2022年高中数学_矩阵归纳 .pdf

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1、错误！使用“开始”选项卡将標題 1 应用于要在此处显示的文字。35 第三章一次方程组-一次方程组与矩阵的列运算系数矩阵及增广矩阵：将一次方程组的系数依序列出来的矩阵，称为该方程组的系数矩阵。将其系数及常数项依序列出来的矩阵，称为该方程组的增广矩阵。若一次方程组有m个方程式且有 n 个未知元，则其系数矩阵之阶数为mn，其增广矩阵之阶数为m (n 1)。例：24122352zyxzyxzx，系数矩阵为 A3 3141223102，增广矩阵为 B3 4214112235102。矩阵的基本列运算：将矩阵的某一列乘以某一数后加到另一列。将矩阵的某一列乘以一个不为0 的数。将矩阵中的某二列互换位置。设方程

2、组333322221111dzcybxadzcybxadzcybxa之解为(3,1,2)，求333322221111432432432dzcybxadzcybxadzcybxa之解？解：将(3,1,2)代入 a1xb1yc1zd1 3a1b1 2c1d1 12a1 4b1 8c1 4d1.2a1xb1y 3c1z 4d1(2x)a1yb1(3z)c1 4d1比较,系数得x 6，y4，z38(x,y,z)(6,4,38)。范例 1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -36 高中数学(三)讲义利用高斯消去法解三元一次方程组.15232.112.1322zyxz

3、yxzyx。解：(2)，(2)得.112.1533.1322zyzyzyx，(3)(2)，(3)得.6.5.3zzyx，(1)得 x 3，y1，z 6(x,y,z)(3,1,6)。7223313zyxzyxzyx92263510274735zyxzyxzyx。解：增广矩阵 A71212311313111 A62101624013111 A621040100019301得6210410019301A201041007001，由矩阵A得原方程组恰有一组解x 7，y 2，z 4(x,y,z)(7,2,4)。增广矩阵 A92263510274735 A922631365014735 A48161760

4、13650169232530得3111013650131110A000011711160131110。165113xtytzt(t R)范例 2 范例 3 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -错误！使用“开始”选项卡将標題 1 应用于要在此处显示的文字。37 精 选 类 题解方程组（用高斯消去法）：03754725zyxzyxzyx，则(x,y,z)_。答：(2,3,5)若111192123111经过矩阵列运算后，可简化成矩阵cba100010001，求数对(a,b,c)_。答：(1,3,5)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 1

5、4 页 -38 高中数学(三)讲义-行列式二阶、三阶行列式的定义：1121bbaaa1b2 a2b1。333222111cbacbacbaa1b2c3b1c2a3c1b3a2c1b2a3 b1a2c3 a1b3c2。行列式的性质：行列式的行、列互换，其值不变。任意两行（列）对调，其值变号。任一行（列）可提出同一数。两行（列）成比例时，其值为0。将一行（列）的k 倍加到另一行（列），其值不变。行列式可依某一行（列）展开。333222111cbacbacbaa13322cbcba23311cbcba32211cbcba13322cbcbb13322cacac13322baba行列式的应用：三线共点

6、：逆定理不成立（如：L1/L2/L3）0:0:0:333322221111cybxaLcybxaLcybxaL为两两不平行的相异三线，若三线共点333222111cbacbacba 0 平行六面体的体积：设(a1,a2,a3)，(b1,b2,b3)，(c1,c2,c3)，则由,所张的平行六面体的体积321321321cccbbbaaa的绝对值。若dcba 2，求dccbaa724724？范例 1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -错误！使用“开始”选项卡将標題 1 应用于要在此处显示的文字。39 解：dccbaa724724 4dccbaa7272 4d

7、cba77 4(7)dcba28 2 56。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -40 高中数学(三)讲义已知三直线 L1:xay 1，L2:4x 2y 3，L3:ax 2y 1 共点，求 a 之值？解：三直线共点1232411aa 0 3a2 6a 0 a 0 或 2。求行列式222222222543432321之值？解：22222222254343232194373252122222297975453136209137400036201378。分解222111ccbbaa之因式。求行列式641642793842之值？解：222111ccbbaa22222

8、001acacababaa(b a)(c a)acab11(b a)(c a)(ca b a)(b a)(c a)(c b)(a b)(b c)(c a)。641642793842 2 3 41641931421 24222441331221 24(2 3)(3 4)(4 2)48。范例 2 范例 3 范例 4 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -错误！使用“开始”选项卡将標題 1 应用于要在此处显示的文字。41 xxxx111211432015135871312xx 0。解：xxxx111211432013 2x2 3x 4x2x2 11 7x14 x2

9、。5135871312xx 0 35x2 280 x 13 245 65x 8x2 0 x2 5x 6 0 x2 3。求包含 L1:134121zyx而平行 L2:311221zyx之平面方程式？解：L1上一点 A(1,1,3)，L1之方向向量(2,4,1)，L2之方向向量(2,1,3)，P(x,y,z)为平面上之动点，则(x 1,y 1,z 3)，平面之方程式为312142311zyx 0 11x 8y 10z 11 0。范例 6 范例 5 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -42 高中数学(三)讲义精 选 类 题若333222111cbacbacba

10、2，求333333222222111111cbacbacbacbacbacba_。答：4 解方程式xxx531531531 0 之 x _。答：9 0 ABC 中，(3,4)，(5,12)，则ABC 之面积 _。答：28 空间四点 A(1,1,0)，B(0,1,0)，C(2,3,4)，D(1,1,3)，以ADACAB,为相邻三边的平行六面体的体积为_。四面体 ABCD 的体积为 _。答：26313已知空间四点 A(0,1,2)，B(1,1,3)，C(3,0,1)，D(k,2,1)所围成四面体的体积为4，求 k_。答：329319空间四点 A(0,0,0)，B(1,2,3)，C(2,3,1)，D

11、(1,1,a)共平面，则 a_。答：2 平面上三直线 xy 2 0，ax 3y 1 0，3xay 5 0 共点，求 a_。答：0 2 L1:x 2y 5 0，L2:2x 3y 4 0，L3:axy 0，三线无法围出一个三角形，则 a_。答：2，3221名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -错误！使用“开始”选项卡将標題 1 应用于要在此处显示的文字。43-克拉玛公式二元一次方程组之解的讨论：方程组222111cybxacybxa(*)中，令2211baba，x2211bcbc，y2211caca，则当 0 时，方程组(*)恰有一组解：xx；yy，称为相容方程

12、组。当 0 时，但x 0 或y 0 时，方程组(*)无解，称为矛盾方程组。当xy 0 时，方程组(*)有无限多组解，称为相依方程组。三元一次方程组解的讨论：333322221111dzcybxadzcybxadzcybxa的解，令333222111cbacbacba，x333222111cbdcbdcbd，y333222111cdacdacda，z333222111dbadbadba，当 0，恰有一组解xx，yy，zz。当 0，且x,y,z中有一不为 0 时，则此方程组无解。当xyz 0 时，则此方程组可能有无限多组解，也可能无解。(此时可用“加减消去法”解此方程组或“平面的法线向量”，即可判

13、断出来)。三元一次方程组解的几何意义：333322221111dzcybxadzcybxadzcybxa(*)中，令333222111cbacbacba，x333222111cbdcbdcbd，y333222111cdacdacda，z333222111dbadbadba，若 0 时，则方程组(*)“恰有一解”；而三平面交于一点，交点坐标为(x,y,z)。(如图)若 0，而x,y,z中至少有一个不为0 时，则方程组(*)“无解”；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 14 页 -44 高中数学(三)讲义而三平面可能其中有两平面平行，而另一平面与此两平面都交于一直线。（如

14、图）三平面两两相交于一直线，但三交线不共点。（如图）若xyz 0 时，则方程组(*)“有无限多组解”；三平面可能重合。（如图）有两平面重合，且与第三平面交于一直线。（如图）两两不重合，但相交于一直线。（如图）方程组(*)“无解”；三平面可能有两平面重合，且与第三平面平行。（如图）两两平行。（如图）三平面位置关系共八种，可以法线向量来判别其之间的位置关系。设 aR，8)5(2354)3(yaxayxa，若恰有一组解无解无限多组解，求 a 之条件？解：aa5423a2 8a 7 0a 1，a7。a7 时，范例 1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -错误！使

15、用“开始”选项卡将標題 1 应用于要在此处显示的文字。45 aa54232，413835aaa5423835a，故无解。a1 时，aa5423 1，835a 1aa5423835a，故有无限多组解。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -46 高中数学(三)讲义用行列式解1542133124zyxzyxzyx。解：542313124 0,x541311121 0,y512313114 0,z142113124 0 无法判断原方程组无解或无限多组解，令yt 得.4152.133.214tzxtzxtzx，由,解得 xt9792，zt91091，代入2(t979

16、2)5(t91091)t95014954 1 4t（验合），故原方程组有无限多组解，且其解(x,y,z)(t9792,t,t91091)，tR。设方程组5.121212kzykxzkyxkzyx无解有无限多组解。试分别求k 之值。解：8k3 6k 2(k 1)(2k 1)2，x4k3 6k2 3k2121(2k 1)3，y 6k2 6k2323(2k 1)2，z 6k2 6k2323(2k 1)2，k1 时，0，x 0，原方程组无解。k21时，xyz 0，代入原方程组得111zyxzyxzyx，则有无限多组解。范例 2 范例 3 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共

17、14 页 -错误！使用“开始”选项卡将標題 1 应用于要在此处显示的文字。47 试就 a 值讨论 xy za，3x y 4z 6，2x 2y 3z 5 三平面的相交情形？解：322413111142143001 0，x32541611a505250611aaa55256aa5(a 1)，y35246311a1520163011aaa552163aa(a 1)，z52261311a520460411aaa52464aa4(a 1)，三平面两两不平行，故a 1 时，三平面两两相交于一线，且三交线平行。a 1 时，三平面共线。设kzzyxkyzyxkxzyx323232三平面恰交于一点，求k 之值？

18、交点坐标？解：kkk321321321k2(6 k)，三平面恰交于一点 0 k2(6 k)0 k 0，k 6，kR。方程组的常数项均为0 xyz 0，故交点坐标为(0,0,0)。范例 4 范例 5 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -48 高中数学(三)讲义精 选 类 题若三平面 3x 5y z1，x y 4z 11，x 7y 9za 相交于一直线，则a_。答：23 方程组321kkzyxkzkyxkzykx当 k_时，有无限多解。当 k_时，无解。答：21 方程组333322221111dzcybxadzcybxadzcybxa恰有一组解(x,y,z)

19、(1,2,3)，则方程组333322221111323232dzaycxbdzaycxbdzaycxb的解(x,y,z)_。答：(6,29,3)kN，方程组042232kzyxxzykxkxzyx(*)有异于(0,0,0)之解，则 k_。承，设(x,y,z)满足(*)，且 x2y2z2 0，则zxzyyzxyx222222之值为 _。答：51 说明三平面 E1:2x yz 0，E2:x 2yz 2 0，E3:x 3y 2z 2 0 的相交情形。答：三平面交一线平面 E1:xyz 1，E2:2x 3yaz 3，E3:xay 3z 2，若此三平面相异，而交于一直线，则a_。若此三平面相异，而两两相交之直线互相平行，则a _。答：23 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -