北师大版-九年级下册-数学-第二章--《二次函数》.docx

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1、二次函数学生姓名性别年级学科授课教师上课时间年 月 日第（ ）次课共（ ）次课课时： 3 课时教学课题二次函数教学目标1、理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如火热根据实际问题确定自变量的取值范围；2、用待定系数法求函数解析式；会根据已知的条件的特点选用恰当的形式设为二次函数的解析式并求解；教学重点与难点重点：理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法难点：掌握二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式；一、作业检查 作业完成情况：优 良 中 差二、 内容回顾 回顾上节课内容三、 知识整理 知识点一、二次函数1二次函数的定义（1）二次函数的定义：

2、 一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）也叫做二次函数的一般形式 【注意】 判断一个函数是二次函数需要注意三点： （1）整理后，函数表达式是整式； （2）自变量的最高次数为2； （3）二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意已知条件中给出字母系数是 否是常数（2） 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义 【练一练】1.函数y=3x2+x4是（

3、）A一次函数 B二次函数 C正比例函数 D反比例函数2、二次函数y=x2+2x7的函数值是8，那么对应的x的值是（）A3 B5 C3和5 D3和53.下列函数不属于二次函数的是（）Ay=（x1）（x+2） By=12（x+1）2 Cy=2（x+3）22x2 Dy=13x24、若函数y=4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（）A1 B1 C1 D3225、 若函数y=（m2+m）是二次函数，则m=6、6、 在边长为6 cm的正方形中间剪去一个边长为x cm（x6）的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，y与x之间的函数关系是7下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a0）模型的

4、是（）A在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D圆的周长与圆的半径之间的关系8在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（）Ay=x24 By=（2x）2Cy=（x2+4） Dy=x2+169某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）Ay=x2+a By=a（x1）2Cy=a（1x）2 Dy=a（1+x）2知识点二、二次函

5、数的图像与性质函数二次函数图像a0a0，抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0） （3）在对称轴的左侧，即当x0时，y 随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=0时，y有最小值，（1）a0，抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）；（3）在对称轴的左侧，即当x0时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=0时，y有最大值，函数二次函数图像a0a0，抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是，顶点坐标是（，）（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线的

6、顶点是抛物线上的最低点，当x=时，y有最小值，（1）a0，抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2） 对称轴是，顶点坐标是（，）（3） 在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简 记左增右减；（4）抛物线的顶点是抛物线上的最高点，当x=时，y有最大值，练一练1. 若二次函数的图象的开口方向向上，则的取值范围为 .2. 二次函数的顶点坐标为 ，对称轴为 .3. 若点（2，8）与点（，）都在二次函数的图象上，则的值为 .4. 已知点（，）在二次函数的图象上，则的值为 .5.请你写出一个顶点为原点，且开口方向向下的二次函数表达式为： .6. 若二次函数在对称轴右边的图象上，随的增大而减小，则的取

7、值范围为 .7. 二次函数的图象必经过的一点的坐标为 .8. 若点（，）与点（，）都在二次函数的图象上，且关于对称轴对称，则的值为 .7当m=时，函数y=（m1）是关于x的二次函数9如图，在ABC中，AB=AC，点D在BC上，DEAC，交AB与点E，点F在AC上，DC=DF，若BC=3，EB=4，CD=x，CF=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围10 二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与坐标轴分别交于点（1，0）和（0，1），顶点在第四象限，若n=a+b+c，则n的取值范围是11抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x32101y6046

8、6容易看出，（2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为12开口向下的抛物线y=（m22）x2+2mx+1的对称轴经过点（1，3），则m=13已知，二次函数的表达式为y=4x2+8x写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与x轴的交点的坐标知识点四、二次函数表达式一般式 顶点式 交点式 ：设抛物线与x轴的交点A，B，则该抛物线的解析式是： （1） 几种二次函数图像特征函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()（2） 抛物线解析式的求法 待定系数法求二次函数解析式 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目

9、给定的条件，选择恰当的方法设出关系式， 从而代入数值求解 已知抛物线上的三点，可用一般式列三元一次方程组求解 若已知顶点或轴对称、最大值或最小值，可设顶点式 若已知抛物线与x轴的两个交点，可设交点式或一般式 规律小结：求二次函数解析式应该根据所给条件，灵活选择函数关系式，应用待定系数法求出未知系数。练一练1、抛物线y=（x1）2+2的顶点坐标是2、抛物线y=x22x+3的顶点坐标是3、抛物线y=（x1）2+3的对称轴是直线4、（1）函数y=12（x1）2+3，当x时，函数值y随x的增大而增大 （2）抛物线y=ax2+12x19顶点横坐标是3，则a= （3）已知抛物线y=x2+（m1）x14的顶

10、点的横坐标是2，则m的值是5、已知抛物线y=2（x+1）23，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是6、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A y=x22x+3 By=x22x3 Cy=x2+2x3 Dy=x2+2x+37、已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，-3），（2，-8），求此函数的解析式。8、已知二次函数的图象的顶点坐标为（-2，-3），且图象过点（-3，-2）求此函数的解析式。9、如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,将AOB绕点O顺时针转90得到A1OB1. (1)在图中画出A1OB1; (2)求经过A、A1、B1三点的抛物线的解

11、析式. 10、已知二次函数的图象与轴的交点为（，0）和（3，0），且交轴于（0，4），求此函数的解析式11、如图，A（1，0）、B（2，3）两点在一次函数y1=x+m与二次函数y2=ax2+bx3的图象上（1）求m的值和二次函数的解析式（2）请直接写出使y1y2时自变量x的取值范围12、 已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点（2，0）、（1，6）（1）求二次函数的解析式；（2）不用列表，在下图中画出函数图象，观察图象写出y0时，x的取值范围13、已知二次函数的图象经过点（0，3），（3，0），（2，5），且与x轴交于A、B两点（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（2，3）是否在这

12、个二次函数的图象上？如果在，请求出PAB的面积；如果不在，试说明理由14. 已知二次函数图象的顶点是（1，2），且过点（0，32）（1）求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；（2）求证：对任意实数m，点M（m，m2）都不在这个二次函数的图象上知识点三、二次函数（）的图像 在同一直角坐标系中画出二次函数，的图象。通过上面的函数图象的研究，我们可以发现三个函数图象形状一样，位置不同。抛物线向右平移一个单位，就可以得到抛物线；抛物线向左平移一个单位，就可以得到抛物线。结论： 抛物线与抛物线形状相同，位置不同。抛物线的图象，可以由的图象移动得到： 将向上平移个单位，得到 将向右平移h个单位，得到也

13、就是将向上平移（0）个单位，右平移h（h0）个单位，便可以得到的图象。 设，将抛物线向右平移h个单位，得到 将抛物线向左平移h个单位，得到 将抛物线向上平移k个单位，得到 将抛物线向下平移k个单位，得到 二次函数（又称为二次函数的顶点式）的性质：（1）当a0时，开口向上；a0时，开口向下（2）对称轴是直线（3）顶点坐标是（h , k）变式训练1下列二次函数的开口方向向上的是（ ）A B C D2若二次函数的开口方向向下，则的取值范围为（ ）A B C D3若二次函数与二次函数图象的形状完全相同，则与的关系为（ ）A= B= C= D无法判断4将二次函数的图象向下平移5个单位，得到的抛物线的解析

14、式为（ ）A B C D5若二次函数由二次函数平移得到的，则的值为（ ）A1 B C1 或 D0或6将二次函数图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为（ ）A（0，） B（0，4） C（5，） D（，）7. 将抛物线y=2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）Ay=2(x+1)2By=2(x-1)2Cy=2x2+1Dy=2x2-18. 二次函数y=(x+1)2+2的最小值是（ ） A2 B1 C3 D 239.抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）ABCD填空题1将抛物线沿轴向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再沿轴向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 .2把抛物线沿轴向下平移7个

15、单位得到的抛物线的解析式为，则 ， .3将抛物线沿轴向左平移6个单位长度得到的新的二次函数解析式为 .此时函数的顶点坐标为 ，对称轴为 .4把抛物线沿轴向右平移3个单位长度得到的新的二次函数解析式为，则 ， .知识点四、二次函数与一元二次方程的关系000方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根方程没有实数根抛物物与x轴有两个交点抛物物与x轴只有一个交点抛物物与x轴没有交点当二次函数：（1）恒大于零时，必须满足：； （2）恒小于零时：例1、已知二次函数的图象经过点（1，1）求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数变式训练1. 已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与

16、x轴有交点，则k的取值范围是（ ）A. k4B. k4C.k4且k3D.k4且3 2. 已知抛物线y=12x2+x+c与x轴有交点 (1)求c的取值范围； (2)试确定直线ycx+l经过的象限，并说明理由3. 如图，将二次函数y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上，判断方程式31x2-999x+892=0的两根，下列叙述何者正确？（ ）A两根相异，且均为正根 B两根相异，且只有一个正根 C两根相同，且为正根 D两根相同，且为负根4. 抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，则AB的长为 ，三角ABC的面积是 。 5. 若二次函数（），当取、时，函数的值相等，则当取时，函数值

17、为 .6. 若（-5，0）是抛物线与轴的一个交点，则另一交点坐标为 . 7. 抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点的个数有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个8. 已知二次函数y=2x2-mx-m2. (1)求证:对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点; (2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A、B,且A点坐标为(1,0),求B点坐标. 知识点四、二次函数的应用在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。例题精讲【例1】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件

18、；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？【解析】调整价格包括涨价和降价两种情况，分别列出利润与价格变化的函数关系，即可求解.解：（1）设每件涨价x元，由题意可得利润为 当x = = 5时，y最大值 = 1025+1005+6000 = 6250 （2）设每件降价x元，由题意可得利润为 当x = = 2.5时，y最大值 = 206.25+1002.5+6000 = 6150当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元.总结：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方

19、求出二次函数的最大值或最小值练习1、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（）A、 B、 C、 D、2、有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为_.3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是_4. 小磊要制作一个三角形的钢架模型，再这个三角形中，长度为xcm的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积Scm2随x的变化而变化。（1）请直写出S与x之间的函

20、数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？ 5、图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加多少？ 6、下图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A B C、 D 、 7、如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（）A、 B、 C、 D、. 8、如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在

21、y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取） 9、如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AEEF设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（）A、 B、 C、 D、 10、某广场有一喷水池，水从地面

22、喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是_. 11、如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a10m) (1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由 12、有长24m的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为xm，面积是Sm2，则S与x的关系式是（） A、 B

23、、 C、 D、 13、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式； (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？ 14、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系) 根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上

24、的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第8个月公司所获利润为多少万元? 15、某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品现准备增加一批同类机器以提高生产总量在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?16、随着和城近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调

25、查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？ 六、课堂检测(一)选择题OANBDC1. 如图:抛物线y=x+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OBC=45,则下列各式成立的是( ) A.b-c-1=0 B.b+c-1=0 C.b-c+1=0 D.b+c+1=02. 已知抛物线y=x-2cx+4的顶点在x轴,则c的值一定是( ) A.

26、1 B.2 C.-2 D.2或-23. 若关于x的不等式组无解,则二次函数y=(2-a)x-x+的图象与x轴( )A.没有交点 B.相交于两点 C.相交于一点 D.相交于一点或没有交点4. 抛物线y=3x+5x与两坐标轴交点的个数为( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.无Oyy12x图25. 函数y=ax-bx+c的图象过(-1,0),则+的值是( ) A.-3 B.3 C. D.-6. 已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图2所示,则下列关系正确的是( ) A.0-1 B.0-2 C.1-2 D.-=17. 如图，直线与抛物线的图象正确的是（ ） 8函数y=ax1与y=ax2bx1（a

27、0）的图象可能是（ ）A B C DOyxB9如图，把抛物线与直线围成的图形绕原点顺时针旋转后，再沿轴向右平移1个单位得到图形则下列结论错误的是（ ）A 点的坐标是 B 点的坐标是C四边形是矩形 D若连接则梯形的面积是310要得到二次函数的图象，需将的图象（ ） A向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D向右平移1个单位，再向下平移1个单位11Oxy11已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：；其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD（二）填空题1、已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的

28、距离为1，则该二次函数的解析式为 2、把抛物线yax+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是yx3x+5，则a+b+c=_3、如图所示，抛物线（）与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是 4、若抛物线与的两交点关于原点对称，则分别为 2、已知二次函数，且，则一定有（ ） A. B. C. D. 3、已知抛物线yax2bxc的图象如图所示，则一元二次方程ax2bxc0( ) A没有实根 B只有一个实根 C有两个实根，且一根为正，一根为负 D有两个实根，且一根小于1，一根大于2 4、二次函数(1)yx2+x2；(2) yx26x+9；(3) yx2x+1的图象

29、如下图所示 （1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ （2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？5、 若二次函数yax2bxc的图象经过P(1，0)点，则abc_6、一次函数y2x1与二次函数yx24x3的图象交点( )A只有一个B恰好有两个C可以有一个，也可以有两个D无交点. 7、已知抛物线与x轴交于A（，0），B（，0）（）。 （1）求的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；（2）若抛物线与y轴交于点C，且，求的值.8、 当m_时，函数y2x23mx2m的最小值为9、已知：抛物线。 （1）试求k为何值时，抛物

30、线与x轴只有一个公共点； （2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C。 试问：是否存在实数，使与相似？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由。.10、已知二次函数的图象与y轴交点坐标为(0，a)，与x轴交点坐标为(b，0)和(b，0)，若a0，则函数解析式为( )ABC D11、 m为何值时，抛物线y(m1)x22mxm1与x轴没有交点? 12、 当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点，有一个交点，无交点？ 13、已知二次函数 （1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点； （2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为

31、（1，0）.求B点坐标.七、 课堂小结八、 课后作业1如果抛物线y=x26x+c2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）A8 B14 C8或14 D8或142抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（1，0），（3，0），其形状与抛物线y=2x2相同，则y=ax2+bx+c的函数关系式为（）Ay=2x2x+3 By=2x2+4x+5Cy=2x2+4x+8 Dy=2x2+4x+63函数y=ax2（a0）的图象经过点（a，8），则a的值为（）A2 B2 C2 D34已知二次函数图象经过（1，0），（2，0）和（0，2）三点，则该函数图象的关系式是5已知抛物线经过点A（1，5），B（5，5）

32、，C（1，9），则该抛物线上纵坐标为9的另一点的坐标是6抛物线y=x22x+a2的顶点在直线y=2上，则a=7已知二次函数a的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，2），求这个二次函数的关系式8在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，4），且过点B（3，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标9已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x0时，其图象如图所示（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x0时的图象；（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y0