2022年高中数学-平面向量专题 .pdf

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1、-1 第一部分：平面向量的概念及线性运算一.基础知识自主学习1向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0单位向量长度等于的向量非零向量a 的单位向量为 a|a|平行向量方向或的非零向量0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求 a 与 b的相反向量 b的和的运

2、算叫做a 与 b的差法则aba(b)数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)|a|a|.(2)当 0 时，a的方向与a 的方向；当 b；(2)若|a|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且 a 与 b 方向相同，则ab；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量 a 与向量 b 平行，则向量a 与 b 的方向相同或相反；(6)若向量 AB与向量 CD是共线向量，则A，B，C，D 四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等题型二平面向量的线性运算例 2如图，以向量 OAa，

3、OBb 为边作?OADB，BM13BC，CN13CD，用 a、b 表示 OM、ON、MN.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 16 页 -3 变式训练2 ABC 中，AD23AB，DEBC 交 AC 于 E，BC 边上的中线AM 交 DE 于 N.设ABa，ACb，用 a、b表示向量 AE、BC、DE、DN、AM、AN.题型三平面向量的共线问题例 3设 e1，e2是两个不共线向量，已知AB2e18e2，CBe13e2，CD2e1e2.(1)求证：A、B、D 三点共线；(2)若BF3e1ke2，且 B、D、F 三点共线，求k 的值变式训练3 设两个非零向量a 与 b 不

4、共线，(1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)求证：A、B、D 三点共线；(2)试确定实数k，使 kab 和 akb 共线五思想与方法5用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：如图所示，在ABO 中，OC14OA，OD12OB，AD 与 BC 相交于点M，设 OAa，OBb.试用 a 和 b表示向量 OM.六思想方法感悟提高方法与技巧1将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础2可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题如ABCD且 AB 与 CD 不共线，则 ABCD；若ABBC，则 A、B、C 三点共线失误与防范1解决向量的概念问题要注意两点

5、：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 16 页 -4 七课后练习1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则 必为零；，为实数，若 a b，则 a 与 b 共线其中错误命题的个数为()A1B2C3D42若 A、B、C、D 是平面内任意四点，给出下列式子：ABCDBCDA；ACBD=ADBC；ACBDDC+AB.其中正

6、确的有()A0 个B1 个C2 个D3 个3.已知 O、A、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点 C，满足CBAC2=0，则OC等于()A.OA2OBB.OA2OBC.OA3213OBD.OA3123OB4.如图所示，在 ABC 中，BD12DC，AE3ED，若ABa，ACb，则BE等于()A.13a13b B12a14bC.12a14b D13a13b5.在四边形ABCD 中，ABa2b,BC 4ab，CD 5a3b，则四边形ABCD 的形状是()A矩形B平行四边形C梯形D以上都不对6.ABuuu r8，ACu uu r5，则BCuu u r的取值范围是 _7给出下列命题：向量AB的长度

7、与向量BA的长度与向量 BA的长度相等；向量 a与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量AB与向量 CD与向量 CD是共线向量，则点A、B、C、D 必在同一条直线上其中不正确的个数为_8.如图，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线AB、AC 于不同的两点M、N.若ABmAM，ACnAN，则 m n的值为 _9设 a与 b 是两个不共线向量，且向量a b 与(b2a)共线，则 _.10.在正六边形ABCDEF 中，ABa，AFb，求ADAC,，AE.11.如图所示，ABC

8、 中，点 M 是 BC 的中点，点N 在边 AC 上，且 AN2NC，AM 与 BN 相交于点P，求 APPM的值12.已知点 G 是 ABO 的重心，M 是 AB 边的中点.（1）求GAGBGO；(2)若 PQ 过 ABO 的重心 G,且AOa,OBb，OPma，OQnb，求证：1m1n3.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 16 页 -5 第二部分：平面向量的基本定理及坐标表示一基础知识自主学习1两个向量的夹角定义范围已知两个向量 a，b，作OAa，OBb，则 AOB叫做向量a 与 b 的夹角(如图)向量夹角 的范围是,当 时,两向量共线，当 时，两向量垂直，记作

9、ab.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数 1，2，使 a.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组(2)平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解(3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使 axiyj，这样，平面内的任一向量a 都可由 x，y 唯一确定，把有序数对叫做向量 a 的坐标，记作a，其中叫做 a 在

10、x 轴上的坐标，叫做 a 在 y 轴上的坐标设 OA xiyj，则向量 OA的坐标(x，y)就是的坐标，即若 OA(x，y)，则 A 点坐标为，反之亦成立(O 是坐标原点)3平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab，ab，a，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB，|AB|.4平面向量共线的坐标表示：设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.ab?.二难点正本疑点清源1基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选

11、取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的2向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点 A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量 aOA(x，y)当平面向量 OA平行移动到 O1A1时，向量不变即O1A1OA(x，y),但O1A1的起点O1和终点 A1的坐标都发生了变化名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 16 页 -6 三基础自测1已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c

12、，则 m_.2已知向量a(1,2)，b(3,2)，若 kab 与 b 平行，则 k_.3设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d _.4已知四边形ABCD 的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且 BC2AD，则顶点 D 的坐标为()A.2，72B.2，12C(3,2)D(1,3)5已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量 ab()A平行于 y 轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于x 轴D平行于第二、四象限的角平分线四题型分类深度剖析题型一平面向量基本定理的应用例 1如图，在平行四

13、边形ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中点，已知 AMc，ANd，试用 c，d 表示 AB，AD.变式训练1 如图，P 是 ABC 内一点，且满足条件 AP2BP3CP0，设 Q 为 CP 的延长线与AB 的交点，令CPp，试用 p 表示 CQ.题型二向量坐标的基本运算例 2已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设 ABa，BCb，CAc，且 CM3c，CN 2b，(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M、N 的坐标及向量 MN的坐标名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 16 页 -7 变式训练2(1)已知点 A、B

14、、C 的坐标分别为A(2，4)、B(0，6)、C(8,10)，求向量 AB2BC12AC的坐标；(2)已知 a(2,1)，b(3,4)，求：3a4b；a3b；12a14b.题型三平行向量的坐标运算例 3平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足 ambnc 的实数 m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若 d满足(dc)(ab)，且|dc|5，求 d.变式训练3 已知 a(1,0)，b(2,1)(1)求|a3b|；(2)当 k 为何实数时，kab 与 a3b 平行，平行时它们是同向还是反向？五易错警示8忽视平行四边形的多样性致误试题

15、：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四个顶点的坐标六思想方法感悟提高方法与技巧1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解2向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题3在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用失误与防范1要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息2若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示

16、成x1x2y1y2，因为 x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2 x2y10.同时，ab 的充要条件也不能错记为x1x2y1y20，x1y1x2y20 等名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 16 页 -8 七课后练习1已知向量a(1，2)，b(1m,1m)，若 ab，则实数 m 的值为()A3 B 3 C2 D22已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且 ab，则 2a3b 等于()A(2，4)B(3，6)C(4，8)D(5，10)3.设向量 a(3，3)，b 为单位向量，且ab，则 b 等于()A.32，12或 32，12B.32，12C.32，12D.32

17、，12或 32，124.已知向量a(1，m)，b(m2，m)，则向量ab 所在的直线可能为()Ax 轴B第一、三象限的角平分线Cy 轴D第二、四象限的角平分线5已知 A(7,1)、B(1,4),直线axy21与线段 AB 交于 C,且AC2CB，则实数a 等于()A2 B1 C.45D.536若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则1a1b的值等于 _7已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且 uv，则实数x 的值为 _8若向量a)43,3(2xxx与AB相等，其中A(1,2)，B(3，2)，则 x_.9若平面向量a，b 满足|ab|1，ab 平行于

18、y 轴，a(2，1)，则 b_.10 a(1,2)，b(3,2)，当 k 为何值时，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？11三角形的三内角A，B，C 所对边的长分别为a，b，c，设向量m(3cb，ab)，n(3a3b，c)，mn.(1)求 cos A 的值；(2)求 sin(A30)的值12在 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，已知向量m(a，b)，向量 n(cos A，cos B)，向量 p 22sin BC2，2sin A，若 mn，p29，求证：ABC 为等边三角形第三部分：平面向量的数量积名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共

19、16 页 -9 一基础知识自主学习1平面向量的数量积已知两个非零向量a 和 b，它们的夹角为，则数量 _叫做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 _.规定：零向量与任一向量的数量积为_.两个非零向量a 与 b 垂直的充要条件是，两个非零向量a与 b 平行的充要条件是.2平面向量数量积的几何意义数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影_的乘积3平面向量数量积的重要性质(1)e aa e；(2)非零向量a，b，ab?；(3)当 a 与 b 同向时，a b；当 a与 b 反向时，a b，a aa2，|a|aa；(4)cos ab|a|b|；(5)|a b|_|a|b|.

20、4平面向量数量积满足的运算律(1)ab(交换律)；(2)(a)b(为实数)；(3)(a b)c.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab，由此得到(1)若 a(x，y)，则|a|2或|a|.(2)设 A（x1,y1）,B(x2,y2),则 A、B 两点间的距离|AB|=ABuuu r.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab?.二难点正本疑点清源1向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围2数量积的运算只适

21、合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即(a b)c 不一定等于a(b c)这是由于(a b)c 表示一个与c 共线的向量，而a(b c)表示一个与a 共线的向量，而c 与 a不一定共线三基础自测1已知向量a和向量 b的夹角为 30，|a|2，|b|3，则向量 a 和向量 b 的数量积ab_.2.在 ABC 中，AB=3，AC=2，BC=10,则ACAB_.3已知 a(2,3)，b(4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为_名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 16 页 -10 4已知|a|6，|b|3，ab 12，则向量 a 在向量 b 方向上的投

22、影是()A 4 B4 C 2 D25已知向量a(1，1)，b(1,2)，向量 c 满足(cb)a，(ca)b，则 c 等于()A(2,1)B(1,0)C.32，12D(0，1)四题型分类深度剖析题型一求两向量的数量积例 1(1)在 Rt ABC 中，C90，AB5，AC4，求BCAB；(2)若 a(3，4)，b(2,1)，试求(a2b)(2a3b)变式训练1(1)若向量 a 的方向是正南方向，向量b 的方向是正东方向，且|a|b|1，则(3a)(ab)_.(2)如图，在 ABC 中，ADAB，BCuuu r3 BD，|ADuuu r|1，则ADAC等于()A23 B.32C.33D.3题型二求

23、向量的模例 2已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)|3a4b|；(3)(a2b)(a b)变式训练2 设向量 a，b 满足|ab|2，|a|2，且 ab与 a 的夹角为3，则|b|_.题型三利用向量的数量积解决夹角问题例 3已知 a 与 b 是两个非零向量，且|a|b|ab|，求 a 与 ab 的夹角变式训练3 设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn 与 b2n3m 的夹角题型四平面向量的垂直问题例 4 已知 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0 )名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10

24、 页，共 16 页 -11(1)求证：a b 与 a b 互相垂直；(2)若 kab 与 akb 的模相等，求 .(其中 k 为非零实数)变式训练4 已知平面内A、B、C 三点在同一条直线上，OAu uu r(2，m)，OB(n,1)，OCuuu r(5，1)，且 OAOB，求实数 m，n 的值五答题规范5思维要严谨，解答要规范试题：设两向量e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为 60，若向量 2te17e2与向量 e1te2的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围六思想方法感悟提高方法与技巧1 向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似如(ab)2a22abb

25、2；(a b)(satb)sa2(ts)abtb2(，s，tR)2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧失误与防范1(1)0 与实数 0 的区别：0a00，a(a)00，a000；(2)0 的方向是任意的，并非没有方向，0 与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2ab0 不能推出 a0 或 b0，因为 ab0 时，有可能ab.3一般地，(a b)c (b c)a即乘法的结合律不成立因ab是一个数量，所以(a b)c 表示一个与c 共线的向量，同理右边(bc)a 表示一个与a共线

26、的向量，而a 与 c 不一定共线，故一般情况下(ab)c(bc)a.4aba c(a 0)不能推出bc.即消去律不成立5向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，,AB BCuuu r uuu r应为 120，而不是60.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 16 页 -12 七课后练习1.设向量 a(1,0)，b(12，12)，则下列结论中正确的是()A|a|b|Bab22CabDab 与 b 垂直2.若向量 a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则 x 等于()A6 B5 C4 D33.已知向量a，b 的夹角为60，且|a|2，|

27、b|1，则向量 a 与 a2b 的夹角等于()A150 B90 C60 D304.平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)，则AD BDuuu r uu u r等于()A6 B8 C 8 D 65.若 e1、e2是夹角为3的单位向量，且向量a2e1e2，向量 b3e12e2，则 ab等于()A1 B 4 C72D.726若向量a，b满足|a|1，|b|2 且 a 与 b 的夹角为3，则|ab|_.7已知向量a，b 满足|a|3，|b|2，a 与 b 的夹角为 60，则 ab_，若(amb)a，则实数 m_.8设 a、b、c 是单位向量，且abc，则 ac的值

28、为 _9.（O 是平面上一点，A、B、C 是平面上不共线的三点.平面内的动点 P 满足),(ACABOAOP若 12时，()PAPBPCu u u ruuu ruu u r的值为 _10不共线向量a，b 的夹角为小于120 的角，且|a|1，|b|2，已知向量ca2b，求|c|的取值范围11已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若 ab，求 x 的值；(2)若 ab，求|ab|.12向量 a(cos 23，cos 67)，向量 b(cos 68，cos 22)(1)求 ab；(2)若向量 b 与向量 m 共线，uam，求 u 的模的最小值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精

