无穷问题补遗.docx

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1、无穷问题补遗沈卫国1、事实上，正如笔者系列文章所分析的，康托对角线法声称证明了实数的不可数性。 但实际上，正是需要先假设了 “实数不可数”，才能使用康托对角线法。为逻辑循环。它只 是外表上先假设了 “实数可数。徒具反证法的形式。但实际上，由于多进制下每一位可以 对应不止一个数（状态）这个隐含的前提，因此作为多进制之所以提出的目的，就是位数不 能与其能表达的所有数一一对应。或其目的就是用较少的数（或“位置二这里是位数）去 尽可能多地表达更多的数，以节约所占空间位置。因此对角线法的运用前提，等于要有一个 隐含的实数不能与某自然数序列一一对应的前提、假设。具体说就是，它先假设了所列实数 与一个自然数

2、序列A （位数）一一对应上了，然后必然就不能再与多进制下的位数（作为自 然数序列A）可以表达的同样也是自然数的自然数序列B对应了。于是，康托对角线法 所实际证明的，实质是“在所列实数与自然数序列A对应的前提下，不能再与自然数序 列B一一对应”这一点而已。因此，这个证明并没有证明实数在任何情况下都不能与自然 数序列一一对应。正如你不能假设先假设一个自然数序列a对应于另一个自然数序列b 的偶数序列。然后令某集合先与自然数序列a 一一对应，但由于a已经与b的偶数序列一 一对应了，而b的偶数序列是b序列的一个真子集，此时不能再一一对应了，于是该“某集 合”不能与自然数序列b一一对应。然后就此得出结论说

3、如此证明了该“某集合”在任何情 况下与自然数序列都不能一一对应。这当然是错的。总之，多进制的位数（当然是作为自然数的），当然不能与其可以表达的所有数一一 对应（这是多进制之所以产生的目的），但这并不意味中它所能表达的所有数不能再与其它 独立于这里的位数的自然数去一一对应。正如一偶数集作为一个自然数a的真子集当然不能 再与它所属的那个自然数集a 一一对应，但这不能排除该偶数集就不能与其它自然数集b 一一对应。偶数可以与自然数一一对应，这是众所周知的事实。2、无穷小数表示的无理数，不可能只依赖它来精确定位，也就是不可能随着位数的 增加趋于数轴上的一个确定点。因为单纯从这个总有不确定的位上的数需要去

4、确定这点看, 它不具有可操作意义的精确定位性。只能是相对定位。也就是在某一个范围。叫它“无理”， 一点不错。因为无穷小数表示的无理数，是无法确定其所有无穷位的状态的，可以确定的位 数再多，也没有用，因为无穷位无法穷尽。任何人也拿不出一个完整的、无穷位的小数来。 有理数是循环小数，还好说一点。无穷位不可穷尽，但任何一位的数值是可以确定的。但无 理数不行。它不但有无穷位，而且每位的数（状态）都要单独地，一般看来是无规地来确定， 或通过某种计算来不断确定每位的数，本质是，知道了 n位上的数，才可以有它再知道n+1 位上的数。换言之，每位上的数总可以无限地确定下去，但同时也都有位于其上的数还没有 确定

5、（无限地总存在着没有确定的位上的数）。即，不可能都最终全部确定。因此这个无穷 小数本质上不可确定也永远不可确定。因此，无理数的真正定义，只能另辟蹊径，如中国古 代九章算术的定义（见吴文俊相关文章）。笔者前期文章中实际也独立得到了无理数的真 正的、“有理”的定义。比方由两个单位1的直角边，我们可以得到“根号下2”这个作为 斜边长度的“无理数”，它是可以准确在二维空间中定位的，作为“斜边的长度”，它当然是 可以定位的，也就是这个“长度”是实实在在的、现实的。因此也就是其实是“有理的”， 没有什么可“无理”的。但这个“数”（由斜边的角度与长度决定的位置）却不能表达为一 个“比例数”（在直角边长度是比

6、例数的前提下），也就是一个“有理数二而有理数是可以 表达成一个无限循环小数或有限位小数的。而非比例数的无限非循环小数无法直接在当然是 一维的数轴上精确定位，因为要通过计算步骤才能知道下面的位是具体的什么数，而这个步 骤是无穷的、不可穷尽的。因此它必然是不可精确表达、定位的。于是无理数实际可以定义 成：无法用比例数形式（有理数）在数轴上精确定位的数。由此可以看出，所谓通常我们教 科书中教的看似严格的试图在有理数（比例数）的基础上的戴德金法、康托法、确界法的所 谓定义、论证、推导，实际都解决不了无理数的定位问题。通常人们常说极限法或极限的存 在、定位，需要无矛盾的实数理论（也就是无理数理论，“连续

7、统理论”），但实际上无理数 的定义，又正需要极限本身（比方“确界”，就是极限的换一种说法）。可见如果像西方学者 这样把无理数直接用非循环无穷小数定义在数轴上，而且是用有理数的序列来定义，是注定 不能成功的。弄来弄去，还是一个循环定义。那么，无理数可不可以在数轴上精确定位呢？ 当然可以。但不能直接定位。要在二维、三维等高维空间中的线段的位置、形状关系来定位。 比方直角三角形的各边之间的关系，特别是斜边与直角边之间的长度关系。各边的长度都是 实实在在的，但一般不可相互公度（除了特例，如“勾三股四玄五”）。即不能用比例数互相 表达。因此，对应于上面笔者给出的无理数的定义，我们还可以有定义：必须借助于

8、一维线 段以上的空间维度（如平面、体积等）之间的位置关系才可以在一维数轴上准确定位的数。 比方直角三角形各边的线段关系，如“根号下2”，就是两个长度为单位“1”的直角边与斜 边的关系下得到的。在斜边上，“根号下2”当然可以定位（等价于长度可以确定）。但它不 能直接在任何一条直角边上定义，必须借助于成直角的两条长度为单位“1”的边来决定。 舍此没有任何方法。而圆与其直径之间的关系也是如此。直径定了，相应的圆也就定了。反 之也一样。但二者之比（直径为单位1时，就是圆本身）不能用比例数（有理数）表示。无 理数兀根本就不能在一维的直线上直接定义，或可以由比例数（有理数）序列不断逼近的方 式来得到。这才

9、是无理数之所以看似“无理”的本质。希腊数学传承的西方数学求助于有理 数序列、极限、确界概念的试图直接在一维的线（数轴）上来定义无理数的想法与做法，根 本就是错的，它什么也没有证明，什么也没有得到。得到的只是一个定义，公理，规定等。 没有在根本上把道理讲清楚。而吴文俊所揭示的（他也是看的其他人的成果），中国古代（ 九章算术）对无理数的定义，大致实际与笔者独立得到的上述认识相当。也就是很自然地， 既然一维无法准确定位，就扩展到二维等高维空间去定位好了。就是这么回事，有什么稀罕 的？这本就是顺理成章的事情。很自然。“得来全不费工夫二而希腊数学一致其传承西方数 学，非要囿于一维空间来定位、定义无理数，

10、它当然就真的看上去“无理” 了。这本来就没 有道理嘛。笔者也是费了不少周折（铁鞋踏破无觅处）才从西方那些东西中解脱出来，并给 出了无理数的准确定义和真正的得到其的方法的。因此在后来看到吴文俊的介绍文章后，才 会立刻明白其意，并大为赞叹我们的先人的高明！我的观点与吴文俊完全一致：在这方面, 我国古人比西方学者要强的太多。只不过我国现时多数人，一方面在这个问题上真正研究的 很少，大多半通不通。其次从小就学的西方那一套，不加思索、批判地全盘接收他们的说法 几乎就成了这些人的“政治正确。因此即使吴文俊这样的数学大家都说了，居然也没有引 起什么反响。一些人仍旧是老调重弹，视中国古代数学成就为无物。3、点

11、可以看成是0维空间的基本元素。“0”当然是小到头了，不能再小了。而无穷 小是“小了还可以再小”，因此无穷小并不是、也不能是“0”。一维空间的最小元素（基本 元素）是线段而不是点。无体积、无长度（为0的点），填充不了二维线段。正如三维空间 的最小元素（基本元素）只能是一个小体积一样。任何无大小的点，无体积的线，再多也都 “填充”不了三维空间。4、无穷多个“有限”，为无穷大8。由有限步是达不到的。无穷大的倒数1/8 有限步同样也达不到。为无穷小 o无穷多个无穷小，为有限。无穷大8、无穷小、有限 （可以以I代之）它们之间的关系可以这么看。因此，说“无限步可以到达”，是不成立 的。“步”为有限的概念，

12、是一个“操作”意义的概念。而“操作”，作为一种实际的动作, 只能是有限概念。不可能有无穷次，这是完成不了的。但不能具体“操作”，不等于就无“无 穷” 了。这是两回事。如整个宇宙无穷，它由无穷多个有限的局部组成。这是客观事实。起 码是我们认定的“事实”。但这不是“操作”（比方说具体地去数宇宙中的恒星、原子等等之 类的）意义的。这个“数”是完不成的，但这并不意味着整个宇宙是有限的，不是无限的。5、实无穷，潜无穷问题。“完成”可分成操作意义的（比方数“数”）和非操作意义 的。实际就是“已包含”、“存在着”之意。比方，从以往的所有时间到现在为止，可以认为 这个倒推已经发生了的时间概念是一个实无穷。对“

13、现在”这个时点而言，它这个无穷是“完 成” 了的。不完成怎么能从无穷远的“过去”到现在的呢？它如果对应于自然数，那就不是 “1、2、3、4、5、6、“以至到无穷，而是”6、5、4、3、2、1”,最后由无穷远的“以前”到了现在的“1”。这可以视为是“完成” 了实无穷的以往时间（“1”实 际可以以任何数值代之，只要是一个有限数就可以了）。当然这个“1”并不是时间的终点, 其后还有“0、T、-2、-3、”或干脆就是“1、2、3、4、5、6二而从现在到未来，那么不可能完成，时间是无限的，而且对未来，是一个实实在在的潜无限。 它完成不了。不但操作意义完成不了，非操作意义也完成不了。但它作为一个概念（而不

14、是 实际意义的、真正在流逝着的“时间客体”），也可以是一个实无穷的“时间概念”。二者是 需要彻底区分的。即这个概念本身，是被看成一个“整体”的。但它不是实际可以完成的一 个整体。这正如庄子的“日取其半，万世不竭”（速度当然越来越慢，永远无尽头）。但“日 取”，就是一个实际的有限意义的“操作”，当然对“永远”而言，用如此的有限意义的“操 作”是不可能完成的。总之，有限的操作是不可能穷尽无限的。而有限的“长度”（无论是 线段、时段）无限可分，有限又可达，于是无限也可达。更确切地为，“由无限多个无穷小 构成二它由人为地去手工分“份”操作是不可能完成的，但它自身却可以由无穷多的无穷 小所构成。只要我们

15、还成认有“无穷大8”，就必然必须成认有“无穷小 ”，因为二者是互 为倒数的。6、花瓶悖论问题。问题在没有什么“无穷次操作之后”这回事。这个操作过程 本身只能是无穷的，也就是完不了的。它等于把自然数分成是十个一组，并不等于就是一个 变十个自然数集合了。这个问题实际上等价于“分球奇论”。这是其根源。归根到底，还是 一个对应规那么的问题。详见笔者过去相关文章，此不赘述。7、同一律问题。如沈卫国是“一个人”。如果在地上画一个等号“二”，我不可能 同时站在这个等号的两边。但是“1”等数字却可以，比方“1 = 1”。这里有了两个“1” 了， 等号一边各一个，明明是两个“1” 了，还“同一”吗？难道不分“等号左边之1”与“等 号右边之1” 了？二者无区别吗？无区别为什么不去掉等号，把这两个“1”重合成一个“1” 呢？可见，同一律是不完备的。是有些意思没有被表达清楚的，是需要补充公理的。详见笔 者前期有关文章及著作。此不赘述。参考文献笔者前期文章。见知乎“何许（笔者化名）”和“国家科技图书文献中心预印本” 笔者文章，科学网文清慧博客中笔者的局部有关文章。及一些正式发表的文章