中考数学精华练习.pdf

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1、学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 1 专题专题 1 三角函数图像与性质三角函数图像与性质 第一讲 正弦函数xysin与xAysin的图像性质关系 类比于研究sinyx的性质，只需将sinyAx中的x看成ysinx中的x，但在求 sinyAx的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化为正数研究函数 cosyAx，nyAtax的性质的方法与其类似，也是类比、转化 【例1】函数2sin 3 6 yx ，xR的最小正周期是（） A 3 p B 2 3 p C 3 2 p D 【解析】 22 3 T ，故选B. 【例2】函数 tan 36 x f x 的最小正周期为（） A3

2、B6C 3 p D 2 3 p 【解析】3T ，故选A xysinxAysin 周期2 2 定义域RR 最大值1，当 2 2 kx取得 A，当 2 2k x取得 最小值-1，当 2 3 2 kx取得 -A，当 2 3 2k x取得 单调增区间 2 2 , 2 2 kk 2 2 , 2 2kk 单调减区间 2 3 2 , 2 2 kk 2 3 2 , 2 2kk 对称轴 2 kx 2 k x 对称中心0 ,k 0 , k 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 2 【例3】已知函数sin 4 yAx （0）的最小正周期为，则函数)(xf的图象（） A关于直线 4 x p =对称B关于直

3、线 8 x p =对称 C关于点)0, 4 (对称D关于点)0, 8 (对称 【解析】由函数sin 4 yAx 0的最小正周期为，可得 2 T 求得=2，sin 2 4 yAx 由于当 2 2 8 k xk 时，函数f（x）取得最大值为1，故函数f（x）的图象关于直线 8 x 对称， 故选B 【例4】设函数 sinf xAx（0A，0， 22 ）的图象关于直线 2 3 x p =对称，它的最 小正周期为，则（） A)(xf的图象过点 1 0, 2 B)(xf在 2 , 123 上是减函数 C)(xf的一个对称中心是 5 ,0 12 D)(xf的一个对称中心是,0 6 【解析】由题意可得 2 T

4、 ，2，可得sinyAx再由函数关于 2 3 x 对称，故 2 22 326 kk k ，取 6 ，故函数sin 2 6 yAx 根据公式 3 22 22 , kk 可求得函数的减区间为 6 k ， 2 3 k ，B错，由于A不确定， 故选项A不正确对称中心为,0 k ，即,0 212 k ，1k 时，选项C正确选项D不正确 【例5】函数 2sin 2 6 yx 在, 2 2 上对称轴的条数为（） A1B2C3D0 【解析】2sin 2 4 yx ， 22 x ，函数的对称轴为：0 6 xk ，1 3 xk 故选B. 【例6】函数2sin(3) 4 yx 的图象中两条相邻对称轴之间的距离是 【

5、解析】两条相邻对称轴之间有半个周期，即 1 2 223 T 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 3 【例7】同时具有以下性质：最小正周期是；图象关于直线 3 x p =对称；在, 6 3 上是增函数， 则这个函数是（） Asin 26 x y Bcos 2 3 yx Csin 2 6 yx Dcos 26 x y 【解析】 2 T 求得=2， 排除A、D， 在B选项中， 对称轴为直线,1= 263 kk xkx 当时， 单调增区间为 222 , 36 kk kk ，不能满足题意，C选项中对称轴为直线 + 2 + 23 k k x ，当0k ， 3 x ，单增区间为 22 22 ,

6、 33 kk kk . 【例8】函数sin2 6 yx 的单调递增区间是（） A2,2 63 kkkZ B 5 2,2 36 kkkZ C, 63 kkkZ D 5 , 36 kkkZ 【解析】sin2sin 2 66 yxx ，根据题意，只需求出sin 2 6 yx 的单调减区间即可. 【例9】已知函数yAx0A，的一段图象如下图所示，求函数的解析式 【解析】 由图像可知， 最大值为2， 最小值为-2， 故2A 图中已知的两点为 1 x， 2 x 故可联立方程组 2 2 8 3 3 4 3 2 8 ； 3 2sin(2). 4 yx 【例10】已知函数sin()yAx在同一周期内，当 9 x

7、时，取得最大值 1 2 ，当 9 4 x时，取得最小值 2 1 ，则该函数的解析式是（） A 1 2sin() 36 yx B 1 sin(3) 26 yx C 1 sin(3) 26 yx D 1 sin( 3) 26 yx 【解析】由题意可知，最大值为 1 2 ，最小值为 1 2 ，故 1 2 A ，已知的两点为 1 x， 2 x，故可联立方程组 2 3 9 3 6 4 2 9 1 sin(3) 26 yx 选B. 3 8 2 2 0 8 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 4 【例11】已知函数( )2sin(2) 6 f xx ，求( )f x 在 0, 2 上的最大值和

8、最小值 【解析】 1 0 12 x ， 2 2 6 x ， 3 5 12 x ， 4 3 2 2 3 x ， 则区间0, 2 包含 2 6 x ，最大值为2，在0, 6 单调递增，在, 62 单调递 减，由于递减区间宽度大于递增区间宽度，故最小值为()2sin()1 26 f （如 图）. 【例12】若函数( )2sin() 3 f xx ，且 ( ) 2fa= -， ( ) 0fb=，的最小值是 2 p ，则)(xf的单调递 增区间是（） A 5 , 1212 kkkZ B, 36 kkkZ C 2 2,2 33 kkkZ D 5 2,2 66 kkkZ 【解析】由题意可知，最大值为 2，最

9、小值为2，已知的两点为 1 x， 2 x，故可联立方程组 3 23 2 1 2 2 3 ：2sin() 3 yx 故单调增区间为 5 2,2 66 kk 选D. 【例13】 （1）若函数( )3cos()f xx对任意的,()() 66 xRfxfx有 ，则) 6 (f等于（） A3B0C3D3 （2） 若 mxxf)cos(2)( ， 对任意实数t都有)() 4 (tftf ， 且( )1 8 f p = -， 则实数m的值为 （） A 1B 3C 3 或1 D 1 或3 定理： f axf bxf x关于直线 2 ab x 对称； f axf bxf x关于点,0 2 ab 对 称 【解析

10、】 （1）由题意可得：( )f x关于直线 6 x 对称；故3 6 f ，选 D. （2）由题意可得：( )f x关于直线 8 x 对称；故213 8 fmm ，1m，选C. 【例14】设函数 sinf xAx,0 是常数，若 f x在区间 1 ,1 3 上具有单调性，且 2 (0)(1) 3 fff ，则下列有关 f x的命题正确的有（请填上所有正确命题的序号） f x的最小周期为 2； 1 3 x=是 f x的对称轴； 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 5 f x在 5 1, 3 上具有单调性； 5 6 yfx 为奇函数 【解析】 21 0 33 ffx 为对称轴， 25

11、=1, 0 36 ff 为对称中心；故正确， 5 6 f xfx 表示将 yf x向左移 5 6 个单位，即关于原点对称，故正确，由于 yf x在区间 1 ,1 3 上具有单调 性，故根据对称原理可得正确； 1 2 23 5 6 6 T ，故正确；答案为. 第二讲 正弦函数的平移和伸缩变换 函数sin()yAx的图象可以通过下列两种方式得到： 1. 倍横坐标缩短到原来的 图象左移 1 )sin(sinxyxy)sin(xy )sin(xAy A倍纵坐标伸长为原来的 2. 图象左移倍横坐标缩短到原来的 )sin(sin 1 xyxy)sin(xy )sin(xAy A倍纵坐标伸长为原来的 关键：

12、把握先移后缩和先缩后移的区别类比可以得到：cos()yAx，tan()yAx的图像 定理： 12 sin()sin()yAxyAx则平移单位为 21 （注意平移方向） 【例15】要得到cos(2) 4 yx 的图象, 且使平移的距离最短, 则需将cos2yx的图象向方向 平移个单位即可得到. 【解析】2,此题为先缩后移，故需将cos2yx的图象向右方向平移 8 个单位. 【例16】将函数 sin 2 3 f xx 的图象经过怎样的平移所得图象关于点( 12 , 0)中心对称（） A向右平移 12 B向右平移 6 C向左平移 12 D向左平移 6 【解析】法一： sin 2 3 f xx 的对称

13、中心横坐标为 26 kk x ，当k=0时， 6 x ，故往右 移 12 个单位，即可所得图象关于点,0 12 中心对称. 法二：设往左平移了个单位后，即( )sin 2 3 f xx 的图象关于点,0 12 中心对称，根据题意可 得： 2 3 22612 k k x ，0k时， 12 ，故往右移 12 个单位即可. 【例17】 （2019天津）已知函数( )sin()(0f xAxA，0，|)是奇函数，且( )f x的最小正周 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 6 期为，将( )yf x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） ，所得图象对应的函数为 ( )g x

14、若()2 4 g ，则 3 () 8 f （） A2B2C2D2 【解析】因为 f x是奇函数，所以 ，又 f x的最小正周期为，则 2 ，得 ，则 f x sin2Ax，将 yf x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像对应 的函数为 g x，则 sing xAx，若2 4 g ，则 2 sin2 442 gAA ，即2A，则 f x 2sin2x，则 3332 2sin 22sin22 8842 f ，故选 C. 【例18】函数 2 2sin2cos3yxx的最大值是（） A 1-B 1 2 C 1 2 -D 5- 【解析】 2 22 111 2sin2cos

15、32cos2cos12 cos. 222 yxxxxx 函数 2 2sin2cos3yxx的最大值是 1 2 -故选C 【例19】若关于x的方程 2 sinsin40 xax在区间,0有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为 （） A4a或4aB45aC5aD4a 【解析】x,0，故sinx,0，设sintx，则t0，1，则方程 2 sinsin40 xax等价为 2 40tat 当0t时，无解，当0t时，即 4 at t ，0,1t，根据对勾函数性质可得，函数 1 f tt t 在 区间0,1内单调递减，即5a ，由于有两个不同的解，故5a 时只有一解，故5a . 【例20】已知 42 x

16、，求函数(sin1)(cos1)yxx的最大值和最小值. 【解析】(sin1)(cos1)sincossin cos1yxxxxxx， 令sincos2sin 4 xxtx ， 4 2 x ， 故0,2t ， 2 1 sin cos 2 t xx ，即 22 2111 1+1 2222 tt yf tttt ，0,2t ，故函数的 最大值为 32 2 2 2 f ，最小值为 1 0 2 f. 【例21】函数 2 sin2cosyxx在区间 2 , 3 p a - 上的值域为 1 4 -，2，则的范围是（） 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 7 A 22 , 33 B 22 ,

17、33 C 2 0, 3 D 2 0, 3 【解析】 2 22 sin2coscos2cos1cos12yxxxxx ，此函数在区间 2 , 3 上的值域为 1 , 2 4 . 并且cosx能够取得最大值1时，函数值为2，0，又 2 3 x 时，函数值为 1 4 ， 2 3 x 时，函数值 为 1 4 ， 2 3 ，所以的取值范围是 2 0, 3 ；故选C 【例22】求 sin 0, 2sin x yx x 值域 【解析】 sin2sin22 1 2sin2sin2sin xx y xxx ，0,x，sin0,1x，故 22 ,1 2sin3x ，则 sin 0, 2sin x yx x 值域为

18、 1 0, 3 . 【例23】求函数 sin1 cos2 x y x 的最大值和最小值 【解析】法一：如图所示， sin1 cos2 x x 表示过点2,1的直线与单位圆有交点时，直 线 的 斜 率 ， 令 直 线 方 程 为12yk x ， 原 点 到 直 线 的 的 距 离 为 2 2 21 4 13400 3 1 k kkk k ，故函数 2cos 1sin x x y的最大值为 4 3 ，最小 值为0. 法二：利用辅助角公式： 22 sincossinaxbxabx计算， 2 2 sin121 sincos211sin2111 cos2 1 xy yxyxyyxy x y ，解得： 4

19、 0 3 y. 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 8 达标训练达标训练 1 （2019新课标）若 1 4 x ， 2 3 4 x 是函数( )sin(0)f xx两个相邻的极值点，则（） A2B 3 2 C1D 1 2 2 （2019新课标）下列函数中，以 2 为周期且在区间( 4 ，) 2 单调递增的是（） A( ) |cos2 |f xxB( ) |sin2 |f xxC( )cos|f xxD( )sin |f xx 3 （2019新课标）设函数( )sin()(0) 5 f xx ，已知( )f x在0，2 有且仅有5个零点下述四个 结论： ( )f x在(0,2 )有

20、且仅有3个极大值点( )f x在(0,2 )有且仅有2个极小值点 ( )f x在(0,) 10 单调递增的取值范围是 12 5 ， 29) 10 其中所有正确结论的编号是（） ABCD 4 （2018新课标）函数 2 tan ( ) 1 x f x tan x 的最小正周期为（） A 4 B 2 CD2 5 （2018新课标）已知函数2sincos2)( 22 xxxf，则（） A( )f x的最小正周期为，最大值为3B( )f x的最小正周期为，最大值为4 C( )f x的最小正周期为2，最大值为3D( )f x的最小正周期为2，最大值为4 6 （2017新课标）函数( )sin(2) 3

21、f xx 的最小正周期为（） A4B2CD 2 7 （2017山东）函数xxy2cos2sin3的最小正周期为（） A 2 B 2 3 CD2 8 （2017新课标）设函数) 3 cos()( xxf，则下列结论错误的是（） A)(xf的一个周期为2B( )yf x的图象关于直线 8 3 x 对称 C()f x的一个零点为 6 x D( )f x在( 2 ，)单调递减 9 （2017天津）设函数)sin(2)(xxf，xR，其中0，|若 5 ()2 8 f ， 11 ()0 8 f ，且 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 9 ( )f x的最小正周期大于2，则（） A 2 3

22、， 12 B 2 3 ， 11 12 C 1 3 ， 11 24 D 1 3 ， 7 24 10 （2016新课标）若将函数2sin2yx的图象向左平移 12 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为 （） A() 26 k xkZ B() 26 k xkZ C() 212 k xkZ D() 212 k xkZ 11（2016新课标） 已知函数( )sin()(0f xx ，|) 2 ， 4 x 为( )f x的零点， 4 x 为( )yf x 图象的对称轴，且( )f x在(18 ， 5 ) 36 上单调，则的最大值为（） A11B9C7D5 12 （2015新课标）函数( )cos()f x

23、x的部分图象如图所示，则( )f x的单调递减区间为（） A 1 ( 4 k， 3) 4 k，kzB 1 (2 4 k， 3 2) 4 k，kz C 1 ( 4 k ， 3) 4 k ，kzD 1 (2 4 k ， 3 2) 4 k ，kz 第12题图第13题图 13（2011辽宁） 已知函数( )tan()(0,|) 2 f xAx ，( )yf x的部分图象如图， 则() 24 f （） A23B3C 3 3 D23 14 （2018天津）将函数sin(2) 5 yx 的图象向右平移 10 个单位长度，所得图象对应的函数（） A在区间 3 4 ， 5 4 上单调递增B在区间 3 4 ，上单

24、调递减 C在区间 5 4 ， 3 2 上单调递增D在区间 3 2 ，2 上单调递减 15 （2017新课标）函数 1 ( )sin()cos() 536 f xxx 的最大值为（） 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 10 A 6 5 B1C 3 5 D 1 5 16 （2017新课标）已知曲线 1: cosCyx， 2 2 :sin(2) 3 Cyx ，则下面结论正确的是（） A把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲线 2 C B把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12 个单位

25、长度，得到曲线 2 C C把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲线 2 C D把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12 个单位长度，得到曲线 2 C 17 （2016新课标）将函数2sin(2) 6 yx 的图象向右平移 1 4 个周期后，所得图象对应的函数为（） A2sin(2) 4 yx B2sin(2) 3 yx C2sin(2) 4 yx D2sin(2) 3 yx 18 （2016新课标）函数sin()yAx的部分图象如图所示，则（） A2sin(2) 6 yx B2s

26、in(2) 3 yx C2sin() 6 yx D2sin() 3 yx 19 （2014四川）为了得到函数sin(21)yx的图象，只需把sin2yx的图象上所有的点（） A向左平行移动 1 2 个单位长度B向右平行移动 1 2 个单位长度 C向左平行移动1个单位长度D向右平行移动1个单位长度 20 （2014辽宁）将函数3sin(2) 3 yx 的图象向右平移 2 个单位长度，所得图象对应的函数（） A在区间12 ， 7 12 上单调递增B在区间12 ， 7 12 上单调递减 C在区间 6 ， 3 上单调递减D在区间 6 ， 3 上单调递增 21 （2016新课标）函数( )cos26co

27、s() 2 f xxx 的最大值为（） A4B5C6D7 22 x x xf cos2 sin )( 的值域是（） A 3 3 , 3 3 B 1 , 1C2 , 2D3, 3 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 11 23对于函数)0( sin 1sin )( x x x xf，下列结论正确的是（） A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值 C既有最大值也有最小值D既无最大值也无最小值 24函数 x x y cos2 cos2 的最大值为（） A1B2C3D不存在 25函数 xx x xf cossin sin )( 在区间 2 , 0 上的最大值与最小值分别是（） A1，0B

28、 2 1 ，0C0，1D1， 2 1 26（2019新课标）函数 3 ( )sin(2)3cos 2 f xxx 的最小值为 27 （2017新课标）函数 2 3 ( )sin3cos(0,) 42 f xxxx 的最大值是 28.（2014大纲版）函数xxysin22cos的最大值是 29 （2008四川）函数xxxf 2 cossin3)(的最大值是 30 （2008辽宁）设(0,) 2 x ，则函数 2 2sin1 sin2 x y x 的最小值为 31 （2014大纲版）若函数xaxxfsin2cos)(在区间( 6 ，) 2 是减函数，则a的取值范围是 32 （2010北京）已知函数

29、 2 ( )2cos2sin4cosf xxxx （1）求() 3 f 的值； （2）求( )f x的最大值和最小值 33（2008四川）求函数xxxxy 42 cos4cos4cossin47的最大值与最小值 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 12 专题专题 2两角和与差的正弦余弦和正切两角和与差的正弦余弦和正切 秒杀秘籍：秒杀秘籍：第一讲 两角和与差的正余弦与正切 sin()sincoscossin；cos()coscossinsin； tantan tan() 1tantan sin22sincos； 2222 cos2cossin2cos112sin ； 2 2tan

30、tan2 1tan . 模型一：拆分角问题：=2 2 ；=+ -； 1 2 ； 1 2 ； 424 .注意：特殊的角也看成已知角，如 44 . 模型二： 22 coscossinsin22coscos2sinsin22cos 【例1】（2019新课标）tan255 （） A23 B23 C23D23 【解析】由 3 1 tan45tan30 3 tan255tan 18075tan75tan 4530 1tan45 tan303 1 1 3 2 33 33126 3 23 6633 ，故选D. 【例2】（1）若，为锐角，且满足 4 cos 5 ， 3 cos() 5 ，则sin的值是 （2）若

31、 4 cos 5 ，是第三象限角，则sin 4 【解析】（1），为锐角 2 43 sin1 55 ， 2 34 sin()1 55 22 437 sinsinsincoscossin 5525 （2）由已知条件 2 3 sin1cos 5 ，sin 4 227 2 sincos 2210 . 【例3】sin34 sin26cos34 cos26的值是（） A. 1 2 B. 3 2 C 1 2 D 3 2 【解析】原式 1 cos34 cos26sin34 sin2660 2 . 【例4】若 2 0 ，0 2 ， 3 1 4 cos ， 3 3 24 cos ，则 2 cos （） 学习数学领

32、悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 13 A 3 3 B 3 3 C 9 35 D 9 6 【解析】0 2 ， 3 444 ， 1 cos 43 ， 2 2 sin 43 ， 0 2 ， 4422 . 3 cos 423 ， 6 sin 423 ， cos 2 cos 442 cos 4 cos 42 sin 4 sin 42 132 265 3 33339 . 【例5】 （1）若tan3，则 2 sin2 cos 的值等于 （2）若 sincos 3 sincos ，)2(tan，则2()tan 【解析】 （1） 2 sin2 cos 2 2sincos co 2tan2 s 36 .

33、（2）由条件知 sincostan1 3 sincostan1 ，tan2. tan2ta()()n tan()tan4 1tan()tan3 . 【例6】已知 3 sin 5 且, 2 ，则sin2cos2等于_ 【解析】 3 sin 5 且, 2 ，cos 5 4 ， 2 31 sin2cos22sincos2 cos1 25 . 【例7】 （1）若 2 tan 45 ，则tan _； （2）已知 5 sin 13 ，, 2 ，则tan2_ 【解析】 （1） tan12 tan 41tan5 ，5tan522tan，7tan3 ，tan3 7 . （2）由 5 sin 13 ，, 2 ，可

34、得 12 cos 13 ， 5 tan 12 ， 2 2tan120 tan2 1tan119 . 【例8】 （2019新课标II）已知(0,) 2 ，2sin2cos21，则sin（） A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 【解析】因为2sin2cos21aa，所以可得 2 4sincos2cosaaa，又0, 2 a ，则sin0a ， cosa 0，所以cos2sinaa，又 2 2222 sincossin2sin5sin1aaaaa，解得 5 sin 5 a ， 故选B. 【例9】已知函数 2sin 36 x f xxR 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数

35、 14 （1）求 5 4 f 的值； （2）设0, 2 、， 10 3 213 f ， 6 32 5 f，求cos的值 【解析】 （1） 2sin 36 x f xxR ，f 5 2sin 4 f 5 2sin2 1264 . （2）,0, 2 ， 10 3 213 f ， 6 32 5 f， 10 2sin 13 ， 6 2sin 25 ， 即 5 sin 13 ， 3 cos 5 ， 12 cos 13 ， 4 sin 5 ， 16 coscoscossinsi(n 65 ) +=-. 【例10】已知tan2 4 ， 1 tan 2 .（1）求tan2的值； （2）求 sin2sincos

36、 2sinsincos 的值 【解析】（1）tan2 4 ， tantan 4 2 1tantan 4 ， 1tan 2 1tan ， 1 tan 3 ， 2 2tan3 tan2 1tan4 . （2） sin2sincossinsincoscossin2sincoscossinsincos 2sinsincos2sinsincoscossinsincoscossinsincos tantan1 tan 1tantan7 . 【例11】（1）设 1 coscos 2 ， 1 sinsin 3 ，求cos()的值； （2）若, 是锐角，且 1 sinsin 2 ， 1 coscos 2 ，则t

37、an_. 【解析】（1） 22 coscossinsin22coscos2sinsin22cos 22 111359 22coscos 233672 （2） 1 sinsin 2 ， 1 coscos 2 ，两式平方相加得： 1 22coscos2sinsin 2 . 即 1 22cos 2 ， 3 cos 4 ，, 是锐角，且 1 sinsin0 2 ，0 2 ， 0 2 . 2 7 sin1cos 4 ， sin7 tan cos3 . 秒杀秘籍：秒杀秘籍：第二讲 两种辅助角公式 第一类：第一类：一次辅助角 sincosf xaxbx sincosf xaxbx= 22 sin()abx(

38、辅助角由点( , )a b决定,tan b a ). 例如：sincos= 22 11 sin()2sin() 4 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 15 sin3cos= 2 2 13sin()2sin() 3 ，3sincos=2sin() 6 第二类：第二类：二次辅助角 2 sincoscos,0fxaxxbx a b 22 sin2cos21sin 2tan 2222 ababbb fxxxx a 若遇到 2 sin，则通过公式 22 sin1cos 转化成 2 cos 注意： （1） 4422222 cossincossincossincos22cos1 （2） 2

39、2 2sin ()sincos12sincos 4 【例12】求证：sincosab= 22 sin()ab （其中tan b a ） 证明：作一直角三角形如图，其中 sin;cos ba cc sincosab=sincossincoscossin ab cc cc 22 sinsincab(tan b a )同理可得：cossinab= 22 cos()ab(tan b a ) 【例13】若方程 2 2 3sin cos2cos1xxxk有解，则k 【解析】 2 2 2 2 32 2 2 3sin cos2cossin 22sin 21 226 xxxxx ， 2sin 222, 24,0

40、 6 xkk . 【例14】已知3 5 4 cos 6 sin ，则 3 sin 的值为（） A 5 4 B 5 3 C 2 3 D 5 3 【解析】由条件得 334 sincos3 225 3 2 ，即 134 sincos 225 ， 4 sin 35 . 【例15】已知函数 2 3 3sinsin cos 2 f xxxxxR. （1）若0, 2 x ，求 f x的最大值； （2）在ABC中，若AB， 1 2 fAf B，求A、B、C的值 【解析】 （1） 3 1cos213 sin2sin 2 2223 x f xxx ，0 2 x ， 2 2 333 x ， 当2 32 x 时，即

41、5 12 x 时， fx的最大值为1. （2） sin 2 3 f xx ，若x是三角形的内角，则0 x， 5 2 333 x .令 1 2 f x ，得 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 16 1 sin 2 32 x ，2 36 x 或 5 2 36 x ，解得 4 x 或 7 12 x .由已知A，B是ABC的内角，AB 且 1 2 fAf B， 4 A ， 7 12 B ， 6 C . 注意：解答题不能直接用二次辅助角公式，中间需要一个二倍角公式来过渡 【例16】已知函数 3sincosf xxxxR，若 1f x，则x的取值范围为（） A, 3 x kxkkZ B22

42、, 3 xkxkkZ C 5 , 66 x kxkkZ D 5 22, 66 xkxkkZ 【解析】根据题意，变形得 2sin 6 f xx ， 1f x，所以2sin1 6 x ，即 1 sin 62 x ，由图 象可知满足 5 22 66 kxkkZ ，解得22 3 kxkkZ 【例17】已知函数 2 2sin3cos2 4 f xxx . （1）求 f x的周期和单调递增区间； （2）若关于x的方程 2f xm在, 42 x 上有解，求实数m的取值范围 【解析】(1) 2 2sin3cos212sin cos3cos21sin22sin 21 43 f xxxxxxxx ， 周期T.由2

43、22 232 kxk 解得，单调递增区间为 5 , 1212 kkkZ （2）, 4 2 x ， 2 2, 363 x sin 2 3 x 1 ,1 2 ， fx的值域为2,3 而 2f xm， 22,3m，即0,1m. 【例18】设R， 2 cossincoscos 2 f xx axxx ，满足 0 3 ff ，求函数 f x在 11 , 424 上的最大值和最小值 【解析】 2 sin cos2cos1f xxxx由 0 3 ff 得 31 1 222 ，解得2 3a 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 17 因此 2 2 3sin cos2cos12sin 2 6 f x

44、xxxx ，当 22 2626 , 22 kk x 时，化简得 , 63 xkk ，f(x)单调递增，即, 43 x 单调增， 11 , 324 x 单调减，显然单调减区间的范围 大于单调增区间的范围，所以 f x的最大值为 3 f 2.f(x)的最小值为 11 24 f 2. 达标训练达标训练 1 （2018新课标）若 1 sin 3 ，则2cos（） A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 2 （2018新课标）若( )cossinf xxx在0，a是减函数，则a的最大值是（） A 4 B 2 C 3 4 D 3（2018新课标） 已知角的顶点为坐标原点， 始边与x轴的非负半轴重合

45、， 终边上有两点(1, )Aa，(2, )Bb， 且 2 cos2 3 ，则ba（） A 1 5 B 5 5 C 2 5 5 D1 4 （2017山东）已知 3 cos 4 x ，则x2cos（） A 1 4 B 1 4 C 1 8 D 1 8 5 （2017新课标）已知 4 sincos 3 ，则2sin（） 学习数学领悟数学秒杀数学第 一 章三 角 函 数 18 A 7 9 B 2 9 C 2 9 D 7 9 6 （2015新课标）10sin160cos10cos20sin（） A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 7 （2015重庆）若 1 tan 3 ， 1 tan() 2 ，则ta