29、心整理-第 12 页，共 16 页 -13 第四部分：平面向量应用举例一基础知识自主学习1向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：ab?.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质ab?.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos a b|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22(为 a 与 b 的夹角)2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是，它们的分解与合成与向量的相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中

30、的功是一个标量，这是力F 与位移 s的数量积即WF s|F|s|cos (为 F 与 s 的夹角)3平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质二难点正本疑点清源1向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物在利用向量解决问题时，要注

31、意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合2要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题三基础自测1在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边 ABDC，ADBC.已知 A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)则 D 点的坐标为 _2已知平面向量、，|1，|2，(2)，则|2|的值是 _3平面上有三个点A(2，y)，B 0，y2，C(x，y)，若ABu uu rBCuuu r，则动点C 的轨迹方程为 _4已知 A、B 是以 C 为圆心，半径为5的圆上两点，且|ABuuu r|5，CBAC等于()A52B.52C0 D.5 32名师资料总结-精品资料

32、欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 16 页 -14 5某人先位移向量a：“向东走 3 km”，接着再位移向量b：“向北走 3 km”，则 ab 表示()A向东南走32 km B向东北走32 kmC向东南走3 3 km D向东北走33 km四题型分类深度剖析题型一向量在平面几何中的应用例 1 如图，在等腰直角三角形ABC 中，ACB90，CACB，D 为 BC 的中点，E 是 AB 上的一点，且AE2EB.求证：ADCE.变式训练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t 满

33、足(ABtOC)OC0，求 t 的值题型二平面向量在解析几何中的应用例 2 已知点 P（0，-3），点 A 在 x 轴上，点 M 满足PA AMuu u r uuuu r=0，AM32MQ，当点 A 在 x 轴上移动时，求动点M的轨迹方程变式训练2 已知圆 C：(x-3)2+(y-3)2=4 及点 A（1,1），M 是圆上的任意一点，点N 在线段 MA 的延长线上，且MAuu u r2AN，求点 N 的轨迹方程题型三平面向量与三角函数例 3已知向量 a(sin x，cos x)，b(sin x，sin x)，c(1,0)(1)若 x3，求向量 a 与 c 的夹角；(2)若 x38，4，求函数

34、f(x)ab的最值；(3)函数 f(x)的图象可以由函数y22sin 2x(xR)的图象经过怎样的变换得到？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 16 页 -15 变式训练3 已知 A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )(1)若ACuuu rBCuuu r 1，求 sin 4的值；(2)若|OAuuu r+OCuuu r|13，且 (0，)，求 OB与OCuuu r的夹角五易错警示9忽视对直角位置的讨论致误试题：已知平面上三点A、B、C，向量BCuuu r(2k,3)，ACuuu r(2,4)(1)若三点 A、B、C 不能构成三角形，求实数k应满足的条件

35、；(2)若 ABC 为直角三角形，求k 的值六思想方法感悟提高方法与技巧1 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题2 以向量为载体，求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法3 有关线段的长度或相等，可以用向量的线性运算与向量的模4用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结

36、果“翻译”成几何关系5向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决失误与防范1向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别例如：向量ABuuu rCD并不能说明ABCD.2加强平面向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 16 页 -16 七课后练习1已知 ABC，ACAB,则一定有()AABACBAB=ACC(AB+AC)(AB-AC)DAB+AC=AB-AC2点 P

37、 在平面上做匀速直线运动，速度向量v(4，3)(即点 P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)设开始时点P 的坐标为(10,10)，则 5秒后质点 P 的坐标为()A(2,4)B(30,25)C(10，5)D(5，10)3.平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(2)()0DBDCDAAB ACuu u ru u u ruu u ru uu ruu u r，则 ABC 的形状是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形4.如图，ABC 的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,BC=7,则AO BCu u u r u uu r等于()A.32B.52C 2 D35

38、平面上O、A、B 三点不共线，设ba OBOA,，则 OAB 的面积等于()A.|a|2|b|2(a b)2B.|a|2|b|2(a b)2C.12|a|2|b|2(a b)2D.12|a|2|b|2(a b)26已知|a|3，|b|2，a，b60，则|2ab|_.7河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_8.已知 ABO 三顶点的坐标为A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点，且满足 AP OA0，BP OB0，则OPAB的最小值为 _9在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若ABAC1BA BCuuu r uuu r，那么 c_.10.如右图，在RtABC 中，已知 BC=a,若长为 2a的线段 PQ 以点 A 为中心，问PQ与BC的夹角 取何值时 BPCQ的值最大？并求出这个最大值11已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若 ab，求 tan 的值；(2)若|a|b|,0 ，求 的值12在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，若BCBAACABk(kR)(1)判断 ABC 的形状；(2)若 c2，求 k 的值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 16 页 -