2022年高二数学单元专题：文科立体几何 .pdf

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1、福建省基地校单元专题：文科立体几何（南安一中）一、选择题、填空题：三视图：（1）简单组合体的体积或表面积例 1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，由一个底面半径为1的圆柱，挖去一个正四棱锥得到的几何体，2112=122(2 1)12323VVV圆柱四棱锥（2）几何体切割问题例 2已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_【解析】作出三视图所对应的几何体(如图 1)，底面ABCD是边长为2 的正方形，SD平面ABCD，EC平面ABCD，2,1SDEC，连接SC，则该几何体的体积为11110422 1 23323SDABCESABCDSB

2、CEVVV方法二：如图2，三视图所对应的几何体是一个三棱柱ADSBCR被一平面SBF所截得到的，故该几何体的体积为55 2 21026623ADSBCRSBFRADSBCRVVV图1ECABDS图2FRCDBAS（3）最值问题例 3如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（A）2 2（B）2 3（C）10（D）13【解析】如图，由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥其中SA底面ABCD，,ADAB BCAB，1AD，2SAABBC，经计算知最长棱为2 3SC故选 B11111111 CASBD名师资料总结-精品资料欢迎下

3、载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -球：（1）球的定义例 4 将长、宽分别为4 和 3 的长方形ABCD沿对角线BD折起，得到四面体ABCD，则四面体ABCD的外接球的体积为_【解析】设AC与BD相交于O，折起来后仍然有OAOBOCOD，O为ABCD外接球的球心，外接球的半径2234522R，从而体积3412536VR.(2)球的截面圆性质例 5已知直三棱柱111CBAABC的各顶点都在球O的球面上，且3,1 BCACAB，若球O的体积为3520，则这个直三棱柱的体积等于【解析】设三角形ABC与三角形111ABC的外心分别为1O与2O，可知球心O为12OO的中点，连结OA，OB，OC，

4、1OA，1OB，1OC，在三角形ABC中，2221cos22ABACBCAAB AC，所以23A，因此三角形ABC的外接圆的半径112sinBCO AA，又由3420 533R，得5O A R，在1R t O O A中，22112O OOAO A，所以124OO，34ABCS，直三棱柱的体积123ABCVSOO（3）内切球例 6一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积为323，则这个三棱柱的体积是【解析】由条件可求得球的半径2R，设正三棱柱的底面边长为a方 法 一：根 据 图 形 特 征 可 知1332326Raa，4 3a，从 而 三 棱 柱 的 体 积23=24 834

5、VaR.方法二：把内切球的球心与各顶点连接，可分割得到3 个四棱锥和2 个三棱锥，且它们的高都是球的半径2R，则这 5 个棱锥的体积之和就是该三棱柱的体积，从而得到13SRV全面积三棱柱，则有221331222344aaaRR，解得4 3a，从而三棱柱的体积23=248 34VaR.解答题：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -（一）载体：四棱锥，考点：面面垂直，体积例 1如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，060BAD，PAPD，O为AD边的中点，点M在线段PC上.（）证明：平面POB平面PAD；（）若2 3,7,13ABPAPB，/PA平面MO

6、B，求四棱锥MBODC的体积.【解析】（）证明：连接BD，因为底面ABCD是菱形，60BAD，所以ABD是正三角形，所以ADBO 2 分因为O为AD的中点，PAPD，所以ADPO，3 分且POBOO，所以AD平面POB，4 分又AD平面PAD，所以平面POB平面PAD 5 分（）连接AC，交OB于点N，连接MN，因为PA平面MOB，PA平面PAC，平面PAC平面MOBMN，所以PAMN，6 分易知点N为ABD的重心，所以13ANAC，故13PMPC，7 分因为2 3AB，7PAPD，所以3OB，2OP，又13PB，所以222OBOPPB，所以90POB，即OPOB，8 分又ADPO，且OBAD

7、O,所以OP平面BODC，9 分由13PMPC知23CMCP，故点M到平面BODC的距离为2433PO，10 分因为23312(23)sin 60442BODCABCDSS9 32，所以四棱锥MBODC的体积为19 342 3323 12 分（二）载体：三棱柱，考点：线面平行，体积COABDPMNCOABDPM名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -例 2如图，在直三棱柱111CBAABC中，1AC,2BC,ACBC,FED,分别为棱ACBAAA,111的中点（）求证:EF平面11BBCC（）若异面直线1AA 与EF所成角为30，求三棱锥DCBC1的体积【解析】

8、（）证明：取AB的中点O,连接EOFO,因为FE,分别为棱ACBA,11的中点，所以FOBC,EO1BB,1 分1111/,FOBC FOBCC B BCBCC B平面平面，11/FOBCC B平面，2 分同理可证11/EOBCC B平面,3 分且FOEOO,EOFO,平面EFO,所以平面EFO平面11BBCC，4 分又EF平面EFO,所以EF平面11BBCC.5分（）由（）知FEO异面直线1AA与EF所成角,所以30FEO,6 分因为三棱柱111CBAABC为直三棱柱，所以1BB平面ABC,所以EO平面ABC,FOEO,又112FOBC,3,222FOEFEOEF,13AAEO.8 分1,C

9、CBCACBC,1ACCCC,BC平面11AACC,10 分所以11113CBCDB CDCCDCVVBC S113213323.12 分EFDC1B1ABCA1OEFDC1B1ABCA1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -（三）载体：长方体，考点：作图（线面平行），轨迹（圆弧）例 3已知长方体1111ABCDABC D中，底面ABCD为正方形，4AB，12AA，点E在棱11C D上，且13D E（）试在棱CD上确定一点1E，使得直线1/EE平面1D DB，并证明；（）若动点F在底面ABCD内，且2AF，请说明点F的轨迹，并探求EF长度的最小值【解析】（）取

10、CD的一个四等分点1E，使得13DE，则有1/EE平面1D DB.1 分证明如下：因为11/D EDE且11D EDE，所以四边形11D EE D为平行四边形，则11/D DEE，2分因为1DD平面1D DB，1EE平面1D DB，所以1/EE平面1D DB 4 分（）因为2AF，所以点F在平面ABCD内的轨迹是以A为圆心，半径等于2 的四分之一圆弧6 分因为11/EEDD，1D D面ABCD，所以1E E面ABCD，7 分故2221114EFE EE FE F8 分所以当1E F的长度取最小值时，EF的长度最小，此时点F为线段1AE和四分之一圆弧的交点，10 分即11523E FE AAF，所以221113EFE EE F即EF长度的最小值为1312 分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -