2022年高中数学典型例题解析：数列 .pdf

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1、第四章数列4.1 等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1 项（或首项），第2 项，,，第n项，,.3.通项公式：一般地，如果数列an的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4.有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5.无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后

2、用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示8.等差中项:如果，这三个数成等差数列，那么2ba 我们把2ba叫做和的等差中项二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(1，2，3，,，n)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列 an的前 n 项的和 Sn与 an

3、之间的关系：).2(),1(11nSSnSannn若 a1适合 an(n2),则na不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求 an.4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d=d n+a1-d,an是关于 n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,na）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为ndandSn)2(212，若令 A2d，Ba12d，则nS An2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n 中任意三个，可求其余

4、两个。三、经典例题导讲 例 1 已知数列1，4，7，10，,，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出 1+4+,+（3n5）是该数列的前几项之和.错解：（1）an=3n+7;(2)1+4+,+（3n5）是该数列的前n 项之和.错因：误把最后一项（含n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令 n=1,a1=101,显然 3n+7 不是它的通项.正解：（1）an=3n2;(2)1+4+,+（3n5）是该数列的前n1 项的和.例 2 已知数列na的前n项之和为nnSn2212nnSn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -求数列n

5、a的通项公式。错解：34)1()1(2222nnnnnannnnnnan21)1()1(122错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an SnSn-1与的关系，没注意a1=S1.正解：当1n时，111Sa当2n时，34)1()1(2222nnnnnan经检验1n时11a也适合，34nan当1n时，311Sa当2n时，nnnnnan21)1()1(122nan23)2()1(nn 例 3 已知等差数列na的前 n 项之和记为Sn，S10=10，S30=70，则 S40等于。错解：S30=S102d.d 30，S40=S30+d=100.错因：将等差数列中Sm,S2mSm,S3mS2m成等差数列误解

6、为Sm,S2m,S3m成等差数列.正解：由题意：7022930301029101011dada得152,521da代入得 S401204023940401da。例 4 等差数列na、nb的前 n 项和为 Sn、Tn.若),(27417NnnnTSnn求77ba；错解：因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.1110277417777ba错因：误认为nnTSnnba正解：79922713411371313777777TSbbaaba 例 5 已知一个等差数列na的通项公式an=255n，求数列|na的前 n 项和；错解：由 an0 得 n5na前

7、5 项为非负，从第6 项起为负，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)当 n6 时，Sn=a6+a7+a8+,+an2)5)(520(nn Sn=6,2)5)(520(5,50nnnn错因：一、把n5 理解为 n=5，二、把“前n 项和”误认为“从n6 起”的和.正解：6,502)5)(520(5,2)545(nnnnnn 例 6 已知一个等差数列的前10 项的和是 310，前 20 项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？解：理由如下：由题设：31010S122020S得：12201902031

8、0451011dada641dannnnnSn2362)1(4 例 7 已知：nna12lg1024（3010.02lg）Nn（1）问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的绝对值最小？解：（1）02lg102402lg)1(10241nanann3403340112lg10242lg1024nn3402n（2）0)2lg(2)1(1024nnnSn当nnSS或0近于 0 时其和绝对值最小令：0nS即 1024+0)2lg(2)1(nn得：99.680412lg2048nNn6805n 例 8 项数是n2的等差数列，中间两项为1nnaa 和是方程02qpxx的两根，求证此数列的和nS2是方程0

9、)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx的根。（02 nS）证明：依题意paann1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -paaaannn121npaanSnn2)(22120)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx0)lg(lg2npxnSnpx2（获证）。四、典型习题导练1已知nnnSaa2311且，求na及nS。2设)1(433221nnan，求证：2)1(2)1(2nannn。3.求和:n3211321121114.求和：)12()34()9798()99100(222222225.已知cba,依次成等差数列，求证：abcac

10、bbca222,依次成等差数列.6.在等差数列na中，40135aa，则1098aaa（）。A72 B60 C48 D367.已知na是等差数列，且满足)(,nmmananm，则nma等于 _。8.已知数列21na成等差数列，且713,61153aa，求8a的值。4.2 等比数列的通项与求和一、知识导学1.等比数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于同 一 个 常 数，那 么 这 个数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示2.等比中项：若，成等比数列，则称为 和的等比中项3.等比数列的前n 项和公式：)1(11)1()1(111

11、qqqaaqqaqanSnnn二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此 q 也不为 0.2.对于公比 q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2 项起，而是从第3 项或第 4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从.第 2 项或第 3 项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a1和 q 的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等

12、比数列中任意一项.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -6.等比数列an 的通项公式an=a1qn-1可改写为nnqqaa1.当 q0，且 q1 时，y=qx是一个指数函数，而xqqay1是一个不为0 的常数与指数函数的积，因此等比数列an的图象是函数xqqay1的图象上的一群孤立的点.7在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n 中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲 例 1已知数列na的前 n 项之和 Sn=aqn（qqa,1,0为非零常数），则na为（）。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等

13、比数列错解：)1(111qaqaqaqSSannnnnn1(11qaqSSannnnqaann1（常数）na为等比数列，即B。错因：忽略了1nnnSSa中隐含条件n1.正解：当 n1 时，a1=S1aq;当 n1 时，)1(11qaqSSannnnqaann1（常数）但qqaa112na既不是等差数列，也不是等比数列，选C。例 2已知等比数列na的前 n 项和记为 Sn，S10=10，S30=70，则 S40等于.错解：S30=S10q 2.q 27，q7，S40=S30q=770.错因：是将等比数列中Sm,S2mSm,S3mS2m成等比数列误解为Sm,S2m,S3m成等比数列.正解：由题意：

14、701)1(101)1(301101qqaqqa得)(3210110101舍去或 qqqa，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -S40=20011401）（qqa.例 3求和：a+a2+a3+,+an.错解：a+a2+a3+,+anaan11.错因：是（1）数列 an不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n 项和公式（2）用等比数列前n 项和公式应讨论 q 是否等于1.正解：当 a0 时，a+a2+a3+,+an0;当 a1 时，a+a2+a3+,+ann;当 a1 时，a+a2+a3+,+anaan11.例 4 设dcba,均为非零实数，0222222

15、cbdcabdba，求证：cba,成等比数列且公比为d。证明：证法一：关于d的二次方程0222222cbdcabdba有实根，0)(44222222cbbacab，022acb则必有：02acb，即acb2，非零实数cba,成等比数列设公比为q，则aqb，2aqc代入02422222222qaqadaqaaqdqaa0122aq，即0222qqdd，即0qd。证法二：0222222cbdcabdba022222222cbcddbbabdda022cbdbad，bad，且cbddcba,非零，dbcab。例 5 在等比数列nb中，34b，求该数列前7 项之积。解：45362717654321bb

16、bbbbbbbbbbbb53627124bbbbbbb，前七项之积2187333732 例 6 求数列21nn前n项和解：nnnS21813412211名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -12121)1(161381241121nnnnnS两式相减：112211)211(21212181412121nnnnnnnSnnnnnnnS2212)2211(211 例 7 从盛有质量分数为20%的盐水 2kg 的容器中倒出1kg 盐水，然后加入1kg 水，以后每次都倒出1kg 盐水，然后再加入 1kg 水，问：(1)第 5 次倒出的的1kg 盐水中含盐多kg？(2

17、)经 6 次倒出后，一共倒出多少kg 盐？此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为an，则：a1=0.2（kg）,a2=210.2（kg）,a3=(21)20.2（kg）由此可见：an=(21)n10.2（kg）,a5=(21)510.2=(21)40.2=0.0125（kg）。(2)由(1)得 an 是等比数列a1=0.2,q=21)(003125.0200625.0)(00625.039375.04.0)(39375.0211)211(2.01)1(6616kgkgkgqqaS答：第 5 次倒出的的1kg 盐水中含盐0.0125kg；6 次

18、倒出后，一共倒出0.39375kg 盐，此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。四、典型习题导练1.求下列各等比数列的通项公式：1)a1=2,a3=8 2)a1=5,且 2an+1=3an3)a1=5,且11nnaann2.在等比数列na，已知51a，100109aa，求18a.3.已知无穷数列,10,10,10,1051525150n，求证：（1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101，（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4.设数列na为1324,3,2,1nnxxxx0 x求此数列前n 项的和。5.已知数列 an中，a1=2 且an

19、+1=Sn，求an,Sn6.是否存在数列an，其前项和Sn组成的数列 Sn 也是等比数列，且公比相同？7.在等比数列na中，400,60,364231nSaaaa，求 n 的范围。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -4.3 数列的综合应用一、知识导学1.数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2.应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本

20、步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1 就是公比 q.二、疑难知识导析1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式000011nnnnaaaa或解决；2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公式时，勿忘分类

21、讨论思想；3.等差数列中,am=an+(n m)d,nmaadnm;等比数列中，an=amqn-m;mnmnaaq4.当 m+n=p+q（m、n、p、qN）时，对等差数列an有：am+an=ap+aq；对等比数列an有：aman=apaq；5.若an、bn是等差数列，则kan+bbn(k、b 是非零常数)是等差数列；若an、bn 是等比数列，则kan、anbn 等也是等比数列；6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,）仍是等差（或等比）数列；7.对等差数列 an,当项数为2n 时，S偶-S奇nd；项数为2n1 时，S奇S

22、偶a中（nN）；8.若一阶线性递推数列an=kan 1+b（k0,k 1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1(11kbakkbann(n 2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、经典例题导讲 例 1 设na是由正数组成的等比数列，Sn是其前 n 项和.证明：12122121log2loglognnnSSS。错解：欲证12122121log2loglognnnSSS只需证22121loglognnSS2121lognS即证：)(log221nnSS2121lognS由对数函数的单调性，只需证)(2nnSS21nS2nnSS21nS221212221)1()1()1()1)(1(qq

23、aqqqannn021nqa2nnSS21nS名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -原不等式成立.错因：在利用等比数列前n 项和公式时，忽视了q1 的情况.正解：欲证12122121log2loglognnnSSS只需证22121loglognnSS2121lognS即证：)(log221nnSS2121lognS由对数函数的单调性，只需证)(2nnSS21nS由已知数列na是由正数组成的等比数列，q0,01a.若1q,则2nnSS21nS2111)1()2(ananna21a0；若1q,2nnSS21nS221212221)1()1()1()1)(1(qq

24、aqqqannn021nqa2nnSS21nS原不等式成立.例 2一个球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第 10 次着地时，共经过了多少米？（精确到1 米）错解：因球每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形成了一公比为21的等比数列，又第一次着地时经过了100 米，故当它第10 次着地时，共经过的路程应为前10 项之和.即211)21(11001010S199（米）错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.正解：球第一次着地时经过了100 米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了21002100（米）,因此到球第10 次着地时共经过

25、的路程为8322100210021002100100100211)21(11001009300（米）答：共经过300 米。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -例 3一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18 岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？错解：年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18 年时取出的钱数应为以a 为首项，公比为1+r 的等比数列的第19 项，即 a19=a(1

26、+r)18.错因：只考虑了孩子出生时存入的a 元到 18 年时的本息，而题目要求是每年都要存入a 元.正解：不妨从每年存入的a 元到 18 年时产生的本息入手考虑，出生时的a 元到 18 年时变为a(1+r)18，1 岁生日时的a 元到 18 岁时成为 a(1+r)17，2 岁生日时的a 元到 18 岁时成为 a(1+r)16，,17 岁生日时的a 元到 18 岁时成为 a(1+r)1，a(1+r)18+a(1+r)17+,+a(1+r)1)1(1)1(1)1(18rrra)1()1(19rrra答：取出的钱的总数为)1()1(19rrra。例 4 求数列,)23(1,101,71,41,11

27、132naaaan的前n项和。解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则)23(11naann)23(741)1111(12naaaSnn当1a时，232)231(2nnnnnSn当1a时，2)13(12)231(11111nnaaannaaSnnnnn 例 5 求数列,)1(6,436,326,216nn前n项和解：设数列的通项为bn，则)111(6)1(nnnnbn16)111(6)111()3121()211(621nnnnnbbbSnn 例 6 设等差数列 an的前n项和为Sn，且)()21(2NnaSnn，求数列 an的前n项和名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10

28、页，共 11 页 -解：取n=1，则1)21(1211aaa又由2)(1nnaanS可得：21)21(2)(nnaaan12)(1*naNnann2)12(531nnSn 例 7 大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a，则2)1()(210)121(22nnknkaknkaS当n为奇数时，取21nkS达到最小值当n为偶数时，取222nnk或S达到最大值四、典型习题导练1在 1000，2000内能被3 整除且被 4 除余 1 的整数有多少个？2某城市1991

29、年底人口为500 万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为 30 万m2，求 2000 年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到 0.01)3已知数列na中，nS是它的前 n 项和，并且241nnaS，11a（1）设nnnaab21，求证数列nb是等比数列；（2）设nnnac2，求证数列nc是等差数列。4.在 ABC中，三边cba,成等差数列，cba,也成等差数列，求证ABC为正三角形。5 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。6.已知是一次函数，其图象过点，又成等差数列，求)()2()1(nfff的值.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -