2022年高一数学函数的定义域与值域的常用方法 .pdf

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1、1 高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例 1.已知2211()xxxfxx，试求()f x。解：设1xtx，则11xt，代入条件式可得：2()1f ttt，t 1。故得：2()1,1f xxxx。说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例 2.（1）已知21()2()345f xfxxx，试求()f x；（2）已知2()2()345f xfxxx，试求()f x；解：（1）由条件式，

2、以1x代 x，则得2111()2()345ff xxxx，与条件式联立，消去1fx，则得：222845333xfxxxx。（2）由条件式，以x 代 x 则得：2()2()345fxf xxx，与条件式联立，消去fx，则得：2543fxxx。说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。例 4.求下列函数的解析式：（1）已知)(xf是二次函数，且1)()1(,2)0(xxfxff，求)(xf；（2）已知xxxf2)1(，求)(xf，)1(xf，)(2xf；（3）已知xxxxxf11)1(22，求)(xf；（4）已知3)(2)(3xx

3、fxf，求)(xf。【题意分析】（1）由已知)(xf是二次函数，所以可设)0()(2acbxaxxf，设法求出cba,即可。（2）若能将xx2适当变形，用1x的式子表示就容易解决了。（3）设xx1为一个整体，不妨设为t，然后用t表示x，代入原表达式求解。（4）x，x同时使得)(xf有意义，用x代替x建立关于)(xf，)(xf的两个方程就行了。【解题过程】设)0()(2acbxaxxf，由,2)0(f得2c，由1)()1(xxfxf，得恒等式12xbaax，得23,21ba。故所求函数的解析式为22321)(2xxxf。（2）1)1(112)(2)1(22xxxxxxf，名师资料总结-精品资料欢

4、迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 12 页 -2 又)1(1)(,11,02xxxfxx。（3）设1,11,1ttxtxx则，则1)1()1(111111)1()(22222ttttxxxxxxxftf所以)1(1)(2xxxxf。（4）因为3)(2)(3xxfxf用x代替x得3)(2)(3xxfxf解式得53)(xxf。【题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式)0(2acbxaxy，顶点式khxay2)(和标根式)(21xxxxay的选择；（2）已知)(xgf求)(xf的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本

5、例（2）（3）；（3）函数方程问题，需建立关于)(xf的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现)(xf，)1(xf，则一般将式中的x用x1代替，构造另一方程。特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例 3.求324xyxx的定义域。解：由题意知：204xx，从而解得：x2 且 x 4.故所求定义域为：x|x 2 且 x 4。例 2.求下列函数的定义域：（1）35)(xxxf；（2）xxxf11)(【题意分析】求

6、函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。【解题过程】（1）要使函数有意义，则35,0305xxxx即，在数轴上标出，即53,33,3xxx或或。故函数的定义域为5,3()3,3()3,(.当然也可表示为5x3,33,3或或xxx。（2）要使函数有意义，则1,11,0101xxxxx所以即，从而函数的定义域为1x|x。【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的x的范围的交集，利用数轴可便于解决名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共

7、 12 页 -3 问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例 4.已知函数由下表给出，求其定义域X 1 2 3 4 5 6 Y 22 3 14 35 6 17 解：1，2，3，4，5，6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得 xI1，又由 g（x）定义域可以解得xI2.则 I1I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。2()3,(),()43xf xxg xyf g xxx例8

8、 已知求的定义域.解：2()33()3343xf xxxg xxx由又由于 x24x30 *联立*、*两式可解得：93 393 3134493 393 3|1344xxxxx或故所求定义域为或例 9.若函数 f（2x）的定义域是1，1，求 f（log2x）的定义域。解：由 f（2x）的定义域是1，1可知：21 2x 2，所以 f（x）的定义域为21，2，故 log2x 21，2，解得24x，故定义域为2,4。三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法例 11.求函数231

9、xyx的值域。解：2112312111xxyxxx，因为101x，故 y2，所以值域为 y|y2。说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例 12.求函数 y2x24x 的值域。解：y 2x24x 2（x22x 1）22（x 1）22 2，故值域为 y|y 2。说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如yaf2（x）bf（x）c。3、判别式法例 13.求函数2223456xxyxx的值域。解：2223456xxyxx可变形为：（4y1）x2（5y2）

10、x6y30，由 0 可解名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 12 页 -4 得：266 3 266 3,7171y。说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故0。4、单调性法例 14.求函数23yx，x 4，5的值域。解：由于函数23yx为增函数，故当x4 时，ym

11、in25；当 x 5 时，ymax513，所以函数的值域为5 13,25。5、换元法例 15.求函数24 1yxx的值域。解：令10tx，则 y 2t24t 2（t 1）2 4，t 0，故所求值域为 y|y4。例 3.求下列函数的值域：（1）5,4,3,2,1,12xxy（2）1xy（3）2211xxy（4）)25(,322xxxy【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数)(xfy，其值域就是指集合Ax),x(fyyC；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。【解题过程】（1）将，1x2y5,4,3,2,1x中计算分别代入得出函数的值域为1,1

12、9,5,73，。（2）11,0 xx，即 所 求 函 数 的 值 域 为),1或 用 换 元 法，令)0(1),0(ttytxt的值域为),1。（3）,12111222xxxy函数的定义域为R。1,1(y,2x120,1x122。yxyxyxyxxy1)1(11122222 1,1(,0112yyyx得到。故所求函数的值域为（1，1。（4）114,25,4)1(3222xxxxxy习题讲解：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 12 页 -5 1.定义在R 上的函数f(x)满足 f(x)=0),2()1(0),1(log2xxfxfxx，则 f（2009）的值为()A.

13、-1 B.0 C.1 D.2 答案:C.【解析】:由已知得2(1)log 21f,(0)0f,(1)(0)(1)1fff,(2)(1)(0)1fff,(3)(2)(1)1(1)0fff,(4)(3)(2)0(1)1fff,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff,所以函数f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2009）=f（5）=1,故选 C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.2.设函数0,60,64)(2xxxxxxf则不等式)1()(fxf的解集是（）A ),3()1,3(B),2()1,3(C),3()1,1(D)3,1()3,(答案：

14、A 【解析】由已知，函数先增后减再增当0 x，2)(xf3)1(f令,3)(xf解得3,1 xx。当0 x，3,36xx。故3)1()(fxf，解得313xx或【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。3.已知函数)(xf是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有)()1()1(xfxxxf，则)25(f的值是()A.0 B.21C.1 D.25答案：A 【解析】若x0，则有)(1)1(xfxxxf，取21x，则有：)21()21()21(21211)121()21(fffff（)(xf是 偶 函 数，则)21()21(ff）由此得0)21(f

15、于是，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 12 页 -6 0)21(5)21(2121135)121(35)23(35)23(23231)123()25(fffffff4.若1()21xf xa是奇函数，则a答案12【解析】解法112(),()()2112xxxfxaa fxf x21121()21122112122xxxxxxaaaa故5.已知函数3,1,(),1,xxf xxx若()2fx，则x .答案3log 2【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值.属于基础知识、基本运算的考查.由31log 232xxx，122xxx无解，故应填3log 2.

16、6.记3()log(1)f xx的反函数为1()yfx，则方程1()8fx的解x答案2 【解法1】由3()log(1)yf xx，得13yx，即1()31fxx，于是由318x，解得2x【解法 2】因为1()8fx，所以3(8)log(8 1)2xf三、知识要点1、奇偶函数定义：（1）偶函数：一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（x）=f（x），那么 f（x）就叫做偶函数（2）奇函数：一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有 f（x）=f（x），那么 f（x）就叫做奇函数注意：函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；奇偶函数的定义域的特

17、征：关于原点对称。由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）奇函数若在0 x时有定义，则(0)0f2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整

18、理-第 6 页，共 12 页 -7 4、判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定 f（x）与 f（x）的关系；作出相应结论：若 f（x）=f（x）或 f（x）f（x）=0，则 f（x）是偶函数；若 f（x）=f（x）或 f（x）f（x）=0，则 f（x）是奇函数5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质在公共定义域内，（1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数（2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数（3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数（4）函数f（x）与xf1同奇或同偶【典型例题】一、判断函数的奇偶性例 1、判断函数的奇偶性时易犯

19、的错误（1）因忽视定义域的特征致错1、11xxxxf；f（x）=x2+（x+1）0错解：xxxxxf11，f（x）是奇函数f（x）=（x）2+（x+1）0=x2+（x+1）0=f（x）f（x）是偶函数分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称正解：定义域（，1）（1，+）关于原点不对称，f（x）是非奇非偶函数定义域（，1）（1，+），f（x）为非奇非偶函数（2）因缺乏变形意识或方法致错2、判断21151xxf的奇偶性错解：5x1 0，x0f（x）的定义域为（，0）（0，+），关于原点对称2151521151xxxxf，f（x）f（x），f（x）f（x），f（x）是非奇非偶函数

20、分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形正解：1521521151xxxxf，定义域为（，0）（0，+）关于原点对称xfxfxxxxxx152155125115215f（x）是奇函数（3）因忽视f（x）=0致错3、判断函数2244xxxf的奇偶性名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 12 页 -8 错解：由040422xx得x=2，f（x）的定义域为2，2，关于原点对称xfxxxxxf22224444，f（x）为偶函数正解：f（x）的定义域为 2，2，此时，f（x）=0，f（x）既是奇函数又是偶函数点评：函数f（x）=0（x0）是f（x）既是奇函数又是偶函

21、数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f（x）=0（x0）函数的定义域（4）因分段函数意义不清致错二、函数的奇偶性与单调性的关系例 3、已知：函数()yf x在R上是奇函数，而且在(0,)上是增函数，证明：()yf x在(,0)上也是增函数。证明：设120 xx，则120 xx()f x在(0,)上是增函数。12()()fxfx，又()f x在R上是奇函数。12()()f xf x，即12()()f xf x所以，()yf x在(,0)上也是增函数。规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致例 4、()f x为R上的奇函数，当0

22、 x时，2()231f xxx，当 xf（x2），那么就说f（x）在区间 D上是减函数。注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当 x1x2时，总有f（x1）f（x2）或 f（x1）f（x2）。2.函数的单调性的定义如果函数 yf（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 yf（x）的单调区间。3.判断函数单调性的方法和步骤利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取 x1，x2D，且 x1 x2；作差 f（x1）f（x2）；变形（通常是因式

23、分解和配方）；定号（即判断差f（x1）f（x2）的正负）；下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。（二）函数最大（小）值的定义1.最大值与最小值一般地，设函数y f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有 f（x）M；（2）存在 x0I，使得 f（x0）M 那么，称 M是函数 yf（x）的最大值。一般地，设函数y f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有 f（x）M；（2）存在 x0I，使得 f（x0）M 那么，称 M是函数 yf（x）的最小值。注意：函数的最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得 f（x0）M；

24、函数的最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f（x）M（f（x）M）。2.利用函数的单调性判断函数的最大（小）值的方法利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值利用图象（数形结合法）求函数的最大（小）值利用函数的单调性判断函数的最大（小）值如果函数yf（x）在区间 a，b 上单调递增，在区间b，c 上单调递减则函数yf（x）在 xb 处有最大值f（b）；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 12 页 -10 如果函数yf（x）在区间 a，b 上单调递减，在区间b，c 上单调递增则函数yf（x）在 xb 处有最小值f（b）。知识点一：函数

25、的单调性与最值例 1：判断函数4()f xxx在区间(0,2)上的单调性，并用定义证明。1）题意分析：用定义证明一个分式函数在(0,2)上的单调性2）解题思路：按照用定义证明函数f（x）在给定的区间D 上的单调性的一般步骤去做即可。解答过程：4()f xxx在区间(0,2)上单调递减。设1202xx，则12()()f xf x121244xxxx2112124()xxxxx x1221124()x xxxx x。已知1202xx，所以210 xx，1240 x x，120 x x，所以12()()0f xf x，即原函数在(0,2)上单调递减。解题后的思考：用定义证明函数f（x）在给定的区间D

26、上的单调性的关键在于变形（通常是因式分解和配方）和定号（即判断差f（x1）f（x2）的正负）。例 2：已知()f x是奇函数，它在(0)，上是增函数，且()0f x，试问1()()F xf x在(0)，上是增函数还是减函数？并证明你的结论。1）题意分析：本例比较抽象，没有具体的解析式。简单地说就是已知原函数的单调性，判断倒函数的单调性。2）解 题 思 路：根 据 函 数 的 单 调 性 的 定 义，可 以 设210 xx，进 而 判 断212111()()()()F xF xf xf x的符号。解答过程：任取12(0)xx，且210 xx，则有21()()0 xx。()f x在(0)，上是增函

27、数，且()0f x，12()()fxfx0，又()f x是奇函数，()()fxf x，12()()0f xf x。于是212111()()()()F xF xf xf x1212()()0()()f xf xf xf x，1()()F xf x在(0)，上是减函数。解题后的思考：本例是一道抽象性较强的题，它考查了函数性质的综合应用。例 3：已知104x，求函数222()xxf xx的最值。1）题意分析：本例要求在指定的半开半闭区间内求一个分式函数的最大（小）值；2）解题思路：先分离常数，再利用函数的单调性求函数的最值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 12 页 -

28、11 解答过程：已知函数式可化为2()2f xxx，先判断函数()f x在104x上的增减性。设12104xx，则121212121212()(2)22()()(2)(2)xxx xf xf xxxxxx x，12104xx，1212020 xxx x，。12()()0f xf x，即函数()f x在104x 上是减函数。125()44f xf。故所求函数的最小值为254，无最大值。解题后的思考：函数单调性在解题中的应用，主要表现为通过建立函数关系式或构造辅助函数式，把原问题转化为对函数单调性的讨论的问题，以达到化难为易、化繁为简的目的。例 4：已知函数()f x是增函数，定义域为(0)，且(

29、4)2f，()()()f xyfxf y，求满足()(3)2f xf x的x的取值范围。1）题意分析：本例给出了单调性、定义域、运算法则和一个点，求函数自变量的取值范围。2）解题思路：利用运算法则把问题化归成已知单调性和函数值的大小，求自变量的大小的问题，此过程中要注意定义域的限制作用，即如果()(3)(3)f xf xfx x，则必须0 x，30 x，且(3)0 x x。解答过程：由题意，得030(3)0()(3)(3)2xxx xf xf xf x x，解得34x。所以x的取值范围是34x。解题后的思考：容易忽视函数的定义域为(0)，这一隐含条件。例 6：已知()f x是奇函数，且当0 x

30、时，2()23f xxx，求当0 x时()f x的解析式。1）题意分析：已知函数是奇函数，且知道函数在某个区间上的解析式，求函数在该区间关于原点对称的区间上的解析式。2）解题思路：利用奇函数的定义域关于原点对称的特点将未知区间通过取相反数过渡到已知区间。解答过程：当0 x时，0 x，所以有2()23fxxx，又已知()f x是奇函数，所以有()()f xfx223xx。即当0 x时，2()23f xxx。解题后的思考：关键在于利用取相反数、加减周期等方法将未知区间过渡到已知区间。六、反函数1、反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A，值域为 C，由 y=f(x)求出yx，若对于 C中的每一

31、个值y，在 A中都有唯一的一个值和它对应，那么yx叫以 y 为自变名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 12 页 -12 量的函数，这个函数yx叫函数 y=f(x)的反函数，记作yfx1，通常情况下，一般用 x 表示自变量，所以记作xfy1。注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解关于x 的方程 y=f(x)，达到以y 表示 x 的目的；（2）把第一步得到的式子中的x 换成 y，y 换成 x；（3）求出并说明反函数的定义域（即函数y

32、=f(x)的值域）。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和 y=f-1(x)的图象关于直线y=x 对称；（2）y=f(x)和 y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）y=f(x)和 x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；（4）已知 y=f(x)，求 f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是 f-1(a)；（5）f-1f(x)=x;（6）若点 P(a,b)在 y=f(x)的图象上，又在y=f-1(x)的图象上，则P(b,a)在 y=f(x)的图象上；（7）证明 y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 12 页 -