三角函数与向量的基本概念及综合应用.doc
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1、湖南省省级示范性高中-洞口三中 方锦昌 提供一、 向量的基本概念:1、 向量、平行向量(共线向量)、零向量、单位向量、相等向量:2、 向量的表示:、区别于|、|3、 向量的加法、减法:平行四边形法则和三角形法则 例题1、一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的速为2km/h;求船实际航行的速度大小和方向。(答案:4km/h,方向与水流方向成60角)【题2】设O为平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+l(+),l0,+),则点P的轨迹一定通过ABC的( D )A 外心 B 垂心 C 内心 D 重心 将上题中的条件改为=+l(+)则应选( C )
2、 例题3:(1)、化简下列各式:+;+-;+;(-)+(-)其中结果为0的有( 2)、在平行四边形ABCD中,=,DB=,则有:=-,=+-4、 实数与向量的积、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示: 注意点的坐标和向量的坐标的差别:向量的平等行和垂直坐标公式: 5、向量的数量积的概念,以及向量平行、垂直、长度、夹角:例1、已知平行四边形OADB中,=,=,AB与OD相交于点C,且|BM|=|BC|,|CN|=|CD|,用、表示、和。 例2、求证;G为ABC的重心的充要条件是:+=0 例3、已知AD、BE分别是ABC的边BC、AC上的中线,=,=,则=_ 例4、已知等差数列an的前n项之和为S
3、n,若M,N,P三点共线,O为坐标原点,且=a31+a2(直线MP不过点O),则S32等于多少? (2006年江西高考)已知等差数列an的前n项之和为Sn,若=a1+a200,且=A,B,C三点共线(该直线不过点O),则S200等于( ) A 100 B 101 C 200 D 201 例5、若的起点和终点坐标分别为(1,3),(4,7),则|=_ 已知=(1,2),=(x,1),且+2与2-平行,则x之值为_ 已知=(3,4),且的起点坐标为(1,2),终点坐标为 (x,3x),则等于_ 已知点M(3,-2),N(-5,-1),且=,则点P的坐标是_(答案:(-1,) 巩固练习:(一)平面向
4、量的坐标运算规律:设=(x1,y1),=(x2,y2),则+=_;-=_,l=_;|=;又=|cos=x1x2+y1y2则cos=; 若x1y2-x2y1=0; 若x1x2+y1y2=0, 例1、 已知=(3,5) =(2,3),=(1,-2),求() (答案:(21,-42) 已知=(3,-1),=(-1,2),则-3-2的坐标为_(答案:(-7,-1)已知|=4,|=3,(2-3)(2+)=61,求与的夹角.(为120)已知|=2,|=9, =-54,求与的夹角.(为135) 例2、已知=(1,2),=(x,1)且+2与2-平行,则x=_(答案:) 已知|=2,|=1, 与的夹角为,求向量
5、2+3与3-的夹角的余弦值.(答案:);已知向量=(cosa,sina),=(cosb,sinb),且,则+与-的夹角大小是_(90)已知向量与的夹角为120,且|=3,|+|=,则|=_例3已知=(1,2),=(-3,2),当k为何值时,k+与-3垂直?k+与-3平行,平行时它们是同向还是反向?(解:k=19; k=-1/3,反向.)例4:若向量+3垂直于向量7-5,且向量-4垂直于向量7-2,求向量与的夹角大小.(答案:60)已知向量=(2,7),=(x,-3),当与的夹角为钝角时,求出x的取值范围;若与的夹角为锐角时,问x的取值范围又为多少?(答案:为钝角时x)例5、已知=(cos,si
6、n),=(sin,cos),x0,,求;求|+|,设函数(x)=+|+|,求出(x)的最大值和最小值。解:=sin2x; |+|=(sinx+cosx), (x)的最大值为1+2,最小值2 例6、已知向量a=(sinq,1),b=(1,cosq),-q,若ab,求出q之值,求出|a+b|的最大值。(答案:q=-,|a+b|的最大值+1)例7、已知向量=(cosq,sinq),向量=(,-1),求|2-|的最大值。(答案为4)已知向量=(3,1),向量=(x,-3),且,求出x之值。(答案为1)已知|=3,|=2,且与的夹角为60,当m为何值时,两向量3+5与m-3互相垂直?(答案:m=)已知|
7、=3,|=8,向量与的夹角为120,则|+|之值为多少?(答案:7)已知|=|=1,及|3-2|=3,求出|3+|之值。(答案:2)已知,是非0向量,且满足-2,和-2,则与的夹角为多少?(答案:为60);已知向量=(4,-3),|=1,且=5,则=_(答案:(,)若向量与的夹角为60,且|=4,又有(+2)(-3)=-72,则向量的模为多少?(答案:为6);已知点A(-2,0),点B(3,0),动点P(x,y)满足=x2,则动点P的轨迹方程为_(答案:y2=x+6)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且a+c=2b,A-C=,求sinB(答案:)例8、已知向量,且|=4,|=3,
8、又(2-3)(2+)=61,则=_(120)例9、已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使,成公差小于0的等差数列,求点P的轨迹方程;若点P的纵坐标为,求tan之值。(答案:x2+y2=3(x0);) 例10、已知=(1,-2),=(1,l),若和的夹角为锐角,求l的取值范围;若和垂直,求l之值;若和的夹角为钝角,求l的取值范围;若和同向,求l的值;若和反向,求l的值;若和共线,求l的值。 例11、已知=(-3,2),=(2,1),=(3,-1),tR,若-t与共线,求实数t之值。求出|+t|的最小值及相应的t之值。四、三角与与向量的综合归纳1、三角变形公式主要是:诱导公式;sin(ab
9、),cos(ab),tan(ab);sin2a,cos2a,tan2a;sin2a,cos2a;asinq+bcosq;注意常数代换(如1= sin2a+cos2a;=sin30=cos60等;角的配凑(如a=(a+b)-b,2a=(a+b)+(a-b),a=+等)2、变形时,要注意角与角之间的相互关系,最常用的有:切割化弦、高次降幂、异角化同角等;(化同名、化同次、化同角)3、三角函数的图象和性质,要注意定义域、值域、奇偶性、图象对称性、周期性、单调性、最值;正、余弦函数作图的“五点法”,以及图象的变换。4、解三角形时,要充分利用正弦定理、余弦定理,结合三角形的内角和定理,三角变形公式去处理
10、问题;5、向量要注意选择几何、字符、坐标运算形式,力求简化运算过程;要将坐标运算与基底运算灵活加以应用;向量的数量积是解决有关平行、垂直、夹角、模、投影等问题的重要工具;利用|2=2可以实现数量积与模的相互转化。v 【题1】已知=(1,1)与+2的方向相同,则的取值范围是_(答案:(-1,+)已知非零向量与满足(+)=0,且=,则ABC为(D )A钝角 B Rt C 等腰非等边 D 等边已知=(3,1),=(-1,2),若,且,则=_(答案:(14,7)已知向量=(1,-2),=(1,l),若与的夹角为锐角,则实数l的取值范围是_(答案:(-,-2)(-2,)v 【题2】设函数(x)= ,其中
11、向量=(2cosx,1),=(cosx,sin2x),当(x)=1-,且x-,求x; 若函数y=2sin2x的图象按向量=(m,n)(|m|0)的图象上的一个最大值点和一个最小值点都在圆x2+y2=r2上,则(x)的最小正周期是_(答案:4)已知函数y=sin(x+j)(0,0j)是偶函数,其图象关于点M(,0)对称,且在0,上是单调函数,求和j的值.(答案:j=;=2或)【题6】已知函数(x)= sinxcosx-cos2x+(0)的最小正周期是,且图象关于直线x= 对称,求出之值; 若当x0,时,|a+(x)|4恒成立,求实数a的取值范围.解、(x)= -sin(2x+)+1;|a+(x)
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