2022年高中数学椭圆超经典知识点典型例题讲解 .pdf

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1、名师推荐精心整理学习必备学生姓名性别男年级高二学科数学授课教师上课时间20XX 年 12 月 13 日第（）次课共（）次课课时：课时教学课题椭圆教学目标教学重点与难点选修 2-1 椭圆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义方程10222222yxyx化简的结果是2若ABC的两个顶点4,0,4,0AB，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是3.已知椭圆22169xy=1 上的一点 P到椭圆一个焦点的距离为3,则 P

2、到另一焦点距离为知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -名师推荐精心整理学习必备注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有和；3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。讲练结合二利用标准方程确定参数1.若方程25xk+23yk=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 .（2）表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 .

3、（3）表示焦点在 y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .2.椭 圆22425100 xy的 长 轴 长 等 于，短 轴 长 等 于,顶 点 坐 标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是，离心率等于 ,3椭圆2214xym的焦距为2，则 m=。4椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k。讲练结合三待定系数法求椭圆标准方程1若椭圆经过点(4,0)，(0,3)，则该椭圆的标准方程为。2焦点在坐标轴上，且213a，212c的椭圆的标准方程为3焦点在 x轴上，1:2:ba，6c椭圆的标准方程为4.已知三点 P（5，2）、1F（6，0）、2F（6，0），求以1F

4、、2F为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -名师推荐精心整理学习必备知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把 x 换成 x，或把 y 换成 y，或把 x、y 同时换成 x、y，方程都不变，所以椭圆是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=a 和 y=b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|a，|y|b。（3）顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆（ab0）与坐标轴的四个

5、交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）。线段 A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。因为 ac0，所以 e 的取值范围是 0e1。e 越接近 1，则 c 就越接近 a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，c 就越接近 0，从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。注意：名师资料总结

6、-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -名师推荐精心整理学习必备椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1），；（2），；（3）,，；讲练结合四焦点三角形1椭圆221925xy的焦点为1F、2F，AB是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF 的周长是。2设1F，2F 为椭圆400251622yx的焦点，P为椭圆上的任一点，则21FPF的周长是多少？21FPF的面积的最大值是多少？3设点P 是椭圆2212516xy上的一点，12,F F 是焦点，若12F PF 是直角，则12F PF 的面积为。变式：已知椭圆14416922yx，焦点为1F、2F，P是椭圆上一点若6021PFF，求

7、21FPF的面积五离心率的有关问题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -名师推荐精心整理学习必备1.椭圆1422myx的离心率为21，则 m2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率 e为3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为4.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在ABC中，3,2|,300ABCSABA若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率 e讲练结合六.最值问题1.椭圆2214xy两焦点为 F1、F2，点 P

8、在椭圆上，则|PF1|PF2|的最大值为 _，最小值为 _ 2、椭圆2212516xy两焦点为 F1、F2，A(3，1)点 P 在椭圆上，则|PF1|+|PA|的最大值为 _，最小值为 _ 3、已知椭圆2214xy，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值最小值。4.设 F 是椭圆322x242y=1 的右焦点,定点 A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P 使|PA|+2|PF|最小,求 P点坐标最小值 .知识点四：椭圆与（ab0）的区别和联系名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -名师推荐精心整理学习必备标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于

9、x 轴、y 轴和原点对称顶点，轴长轴长=，短轴长=离心率准线方程焦半径，注意：椭圆，（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有 ab0 和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。1如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -名师推荐精心整理学习必备确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

10、2椭圆标准方程中的三个量a、b、c 的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ab0，ac0，且 a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆：a、b、c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程 Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示椭圆的条件方程 Ax2+By2=C 可化为，即，所

11、以只有 A、B、C 同号，且 AB 时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在x 轴上；当时，椭圆的焦点在y 轴上。5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则 c相同。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -名师推荐精心整理学习必备与椭圆（ab0）共焦点的椭圆方程可设为（kb2）。此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于 x 轴、y

12、轴、原点对称的依据：若把曲线方程中的x 换成x，方程不变，则曲线关于y 轴对称；若把曲线方程中的y 换成 y，方程不变，则曲线关于x 轴对称；若把曲线方程中的x、y 同时换成 x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何解决与焦点三角形 PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.9如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为 c2=a2b2，ac0，用 a、b 表示为，当越小时，

13、椭圆越扁，e 越大；当越大，椭圆趋近圆，e 越小，并且 0e1。课后作业1已知 F1(-8，0)，F2(8，0)，动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为()A 圆B 椭圆C 线段D 直线2、椭圆221169xy左右焦点为F1、F2，CD 为过 F1的弦，则CDF1的周长为 _ 3 已知方程22111xykk表示椭圆，则k 的取值范围是()A-1k0 C k0 D k1或 k-1 4、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6(2)长轴是短轴的2 倍，且过点(2，1)(3)经过点(5，1)，(3，2)5、若 ABC 顶点 B、C 坐标分别为(-4，0)，

14、(4，0)，AC、AB 边上的中线长之和为30，则 ABC 的重心 G 的轨迹方程为 _ 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -名师推荐精心整理学习必备6.椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别是F1、F2，过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于P 点。若 F1PF2=60，则椭圆的离心率为_ 7、已知正方形ABCD，则以 A、B 为焦点，且过C、D 两点的椭圆的的离心率为_ 椭圆方程为 _.8 已知椭圆的方程为22143xy，P点是椭圆上的点且1260F PF,求12PF F的面积9.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足 ABF1为等边三角形的

15、椭圆的离心率为10.椭圆13610022yx上的点 P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是11已知椭圆)5(125222ayax的两个焦点为1F、2F，且821FF，弦 AB过点1F，则2ABF的周长12.在椭圆252x+92y=1 上求一点 P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为4x,那么这个椭圆的方程为。14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率e=_.15、椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,准线方程为18y,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10 和 14,则椭圆方程为 _.16.已知 P是椭圆9

16、0025922yx上的点,若 P到椭圆右准线的距离为8.5,则 P 到左焦点的距离为_.17椭圆1162522yx内有两点2,2A，0,3B，P为椭圆上一点，若使53PAPB最小，则最小值为18、椭圆32x22y=1 与椭圆22x32y=(0)有(A)相等的焦距(B)相同的离心率(C)相同的准线(D)以上都不对19、椭圆192522yx与125922yx（0k9）的关系为(A)相等的焦距(B)相同的的焦点(C)相同的准线(D)有相等的长轴、短轴20、椭圆12622yx上一点 P到左准线的距离为2，则点 P到右准线的距离为21、点P为椭圆1162522yx上的动点,21,FF为椭圆的左、右焦点,则21PFPF的最小值为 _,此时点P的坐标为 _.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -