差矩阵表示，就会发现，我们最后求得的Kg，其实就是卡尔曼公式3。（上面讨论的是较低次的卡尔曼滤波，只有一个

34、待测量，两个测量仪器。这种情况还是比较常见的，比如倾角测量系统中，我们用加速度计和陀螺仪共同测量倾角。对于更高次的卡尔曼滤波，X和Z都是多行矩阵时，用几何方法已经无法直观解释，只能用矩阵分析的方法证明。求解Kg的详细过程参考 卡尔曼滤波器与其应用基础国防工业敬喜 编 ）卡尔曼滤波的核心过程，就是求解能使得E X(k+1|k+1)* X(k+1|k+1)取最小值的Kg增益矩阵的过程，X(k+1|k+1)代表的是X(k+1|k+1)的转置（这里X(k+1|k+1)中的元素代表数值，不是向量）。前面已经提到过，卡尔曼增益矩阵Kg中的元素，都代表测量仪器测到的偏差的可信度，或者叫估计权重。附注1：(a

35、). v(k+1)中的每一项与X(k+1|k)中的每一项都不相关X(k+1|k) = X(k+1) - X(k+1|k) =X(k+1) -(AX(k|k) +BU(k) ) =(AX(k) +BU(k) + W(k) ) - (AX(k) +BU(k) -AX(k|k)= W(k) +AX(k|k)= W(k) +A( X(k|k-1) - Kg(k)* Z(k|k-1) ) -这一步利用了式9 = W(k) +A( X(k|k-1) - Kg(k)* (HX(k|k-1) + v(k) ) ) -这一步利用了式10 = W(k) -AKg(k) *v(k) +A(I- Kg(k) *H)

36、X(k|k-1)上式最后一行出现了X(k|k-1)，可见X(k+1|k)可以递归表示。而且递归式中的过程噪声W(k)与v(k+1)不相关，同时由于 v本身是白噪声，所以 v(k+1)与v(k)亦不相关（白噪声的自相关是函数），因此通过递推式可以判断v(k+1)与X(k+1|k)不相关。(b). w(k+1)中的每一项与X(k+1|k+1)中的每一项都不相关，w(k+1)中的每一项与X(k+1|k)中的每一项都不相关。X(k+1|k+1) = X(k+1) - X(k+1|k+1) =( X(k+1|k) + X(k+1|k) ) - (X(k+1|k) + Kg(k+1)*Z(k+1|k) =

37、 X(k+1|k) -Kg(k+1)*Z(k+1|k) = X(k+1|k) -Kg(k+1)* (HX(k+1|k) + v(k+1) ) = - Kg(k+1)* v(k+1) + (I- Kg(k+1) *H) X(k+1|k)我们已经知道w(k+1)与v(k+1)不相关，因此只要X(k+1|k+1)与上式的第二项也不相关，就说明结论(b)成立。根据(a)中的结论，X(k+1|k)的递归展开式中出现的 v(k) ，w(k) ， v(k-1)，w(k-1)等等，显然 w(k+1)与 v (m=k，k-1) 都不相关，另外，由于w(k+1)的自相关为函数，因此w(k+1)与 w(m=k，k-

38、1) 也不相关，也就得出w(k+1)与X(k+1|k) 不相关。进而可知，w(k+1)与X(k+1|k+1)不相关。正是因为 (a) (b)中的两个不相关，卡尔曼公式中的预测协方差矩（卡尔曼公式(2)）和新息协方差矩阵（卡尔曼公式(3)中的“分母”部分）才可以是简单的加式。附注2：卡尔曼滤波的五个公式先验预测值与先验预测协方差矩阵的计算。求解协方差时，都认为预测值的期望是实际值。因此，X(k+1|k)的协方差矩阵同样也是 X(k+1|k) 的协方差矩阵，又因为偏差X(k+1|k)的期望是0，因此协方差矩阵反映了X(k+1|k)在向量空间中的模长。注意，协方差矩阵都是对称矩阵。X(k+1|k)=

39、A X(k|k)+B U(k) (1)P(k+1|k)=A P(k|k) A+Q(k) (2)卡尔曼增益矩阵的计算。量测预测值为Z(k+1|k) = H X(k+1|k)新息协方差见公式（3）中的“分母”部分。量测预测值的期望是实际量测值。因此，Z(k+1|k)的协方差矩阵同样也是 Z(k+1|k) 的协方差矩阵，又因为偏差Z(k+1|k)的期望是0，因此协方差矩阵反映了Z(k+1|k)在向量空间中的模长。Kg(k+1)= P(k+1|k) H/ (H P(k+1|k) H + R(k+1) (3)后验预测值与后验预测协方差矩阵的计算X(k+1|k+1)= X(k+1|k)+Kg(k+1) (

40、Z(k+1)-H X(k+1|k) (4)P(k+1|k+1)=（I-Kg(k+1) H）P(k+1|k) (5)clearN=200;w(1)=0;w=randn(1,N)x(1)=0;a=1;fork=2:N;x(k)=a*x(k-1)+w(k-1);endV=randn(1,N);q1=std(V);Rvv=q1.2;q2=std(x);R#=q2.2;q3=std(w);Rww=q3.2;c=0.2;Y=c*x+V;p(1)=0;s(1)=0;fort=2:N;p1(t)=a.2*p(t-1)+Rww;b(t)=c*p1(t)/(c.2*p1(t)+Rvv);s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1);p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);endt=1:N;plot(t,s,r,t,Y,g,t,x,b); % Kalman滤波器 A=-1,0,1;1,0,0;-4,9,-2; B=6,1,1;C=0,0,1;D=0; S=ss(A,B,C,D); Q=0.001;R=0.1;kest,L,P=kalman(S,Q,R); 运行程序，得到系统Kalman滤波器的增益矩阵L与估计误差的协方差P为： L = 1.0641 1.1566 2.0393 P =