常微分方程王高雄第三版答案.pdf

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1、习题 1.2 1 dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1 的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2 +c y=e 2 x +e c =cex 2 另外 y=0 也是原方程的解，c=0 时，y=0 原方程的通解为 y= cex 2 ,x=0 y=1 时 c=1 特解为 y= e 2 x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解。 解：y 2 dx=- (x+1)dy 2 y dy dy=- 1 1 +x dx 两边积分: -y 1 =- ln|x+1|+ln|c| y= | ) 1(|ln 1 +xc 另外 y

2、=0,x=- 1 也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e 特解：y= | ) 1(|ln 1 +xc 3 dx dy = yxxy y 3 2 1 + + 解：原方程为： dx dy = y y 2 1+ 3 1 xx + y y 2 1+ dy= 3 1 xx + dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1- y)xdy=0 解：原方程为： y y1 dy=- x x1+ dx 两边积分：ln|xy|+x- y=c 另外 x=0,y=0 也是原方程的解。 5 （y+x）dy+(x- y)dx=0 PDF 文件使用 pdfFactory Pr

3、o 试用版本创建 常微分方程答案 解：原方程为： dx dy =- yx yx + 令 x y =u 则 dx dy =u+x dx du 代入有： - 1 1 2 + + u u du= x 1 dx ln(u 2 +1)x 2 =c- 2arctgu 即 ln(y 2 +x 2 )=c- 2arctg 2 x y . 6. x dx dy - y+ 22 yx =0 解：原方程为： dx dy = x y + x x | - 2 )(1 x y 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 1 1 u du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|

4、+c 7. tgydx- ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy = ctgx dx 两边积分：ln|siny|=- ln|cosx|- ln|c| siny= xccos 1 = x c cos 另外 y=0 也是原方程的解，而 c=0 时，y=0. 所以原方程的通解为 sinycosx=c. 8 dx dy + y e xy3 2+ =0 解：原方程为： dx dy = y e y2 e x3 2 e x3 - 3e 2 y =c. 9.x(lnx- lny)dy- ydx=0 解：原方程为： dx dy = x y ln x y PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试

5、用版本创建 令 x y =u ,则 dx dy =u+ x dx du u+ x dx du =ulnu ln(lnu- 1)=- ln|cx| 1+ln x y =cy. 10. dx dy =e yx 解：原方程为： dx dy =e x e y e y =ce x 11 dx dy =(x+y) 2 解：令 x+y=u,则 dx dy = dx du - 1 dx du - 1=u 2 2 1 1 u+ du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12. dx dy = 2 )( 1 yx + 解：令 x+y=u,则 dx dy = dx du - 1 dx du -

6、 1= 2 1 u u- arctgu=x+c y- arctg(x+y)=c. 13. dx dy = 12 12 + + yx yx 解: 原方程为： （x- 2y+1）dy=(2x- y+1)dx xdy+ydx- (2y- 1)dy- (2x+1)dx=0 dxy- d(y 2 - y)- dx 2 +x=c xy- y 2 +y- x 2 - x=c 14: dx dy = 2 5 + yx yx 解：原方程为： （x- y- 2）dy=(x- y+5)dx xdy+ydx- (y+2)dy- (x+5)dx=0 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 dxy-

7、 d( 2 1 y 2 +2y)- d( 2 1 x 2 +5x)=0 y 2 +4y+x 2 +10 x- 2xy=c. 15: dx dy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy1+ 解：原方程为： dx dy =（x+4y） 2 +3 令 x+4y=u 则 dx dy = 4 1 dx du - 4 1 4 1 dx du - 4 1 =u 2 +3 dx du =4 u 2 +13 u= 2 3 tg(6x+c)- 1 tg(6x+c)= 3 2 (x+4y+1). 16:证明方程 y x dx dy =f(xy),经变换 xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y

8、(1+x 2 y 2 )dx=xdy 2） y x dx dy = 22 22 x-2 y x2 y + 证明： 令 xy=u,则 x dx dy +y= dx du 则 dx dy = x 1 dx du - 2 x u ，有： u x dx du =f(u)+1 ) 1)( 1 +ufu du= x 1 dx 所以原方程可化为变量分离方程。 1） 令 xy=u 则 dx dy = x 1 dx du - 2 x u (1) 原方程可化为： dx dy = x y 1+（xy） 2 (2) 将 1 代入 2 式有： x 1 dx du - 2 x u = x u (1+u 2 ) u=2 2

9、 +u+cx 17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。 解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y(x- x )+ y PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 则与 x 轴，y轴交点分别为： x= x0 - 0 y y y= y0 - x0 y 则 x=2 x0 = x0 - 0 y y 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为 0 的曲线方程，其中 = 4 。 解：由题意得：y= x y y 1 dy= x 1 dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 4 则 y=tgx 所以 c=1 y=x. 19.

10、证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则 y=kx 则：y=kx 2 +c 即为所求。 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 常微分方程习题常微分方程习题 2.1 1.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解. 解：对原式进行变量分离得 。故它的特解为 代入得把即两边同时积分得： e ex x yc yx x cycyxdxdy y 2 2 , 1 1,0,ln,2 12 = =+= , 0) 1(. 2 2 =+dyxdxy并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解. 解：对原式进行

11、变量分离得： 。 故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当 即时，两边同时积分得；当 x y cyxy xc yc y xydydx x y + = = + =+=+= + 1ln1 1 , 11, 00 1ln 1 , 1 1ln0, 1 1 1 2 3 yxy dx dy x y 3 2 1 + + = 解：原式可化为： xxy xxyxy xy y x y c cccx dx x dy y y x ydx dy 22 2 22 2 2 2 32 2 3 2 )1 (1 )1)(1 (),0(ln1ln 2 1 ln1ln 2 1 1 1 , 0 1 1 1 =+ =+=+ + =

12、 + + + = + ）故原方程的解为（ 即两边积分得 故分离变量得显然 . 0; 0;ln ,ln,lnln 0 11 000 0)1 ()1 (4 = =+=+ = = + = =+ xycyxxy cyxxycyyxx dy y y dx x x xyxy xdyyydxx 故原方程的解为 即两边积分 时，变量分离是方程的解，当或解：由 ： PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 10 ln1 ln ln1 ln1 , 0ln 0)ln(ln:9 3 1 :8 .coslnsinln 07 lnsgnarcsin lnsgnarcsin 1 sgn 1 1 , )1

13、 ( , 6 ln)1ln( 2 1 1 1 1 , 1 1 , 0)()( :5 3 3 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 c dxdy dx dy x y cy ud u u dx xx y u dx x y dy x y ydxdyyxx cdy y y y y dx dy cxy tgxdxctgydy ctgxdytgydx cxx x y cxxu dx x xdu xdx du dx du xu dx dy uxyu x y y dx dy x cxarctgu dx x du u u u dx du xu dx du xu dx dy uxyu x y xy xy dx

14、 dy dxxydyxy ee ee e e e e xy u ux yx u u xy xy yx x x += = = += + = = = += = += = = = += += = = += += +=+ = + + + + =+ += + = =+ + 两边积分 解：变量分离 ： 。代回原变量得： 则有：令 解：方程可变为： 解：变量分离，得 两边积分得： 解：变量分离，得： ： 也是方程的解。另外， 代回原来变量，得 两边积分得： 分离变量得： 则原方程化为：解：令 ： 。两边积分得： 变量分离，得：则 令解： PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 cxyx

15、arctg cxarctgtdxdt dx dt dx dt dx dy tyx dx dy c dxdy dx dy t t yx ee ee e xy xy yx +=+ += + += +=+ = += = = + )( , 1 1 1 1 1, .11 2 2 2 )( 代回变量得： 两边积分变量分离得： 原方程可变为： 则解：令 两边积分得： 解：变量分离， 12 2 )( 1 yxdx dy + = 解 cxyxarctgyx cxarctgttdxdt t t tdx dt dx dt dx dy tyx +=+ += + +=+ )( 1 1 1 1 2 2 2 ，代回变量，两

16、边积分变量分离 ，原方程可变为，则令 变量分离 ，则方程可化为：令 则有令 的解为解：方程组 U U dX dU XU X Y YX YX dX dY YyXx yxyxyx yx yx dx dy U 21 222 2 2 , 3 1 , 3 1 3 1 , 3 1 ; 012, 012 12 12 .13 2 + = =+= =+= + = PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 .7)5(7 2 1 77 2 1 7)7(, 7 1 ,1,5 2 5 ,14 ) 5( 2 2 cxyx cxt dxdtt t t dx dt dx dt dx dy tyx yx y

17、x dx dy yx t +=+ += = = + = + 代回变量 两边积分 变量分离原方程化为： 则解：令 15 18) 14() 1( 22 +=xyyx dx dy 原方程的解。 ，是，两边积分得分离变量 ，所以求导得，则关于令 解：方程化为 cxyxarctgdxdu u u dx du dx du dx dy xuyx yxxyyyxx dx dy +=+= + +=+=+ +=+= 6) 3 8 3 2 3 2 ( 94 1 4 9 4 1 4141 2) 14(18181612 2 2 222 16 225 26 2 2 yxxy xy dx dy + = 解：，则原方程化为，

18、令uy xxy xy dx dy xxyy xy dx dy = + = + = 3 23 2233 232 223 2 2)(3 2( 2)( 12 6 3 2 63 2 2 2 22 + = + = x u x u xxu xu dx du ，这是齐次方程，令 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 cxxyxy cxyxycxxyxy cxzzdx x dz dzz z zz xyxyzzzz z zz dx dz x dx dz xz z z dx dz xz dx du z x u 153373 3353373 537 2 2 332 22 )2()3( 023

19、)2()3 ,)2()3 112 06 2312306 ) 1.(. 12 6 12 63 =+ =+ =+= + = + =+= + += 的解为 时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（ ，两边积分的（时，变量分离当 是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当 ，所以，则 17. yyyx xxyx dx dy + + = 32 3 23 32 解：原方程化为 123 132 ; ; ; ; ; ) 123( ) 132( 22 22 2 2 22 22 + + = + + = yx yx dx dy yxy yxx dx dy 令) 1.( 123 132 ; ; ; ; ; ; ; ;

20、; ; ; , 22 + + = uv uv dv du vxuy则 方程组 ，）；令，的解为（1111 0123 0132 += =+ =+ uYvZ uv uv 则有 + + = =+ =+ z y z y dz dy yz yz 23 32 1 023 032 ）化为，从而方程（ 令 )2.(. 23 22 23 32 2 ，所以，则有 t t dz dt z t t dz dt zt dz dt zt dz dy z y t + = + + =+= 当 是原方程的解或的解。得，是方程时，即 22222 2)2(1022xyxytt= 当 cxyxydz z dt t t t 52222

21、 2 2 )2( 1 22 23 022+=+= + 两边积分的时，分离变量得 另外 cxyxyxyxy 522222222 )2(2+=+=原方程的解为，包含在其通解中，故，或 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 ，这也就是方程的解。，两边积分得分离变量得 ，则原方程化为令解 ）（ 并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程 c yx x y dx x du u u u u x u u u u x yx yx dx dy y x xdydxyxy uxyxyf dx dy y x += =+ + = = + = + = + = + += += +=+= +

22、= = =+= + = =+ = 4 ln 1 4 2 2 41 ) 2 2 ( 1 dx du uxy(2) 0.x,c 2 故原方程的解哺壙 也包含在此通解中。0y,c 2 即,c 2 丌 呦勖 dx x 1 2u du 与 ),(2u x 1 dx du 奃 哺u,xy令 1 dx dy y x 勖 哺0sxy是原方程的解，当0y或0 x当:(1)解 程。故此方程哺 哺 u)(uf(u) x 1 1)(f(u) x u 1)y(f(u)dx du f(u),1 dx du y 1 得： y dx du dx dy x所以, dx dy dx dy xy求 x 墊u,xy姮來 堈哺 2 2

23、 ).2( )1 (.1 )(18. 222 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 22 22 22 x y x y x y x y x u u u u y x 19. 已知 f(x)= x xfxdtxf 0 )(, 0, 1)(的一般表达式试求函数. 解：设 f(x)=y, 则原方程化为= x y dtxf 0 1 )( 两边求导得 1 2 y y y= cx y y cx dyy dx dx dy y + =+= 2 1 ; ; ; ; ; 1 2 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 23 3 所

24、以两边积分得 代入把 cx y + = 2 1 = x y dtxf 0 1 )( PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 x yccxccxcxdt ct x 2 1 , 02)2(; ; ; ; ; ; ; ; ; ;2 2 1 0 =+=+= + 所以得 20.求具有性质 x(t+s)= )()(1 )()( sxtx sxtx + 的函数 x(t),已知 x(0)存在。 解： 令 t=s=0 x(0)= )0(1 )0()0( x xx + = )0()0(1 )0(2 xx x 若 x(0)0 得 x 2 =- 1 矛盾。 所以 x(0)=0. x(t)=)(1

25、)(0( )()(1 )(1)( lim )()( lim 2 2 txx txtxt txtx t txttx += + = + ) )(1)(0( )( 2 txx dt tdx += dtx tx tdx )0( )(1 )( 2 = + 两 边 积 分 得arctg x(t)=x(0)t+c 所以 x(t)=tgx(0)t+c 当 t=0 时 x(0)=0 故 c=0 所以 x(t)=tgx(0)t 02411 黄罕鳞（41） 甘代祥（42） 习题习题 2.2 2.2 求下列方程的解 1 dx dy =xysin+ PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 解： y

26、=e dx (xsine dx cdx+) =e x - 2 1 e x (xxcossin+)+c =c e x - 2 1 (xxcossin+)是原方程的解。 2 dt dx +3x=e t2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t2 所以：x=e dt3 (e t2 e dt 3 cdt +) =e t 3 ( 5 1 e t 5 +c) =c e t 3 + 5 1 e t2 是原方程的解。 3 dt ds =-stcos + 2 1 t 2sin 解：s=e tdtcos (t 2sin 2 1 edt dt 3 c+ ) =e tsin (+ cdttet tsin c

27、ossin) = e tsin (cete tt + sinsin sin) =1sin sin + tce t 是原方程的解。 4 dx dy nxx ey n x = ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy nxx ey n x += )(cdxexeey dx x n nx dx x n + = )(cex xn += 是原方程的解. 5 dx dy +1 21 2 y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1 21 2 + y x x = dx x x ey 2 12 (cdxe dx x x + 2 21 ) ) 2 1 (ln 2+ = x e)( 1 ln

28、2 + cdxe x x PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 =)1 ( 1 2 x cex+ 是原方程的解. 6 dx dy 2 34 xy xx + = 解： dx dy 2 34 xy xx + = = 2 3 y x + x y 令 x y u= 则 uxy = dx dy =u dx du x+ 因此： dx du xu += 2 u x 2 1 udx du = dxduu= 2 cxu+= 3 3 1 cxxu+=3 3 （*） 将 x y u=带入 （*）中 得： 343 3cxxy=是原方程的解. PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用

29、版本创建 3 3 3 2 ( ) 2 1 ( ) 2 2 7.(1) 1 2 (1) 1 2 ( ),( )(1) 1 (1) ( ) 1 (1) dx P x dx x P x dx dyy x dxx dyy x dxx P xQ xx x eex eQ x dxc x + =+ + =+ + =+ + =+ + + P(x)dx 23 2 解： 方程的通解为： y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)( (x+ 2 3 2 2 1 (1) () 2 1 1 ,( ) ( ) dy y x c dyy dxxy dx xy dyyy Q yy y ey Q y dyc +

30、 + + =+ = = + 2 24 3 P(y)dy P(y)dyP(y)dy 1)dx+c) =(x+1) 即：2y=c(x+1) +(x+1)为方程的通解。 8. = x+y 解： 则P(y)= e 方程的通解为： x=ee 2 3 3 1 *) 2 2 y dyc y y cy y + + =y( = 即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 ( ) ( )( ) 1 9., 1 ),( ) ( ) 0 1 adx P x dx a x P x dxP x dx a a dyayx a dxxx ax P xQ

31、 x xx eex eeQ x dxc a a + =+ + = = + = = 为常数 解：（ 方程的通解为： y= 1 x+1 =x (dx+c) xx 当 时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c 当 时，方程 01a aa a 的通解为 y=cx+xln/x/-1 当 ， 时，方程的通解为 x1 y=cx +- 1- 3 3 3 1 ( ) ( )( ) 3 10. 1 1 ( ),( ) 1 ( ) (*) dx P x dx x P x dxP x dx dy xyx dx dy yx dxx P xQ xx x ee x eeQ x dxc x x dxc c x c x +=

32、= + = = = + + + + 3 3 解： 方程的通解为： y= 1 = x x = 4 x 方程的通解为： y= 4 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 ( ) ( )( ) 2 2 33 33 23 3 23 2 3 3 2 3 11. 2() 2() ( )2 ,( )2 ( ) ( 2) p xxdx x p xp x x dy xyx y dx xyx y dx xyx y dx xyx dx yz dz xzx dx P xx Q xx edxee edxedxQ x dxc ex += = + = + = + = = + = = + 2 3 -2

33、x dy 解： 两边除以y dy dy 令 方程的通解为： z= =e 2 2 2 ) 1 1)1,0 x x dxc ce ycey + + += 2 2 =x 故方程的通解为： (x且也是方程的解。 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 2 2 2 1 2 11 1 ( )( ) 22 2 ln1 12.( ln2) 424 ln2 ln2 ln2 2ln 2ln ( ),( ) ( ) ln1 ()( P x dxP x dx dxdx xx cx yxydxxdyx dyxy y dxxx y dyxy y dxxx dyxy dxxx yz dzx z dxx

34、x x P xQ x xx zeeQ x dxc x zeedxcx x =+ = = = = = = =+ =+= 解： 两边除以 令 方程的通解为： 2 2 2 ln () ln1 424 ln1 : ()1, 424 x dxc xx cx x cx yx + =+ += 方程的通解为且y=0也是解。 13 2 2 2(2) 21 22 xydyyx dx dyyxy dxxyxy = = 这是 n=-1 时的伯努利方程。 两边同除以 1 y ， 2 1 2 dyy y dxx = 令 2 yz= 2 dzdy y dxdx = 2 22 11 dzyz dxxx = = PDF 文件使

35、用 pdfFactory Pro 试用版本创建 P(x)= 2 x Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式 22 () dxdx xx zeedxc =+ = 2 xx c+ 22 yxx c=+ 14 2 3 y dyex dxx + = 两边同乘以 y e 2 2 ()3 yy ydy exe e dxx + = 令 y ez= y dzdy e dxdx = 22 22 33dzzxzzz dxxxx + =+ 这是 n=2 时的伯努利方程。 两边同除以 2 z 22 131dz z dxxzx =+ 令 1 T z = 2 1dTdz dxz dx = 2 31dTT dxxx =+

36、 P（x）= 3 x Q(x)= 2 1 x 由一阶线性方程的求解公式 33 2 1 () dxdx xx Teedxc x =+ = 32 1 () 2 xxc + = 13 1 2 xcx + 13 1 ()1 2 zxcx += 13 1 ()1 2 y excx += 23 1 2 yy x ecex+= 23 1 2 y xx ec += PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 15 33 1dy dxxyx y = + 33 dx yxy x dy =+ 这是 n=3 时的伯努利方程。 两边同除以 3 x 3 32 1 dxy y x dyx =+ 令 2 x

37、z = 3 2 dzdx x dydy = 3 2 2 2 dzy y dyx = = 3 22yzy P(y)=-2y Q(y)= 3 2y 由一阶线性方程的求解公式 22 3 (2) ydyydy zey edyc =+ = 22 3 (2) yy ey e dyc + = 2 2 1 y yce+ + 2 22 (1)1 y xyce+ += 222 22 (1) yyy x eycee + += 2 2222 (1) y exx ycx+= 16 y= x e + 0 ( ) x y t dt ( ) x dy ey x dx =+ x dy ye dx =+ P(x)=1 Q(x)=

38、 x e 由一阶线性方程的求解公式 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 11 () dxdx x yee edxc =+ =() xxx ee e dxc + =() x exc+ 0 ()() x xxx exceexc dx+=+ c=1 y=() x exc+ 17 设函数 (t)于t=kvktk dt dv m 即：(*)( 12 t m k v m k dt dv + = (*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有 )( 22 1 cdtet m k eV dt m k dt m k + = )( 222 2 2 1 2 1 ce k mk et k k

39、e t m k t m k t m k += 又当 t=0 时，V=0，故 c= 2 2 1 k mk 因此，此质点的速度与时间的关系为：)( 22 1 2 2 1 2 k m t k k e k mk V t m k += 36. 解下列的黎卡提方程 （1） xxx eyeyey 22 12=+ 解：原方程可转化为：(*),2 322xxxx eeyeyey+= 观察得到它的一个特解为： x ey =，设它的任意一个解为zey x +=， 代入（*）式得到：(*)(2)( )( 322xxxxxx x eezeezee dx zed += + 由（*）- （*）得： 2 ze dx dz x

40、 = 变量分离得：dxe z dz x = 2 两边同时积分：ce z x += 1 即： ce z x + = 1 故原方程的解为 x x ec ey + += 1 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 （2）xxxyyy 22 sincossin2=+ 解：原方程可化为：xxxyyy 22 sincossin2+= 由观察得，它的一个特解为xysin=，设它的任意一个解为zxy+= sin，故 22 )sin2sin2(zzzxx dx dz =+= 变量分离再两边同时积分得：cx z += 1 即 cx z + = 1 故原方程的解为 cx xy + += 1 s

41、in （3）1 222 +=xyyxyx 解：原方程可化为： 2 2 11 x y x yy+= 由观察得到，它的一个特解为 x y 1 =，设它的任一个解为z x y+= 1 ，故 2 1 zz xdx dz +=，该式是一个2=n的伯努利方程 两边同除以 2 z得到：1 111 2 += zxdx dz z 即：1 11 1 = zxdx z d ，令u z = 1 ， 则：1 1 =u xdx du ，根据一阶非齐线性方程的求解公式得： =+= |)|()( 11 xencxcdxeeu dx x dx x 故： |)|( 1 xencx z = 因此：原方程的解为：1 | 1 = xe

42、nc xy （4）1)(4 22 =yyx 解：原方程可化为： 2 2 4 1 x yy+= 由观察得到，它的一个特解为 x y 2 1 =，设它的任一个解为z x y+= 2 1 ，于 是 2 1 zz xdx dz +=，这是2=n的伯努利方程 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 两边同除以 2 z 得到：1 111 2 += zxdx dz z 即：1 11 1 = zxdx z d 则： =+= |)|()( 1 11 xencxcee z dx x dx x 即： |)|( 1 xencx z = 故：原方程的解为：1 | 2 2 = xenc xy （5）

43、2)( 22 =+yyx 解：原方程可化为： 2 2 2 x yy+= 由观察得，它的一个特解为 x y 1 =，故设它的任一个解为z x y+= 1 ，于是 2 2 zz xdx dz =，这是2=n的伯努利方程 两边同除以 2 z 得到：1 121 2 = zxdx dz z 即：1 12 1 += zxdx z d 则： +=+= ) 3 ( 1 )( 1 3 2 22 c x x cdxee z dx x dx x 故：原方程的解为： xcx x y 13 3 2 + =，即 3 3 2 xc cx xy + =. （6）0)2( 22 =+xyyx 解：原方程可化为： 2 2 44

44、x y x yy+= 由观察得到它的一个特解为 x y 1 =，设它的任一个解为z x y+= 1 ，于是 2 2 zz xdx dz =，这是2=n的伯努利方程 两边同除以 2 z得到：1 121 2 = zxdx dz z PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 即：1 12 1 += zxdx z d 则： +=+= ) 3 ( 1 )( 1 3 2 22 c x x cdxee z dx x dx x 从而： += )( 1 22 cdxee z dx x dx x ) 3 ( 1 3 2 c x x += 故原方程的解为： )( 431 3 3 3 2 cxx

45、cx cx x x y + + = + += 即： )( 4 3 3 cxx cx xy + + = （7）xyxyxy+=)21 () 1( 2 解：由观察得到它的一个特解为1=y，故设它的任一个解为zy+=1，于是 2 ) 1(zxz dx dz +=，这是 n=2 的佰努利方程， 两边同除以 2 z 得：) 1( 11 2 +=x zdx dz z 即：)1 ( 1 1 x zdx z d += 从而：)1 ( 1 cdxexe z dxdx + = xxx cexcxee+=+= )( 故原方程的解为： x cex zy + +=+= 1 11 习题习题 3.1 1 求方程求方程 dx dy =x+y 2 通过点通过点(0,0)的第三次近似解；的第三次近似解； 解： 取0)( 0 =x 2 00 2 001 2 1 )()(xxdxdxyxyx xx =+= PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 5222 00 2 102 20 1 2 1 ) 2 1 ( )()(xxdxxxdxxxyx xx +=+=+= dxxxxy